IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)

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1 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.1 Search the database from the Internet for the information of the governing equation for the fluid flow analysis such as follows : 1) Derivation of General Conservation Rule 2) Continuity Equation for the Mass Balance Rule 3) Equation of Motion for the Force Balance Rule 4) Energy Equation for the Energy Balance Rule 유체역학 환경공학과 구창완 & web site address : 1

2 Derivation of General Conservation Rule (범용적 보전법칙의 유도)
범용적 보전 법칙에 대한 지배방정식 : 질량, 힘, 에너지, 열 General Conservation Rule Mass : 연속방정식(Continuity Equation), 물질이동방정식(Mass Transport Equation) Force-Motion : 운동방정식(Equation of Motion), 운동량방정식(Momentum Equation) 오일러방정식(Euler Equation, 마찰이 없는 경우) Navier-Stokes Equation Energy : 에너지방정식(Energy Equation) 베르누이방정식(Bernoulli Equation) 질량보존의 법칙에 의하여 계안에서의 질량은 시간에 관계없이 일정하게 보존된다(상대성 효과는 무시함). 이것을 방정식의 형태로 표시하면 다음과 같다. 2

3 Derivation of General Conservation Rule (범용적 보전법칙의 유도)
Newton의 제 2 운동법칙을 적용하면 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, m은 계의 일정질량임을 명심해야 한다. 또 ΣF는 중력과 같은 력을 포함하여 계에 작용하는 모든 외력의 합력이고 v는 속도이다. 3

4 2) Continuity Equation for the Mass Balance Rule (연속방정식)
연속방정식은, 계가 갖는 질량은 시간과 더불어 일정하게 유지되는 질량보존법칙으로부터 유도된다. 즉 따라서 검사체적에 대한 연속 방정식을 말로 표현하면 검사체적내에서 질량의 시간증가율은 단위시간당 검사면을 통하여 검사체적으로 들어오는 정미질량 유입량과 같다는 것을 나타내고 있다. 4

5 3) Equation of Motion for the Force Balance Rule (운동방정식)
물체의 운동을 기술하는 변수들 사이의 시간에 따른 관계를 나타내는 방정식이다. 일반적으로 미분방정식으로 나타난다. 뉴턴역학에서는 뉴턴의 운동의 제2법칙에 의해서 표현되는 2계 미분방정식으로 주어진다. 해석역학을 포함하면 라그랑지 운동방정식, 해밀톤 운동방정식 등도 있다. 5

6 4) Energy Equation for the Energy Balance Rule (에너지방정식)
열역학 제 1법칙을 계에 적용한 것을 말로 표현하면, 계에 공급된 열량 에서 계가 외부에 대하여 행한 일 W를 뺀 값은 오직 계의 초기상태와 최종상태에만 의존한다는 것이다. 계가 초기상태로부터 최종상태로 변하는 과정에서 변화경로에 무관하므로, 계 상태의 차이는 계의 특성값이 되어야 한다. 이 특성값을 내부에너지(internal energy) E라고 한다. 계에 적용한 열역학 제 1법칙을 방정식으로 표현하면 유동의 일반 에너지 방정식은 다음과 같다. q + w = du + d(p * v) + d( ) + d(h) q : 단위 질량당 가해진 열량 (Heat added per mass of flowing fluid) w : 단위 질량당 가해진 일 (Work added per mass of flowing fluid) u : 내부 에너지 (Internal Energy) p : 정압 (Static Pressure) v : 비체적 (Specific Volume) V : 유속 (Fluid Velocity) h: 위치 수두 (Elevation Head) 6

7 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.2 Classify the fluid flow and describe the characteristics of the classified flows such as the equation of shear stress in the case of turbulent flow, etc (유체유동을 분류하고 각 유동별 특성을 설명하라. 난류의 경우 전단응력 등)

