초등수학지도를 위한 대안 알고리즘 경인교대 수학교육과 김수미 1. 알고리즘의 의미와 기원 - 알고리즘이란 … 각 단계를 정확히 이행하기만 하면 틀림없이 답으로 이끄는 단계별 절차 - 알고리즘이란 용어의 유래는 … 아랍의 수학자이자 천문학자인 알콰리즈 미의 이름에서 유래.

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2 초등수학지도를 위한 대안 알고리즘 경인교대 수학교육과 김수미

3 1. 알고리즘의 의미와 기원 - 알고리즘이란 … 각 단계를 정확히 이행하기만 하면 틀림없이 답으로 이끄는 단계별 절차 - 알고리즘이란 용어의 유래는 … 아랍의 수학자이자 천문학자인 알콰리즈 미의 이름에서 유래

4 그림 1) 인도 - 아라비아 알고리즘 지지자와 abacus 지지자 사이의 경쟁을 보여주는 19 세기의 그림

5 2. 최근의 지도 경향 아동으로 하여금 스스로 만들어 보게 한다. 교사 가 일러주는 과정이 옳다는 것을 단순히 받아들이고 암기하도록 하기 보다는 아동이 스스로 알고리즘을 구 성하고 발전시킬 것을 권장. 표준 알고리즘 이외의 대안 알고리즘을 발굴 하고, 그것을 활용하도록 한다. 수학사를 활용하 여 다른 문명, 다른 지역에서 사용된 알고리즘을 조사 해 보거나 학생들이 만든 알고리즘을 문제해결에 활용 할 것을 권장.

6 덧셈 계산법 선계산법 인도의 알고리즘 아라비아의 알고리즘

7 선 (line) 계산법 15 세기 유럽에서 상인들에 의해 이용된 합과 차를 계산 하는 알고리즘. 동양의 주판과 로마의 계산판의 변형.

8 1514 년의 카운터 계산모습 선 계산법의 설명

9 퀴즈 *1234+1678 을 선계산법을 이용해 구해보 세요.

10 인도의 덧셈 오늘날과 유사한 형태로 더하는 방법은 인도에서 생겨 났다. 자리수가 많은 수끼리 더할 경우, 오늘날의 방법 과는 반대로 왼쪽에서 오른쪽으로 더해갔으며, 그 결 과도 위쪽에 썼다. 23789 + 38576 6236 23789 23789 51255 38576 38576 23789 51255 62365 38576 6236 1111

11 34567 + 178635 을 인도식으로 계산하 시오. 34567 + 178635

12 아라비아의 덧셈 아라비아에서는 덧셈을 할 경우, 오른쪽에서 왼쪽으로 계산해 가면서, 계속하여 답을 수정하는 과정을 통해 합을 구했다. 2 2 2 5 5 5 32 32 32 193 193 193 18 18 18 10 10 10 100 100 100 20 120 120 6 36

13 기타 16 세기 네덜란드 수학자 Gemma Frisius 의 방법. 가장 큰 수를 맨 위에 쓰고, 각 자리의 수끼리 오른쪽부터 더하고, 다시 부분의 합을 더하는 형식이다. 이는 오늘날 학교에서 지도하 고 있는 표준 알고리즘과 유사한 방식이다. 9279 389 479 27 22 9 10147

14 현재의 덧셈 알고리즘 현재와 같은 받아올림 방법은 16 세기 이후에 나타난 것으로 영국의 Robert Recorde(1510-1558) 의 책 (1542) 에서 받아 올려지는 숫자를 기억해 두라고 하였 다. 이는 산판 (abacus) 위에서 셈돌 (counter) 로 계산을 할 때, 받아 올려지는 셈돌의 수를 기억하라는 것으로부 터 유래한 것이다.