8 유체유동을 크게 두가지로 분류하면 압축성 유동과 비압축성 유동으로 분류할수있다. 압축성 유동 대 비압축성 유동
4.2 Classify the fluid flow and describe the characteristics of the classified flows such as the equation of shear stress in the case of turbulent flow, etc (유체유동을 분류하고 각 유동별 특성을 설명하라. 난류의 경우 전단응력 등) 유체유동을 크게 두가지로 분류하면 압축성 유동과 비압축성 유동으로 분류할수있다. 압축성 유동 대 비압축성 유동 실제로 모든 유체는 어느 정도는 압축성(compressible)이다. 압축성이라 함은, 압력이나 온도가 변하면 밀도가 변한다는 것을 의미한다. 그러나 많은 경우 압력이나 온도가 변할 때 밀도의 변화가 너무 작아 무시할 수 있는 경우가 있다. 이런 경우 유동은 비압축성(incompressible) 유동 방정식으로 묘사할 수 있다. 그렇지 않다면 더 일반적인 압축성 유동 방정식을 사용하여야 한다. 비압축성은 수학적으로 유체 다발이 유동장 내에서 움직일 때 그 밀도 ρ가 변하지 않음을 의미하는 다음과 같은 식으로 표현된다. 이 식을 사용하면 지배 방정식을 단순화할 수 있다. 8

9 4.2 Classify the fluid flow and describe the characteristics of the classified flows such as the equation of shear stress in the case of turbulent flow, etc (유체유동을 분류하고 각 유동별 특성을 설명하라. 난류의 경우 전단응력 등) 기체 유동에서 압축성 식을 쓸 지 비압축성 식을 쓸 지는 유동의 마하 수로 결정한다. 엄밀한 기준은 아니지만, 마하 수가 약 0.3 미만일 때에는 압축성 효과를 무시할 수 있다. 액체에 대해서는 비압축성 가정이 유효한지는 유체의 성질(특히 유체의 임계 압력 및 임계 온도) 및 유동 조건(실제 유동 압력이 얼마나 임계 압력에 가까운가)에 따라 좌우된다. 음향학적인 문제에는 항상 압축성이 고려되어야 한다. 왜냐하면 음파란 매질 내에서 전파할 때 압력과 밀도가 변화하는 압축파이기 때문이다. 9

10 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.3 Explain the stream equation. (유선방정식을 설명하라.)

11 4.3 Explain the stream equation. (유선방정식을 설명하라.)
⋅유속: 단위시간 동안에 물이 흐른 거리를 말한다. (단위:m/sec) ⋅유선: 한 순간의 입자속도 벡터에 접하는 가상의 곡선을 말하며 흐름의 방향은 순간의 접선 방향과 일치한다. ⋅유관: 유선으로 이루어진 가상적인 관 ⋅유적선: 유체입자의 운동경로를 말하며 유선과 일치할 수도있다. ⋅유선방정식 여기서 11

12 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook.

13 교과서에 나타난 바와 같이 유체유동에 있어서 적분방법을 사용하여 범용적 보전 법칙에 대한 지배방정식을 유도하라.
4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 교과서에 나타난 바와 같이 유체유동에 있어서 적분방법을 사용하여 범용적 보전 법칙에 대한 지배방정식을 유도하라. 1) 공학문제의 있어서의 지배방정식 범용적 보전 법칙에 대한 지배방정식 : 질량, 힘, 에너지, 열 General Conservation Rule Mass : 연속방정식(Continuity Equation), 물질이동방정식(Mass Transport Equation) Force-Motion : 운동방정식(Equation of Motion), 운동량방정식(Momentum Equation) 오일러방정식(Euler Equation, 마찰이 없는 경우) Navier-Stokes Equation Energy : 에너지방정식(Energy Equation) 베르누이방정식(Bernoulli Equation) 13

14 4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 2) 시스템과 검사체적의 개념 시스템이란 관측대상이 되는 지정된 물질을 말하고, 그것은 주위의 다른 모든 물질과는 엄격히 구분된다. 계의 경계는 하나의 폐곡면을 형성한다. 검사체적은 이러한 시스템에 대해서 어떤 해석할려고 하는 성질을 수학적으로 나타내기 위하여 시스템에 관련된 모든 현상들을 그림으로 나타낸 것을 의미한다. 3) 범용적 보전 법칙의 지배방정식의 유도 질량보존의 법칙에 의하여 계안에서의 질량은 시간에 관계없이 일정하게 보존된다(상대성 효과는 무시함). 이것을 방정식의 형태로 표시하면 다음과 같다. 14

15 계에 Newton의 제 2 운동법칙을 적용하면 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 계에 Newton의 제 2 운동법칙을 적용하면 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, m은 계의 일정질량임을 명심해야 한다. 또 ΣF는 중력과 같은 력을 포함하여 계에 작용하는 모든 외력의 합력이고 v는 속도이다. 검사체적이란 공간상의 한 영역을 말하는 바 유동이 그 공간으로 흘러 들어오거나 공간에서 흘러나갈 경우를 해석하는 데 유용하다. 검사체적의 경계를 검사표면이라 한다. 검사체적의 크기와 형태는 임의로 설정할 수 있지만, 통상 고체경계면을 일부분으로 하고 다른 부분은 유동방향에 직각되게 설정함으로써 문제를 단순화할 수 있다. 검사체적의 개념은 여러 형태의 문제풀이에 이용될 뿐만 아니라 연속방정식, 운동량방정식 및 에너지방정식의 유도에 이용된다. 검사 체적을 개방계 라고도 말한다. 15

16 유동의 성질에 관계없이 모든 유동현상은 다음 관계를 따라서 흐른다.
4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 유동의 성질에 관계없이 모든 유동현상은 다음 관계를 따라서 흐른다. 이들 관계를 해석적 형태로 표현하면 다음과 같다. 1. 연속방정식, 즉 질량보존의 법칙 2. Newton의 운동법칙 3. 열역학 제 1, 제 2 법칙 4. 경계조건 : 실제 유체 유동의 경우, 경계에서 경계면에 대한 상대 속도가 0이라는 조건 또는 마찰이 없는 유체유동의 경우, 경계에서 경계면에 수직한 속도성분이 0이라는 조건(마찰이 없는 유체는 경계면을 침투할 수 없다). 16

17 4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 적분방법의한 계(시스템)과 검사체적 17 17

18 4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 계에 적용한 방정식들과 검사체적에 적용한 방정식들 사이의 관계를 공식화하기 위하여 다음 그림과 같은 어떤 일반적 유동을 생각해 보자. 위의 그림에서 유체의 속도는 xyz 좌표계에 대한 속도로 주어진다. 임의 시각 t에 관측대상으로서 어느 유체의 질량을 선정할 때 이것은 계가 된다. 위 그림에서 계의 경계를 점선으로 표시하였다. 한편 시각에서 계가 점유했던 공간을 검사체적으로 택한다. 검사체적은 xyz 좌표계에 대하여 고정된다는 것에 유의하여야 한다. 시각 에서는 계가 얼마간 이동되어 있을 것이다. 왜냐하면 각 질량입자가 그 위치에 관련하는 어떤 속도를 가지고 움직이기 때문이다. 를 시각 t에 계가 포함하고 있는 어떤 특성값(질량, 에너지 및 운동량)의 총량이라 하고 유체의 단위질량당 특성값을 라 하자. 그러면 계가 가지는 특성값 의 시간증가율은 검사체적에서 관측한 물리량의 항으로 공식화 할 수 있다. 위 그림에서 보인 것처럼, 시각 에서 계는 체적 Ⅱ와 Ⅲ을 점유하게 될 것이다. 그러나 시각 t에서 계는 위 그림의 체적 Ⅱ를 점유하고 있다. 따라서 시간 동안 계가 가지는 특성 의 증가는 다음과 같다. 18 18

19 여기서 는 요소부피이다. 우변에 을 가감시킨 다음 로 나누어 주면 다음의 식이 유도된다.
4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 여기서 는 요소부피이다. 우변에 을 가감시킨 다음 로 나누어 주면 다음의 식이 유도된다. 방정식의 우변 제1항에 대하여, 가 0으로 접근할 때의 극한을 취하면, 처음 두 적분은 시각 에서 검사체적에 내포되어 있는 특성 값 의 양이고, 제3항은 시각 t에서 검사체적에 내포되어 있는 의 양이다. 그러므로 그 극한값은 다음과 같다. 19 19

20 제4항은 검사체적 밖으로 흘러 나가는 유출량의 시간비율로써 그 극한값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 제4항은 검사체적 밖으로 흘러 나가는 유출량의 시간비율로써 그 극한값은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 제5항은 검사체적으로 흘러 들어오는 유입량의 시간비율로써 그 극한값은 다음과 같다. 여기서 음의 부호가 필요한 이유는 그림에 나타난 바와 같이 유속벡터와 단면벡터의 방향이 서로 반대이기 때문이다. 즉, 단면 벡터는 요소단면에 대해서 수직이면서 경계면 으로부터 유출방향의 성분을 갖는 벡터이다. 20 20