15 뺄셈 알고리즘 인도의 뺄셈 고쳐묶기 (decomposition) 알고리즘 동수첨가 알고리즘 보수 이용법 음수 이용법

16 1. 인도의 뺄셈 바스카라의 책에 나타난 인도의 뺄셈은 왼쪽에서 오른 쪽으로 진행하는 방식이다. 예 : 10000-360 6 974 10000 360 ( 설명 : 100 에서 3 을 빼면 97, 70 에서 6 을 빼면 64)

17 34067-7695 를 인도식으로 계산하시오. 34067 -7695

18 2. 고쳐묶기 알고리즘 학교에서 지도하고 있는 표준 알고리즘. 피감수를 ‘ 분해 ’ 혹은 ‘ 고쳐묶기 ’ 하여 감수 만큼 빼기 쉽게 만드 는 방법 (91 을 고쳐묶 기 하여, 십이 8 개, 일 이 11 개로 생각하여 계산 ) 8 10 91 - 24 67

19 피감수와 감수에 같 은 수를 더해도 차는 일정하다는 점을 이 용. 피감수와 감수에 10 씩 혹은 100 씩 동 일하게 더한 후, 그 차이를 구하는 방법 3. 동수 첨가 알고리즘 10 91 3 - 24 67

20 3406-567 을 동수첨가 알고리즘으로 계 산하시오. 3406 -567

21 감수를 그것에 대한 9 의 보수로 대체하여 더한 후, 1 을 더해 합의 맨 왼쪽 수 ( 항상 1) 는 지우고, 그 나머지를 답으로 계산하는 방 법 4. 보수 이용법 2384 2384 10688 - 1695 -> +8304 -> + 1 10688 10689 답 : 689

22 다음을 보수 이용법으로 계산하시오. 3451 - 234

23 같은 열끼리 빼는 방 법으로, 차가 음수가 나오는 경우 그대로 음수로 표기하여, 계 산하는 방법 5. 음수 이용법 732 - 345 400 -10 -3 387

24 퀴즈 5069-2374 와 같이 피감수에 0 이 있는 뺄 셈을 많은 어린이들이 어려워 합니다. 여러 가지 알고리즘을 이용해 문제를 해 결해 보고, 이 문제에 최적인 알고리즘을 골라 보세요.

25 곱셈 알고리즘 이집트의 곱셈 러시아 농부의 곱셈 인도의 격자 곱셈 Digit by Digit 곱셈

26 이집트의 곱셈 ( 예 ) 71×19 1 71 * 2 142 * 4 284 8 568 16 1136 * 19 1349 ( 예 ) 12 × 9

27 러시아 농부의 곱셈 ( 예 1) 55×26 26 55 13 110 * 6 220 3 440 * 1 880 * 1430 ( 예 2) 12 × 32 12 32 24 16 48 8 96 4 192 2 384 1 *

28 55 ⅹ 26 = (55 ⅹ 2) ⅹ (26÷2) = 110 ⅹ 13 = 110 ⅹ (12+1) = 110 ⅹ 12 + 110 = (110 ⅹ 2) ⅹ (12÷2)+110 = 220 ⅹ 6+110 =

29 인도의 격자 곱셈 ( 예 ) 24×37 ( 예 ) 234 ⅹ 567

30 Digit by Digit 31 × 12 2 60 10 300 372

31 나눗셈 알고리즘 이집트의 나눗셈 분배 알고리즘 분해 알고리즘 누감 알고리즘 분수 이용법

32 이집트의 나눗셈 예 : 35  8 1 8 2 16 4 32 v ½ 4 ¼ 2 v 1/8 1 v 합계 : 4+ 1/4 + 1/8 = 35

33 표준 알고리즘과 고쳐묶기 알고리즘

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35 누감 알고리즘 4)379 200 50 179 160 40 19 16 4 3 94 나머지 3 654÷4 4)654

36 분수 이용법 126 ÷ 17 6/17 1 3/17 5 15/17 6 24/17 = 7 7/17 378 ÷ 15

37 감사합니다.