21 제4항과 5항은 검사체적 표면(CS, Control Surface) 전체에 걸친 하나의 적분항으로 다음과 같이 묶을 수 있다.
4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 제4항과 5항은 검사체적 표면(CS, Control Surface) 전체에 걸친 하나의 적분항으로 다음과 같이 묶을 수 있다. 위에 정리된 항들을 대입하면 다음과 같은 범용적 보전식을 얻을 수 있다. 계의 해석은 입자들의 운동을 추적하면서 관측하는 방법으로서 Lagrangian 해석법이라 하고, 검사체적 해석은 Eulerian 해석법이라 하는 방법으로서 검사체적에 고정된 좌표계에서 공간점을 주시하면서 유동을 관측하는 방법이다. 21 21

22 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method. 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라.

23 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라.
4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method. 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라. 1) 적분방법에 의한 연속방정식의 유도 연속방정식은 일반적 물질보전의 법칙으로부터 유도된다. 즉, 시스템내의 질량은 시간에 대해서 변하지 않으므로 다음과 같다. 적분방식에 의해서 유도된 범용적 보전식의 주변수 N는 질량 m이 되고, η는 단위질량당 특성이므로 1이 된다. 따라서 다음과 같이 질량보전식이 유도된다. 위의 식은 검사체적 내에서의 질량 증가 속도는 검사체적으로 유입되는 질량의 유입속도와 같다는 것을 의미한다. 23 23

24 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라.
4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method. 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라. 2) 미분 방법을 사용한 연속방정식의 유도 연속방정식이라는 의미는 유체의 흐름을 설명하는 과정에서 연속체를 가정하기 위하여 도입된 하나의 개념이다. 흐름 자체를 하나의 연속적인 과정에서 해석할 수 있기에 미세영역의 특성을 해석함으로 전체시스템을 설명할 수 있게 된다.  이러한 연속방정식은 근본적으로 질량보존의 관계에서 유도할 수 있다.  유체흐름의 질량보존관계식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 관계를 개략적으로 표현하면 다음과 같다. 24 24

25 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라.
4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method. 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라. 따라서 검사체적내의 시간에 대한 질량 변화율은  바로 질량이 축적되는 속도이며, 다음과 같이 표현할 수 있다. 한편, 일반적으로 밀도는 위치에 따라 변한다는 점을 유의하면, 각 방향으로 질량의 유입, 유출 속도를 다음과 같이 종합할 수 있다.   위의 두식을 질량평형 식에 대입하여 양 변을 나누어주면 다음과 같다. 25 25

26 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라.
4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method. 적분방법과 미분방법을 사용하여 연속방정식을 유도하라. 위의 식은 직교좌표에서의 연속방정식이다.  이 식을 더욱 일반화하기 위하여 다음과 같이 좌표계에 무관한 벡터형으로 표현할 수 있다. 실제 유체는 시간에 대한 미분이 이동에 대한 개념이므로, 일반적으로 전미분으로 표현하는 것이 일반적이다.  전미분의 수학적 표현은 다음과 같이 정의된다. 연속방정식을 전미분의 형태로 나타내면 다음과 같다. 비압축성 유체의 경우에는 밀도의 미분영향이 없으므로 연속방정식은 다음과 같다. 26 26

27 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.6 Derive the equation of Q=AV from the continuity equation of the integral method. (유량식을 적분법에 의한 연속방정식으로부터 유도하라.)

28 정류조건에서는 위 식의 우변의 1항은 0이 된다. 따라서, 다음과 같이 검사체적의 표면에서의 유입 유출 속도만 남게 된다.
4.6 Derive the equation of Q=AV from the continuity equation of the integral method. (유량식을 적분법에 의한 연속방정식으로부터 유도하라.) 적분방법에 의한 연속방정식은 다음과 같다. 정류조건에서는 위 식의 우변의 1항은 0이 된다. 따라서, 다음과 같이 검사체적의 표면에서의 유입 유출 속도만 남게 된다. 여기서, 이다. 만약 밀도가 변하지 않는 다면 위의 식은 다음과 같이 유량의 식으로 정리된다. 28 28

29 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. Navier Stokes 방정식을 유도하라.

30 4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. Navier Stokes 방정식을 유도하라.
물질, 운동량, 열 등의 이동 및 전단 현상은 전달매체가 다를 뿐만 아니라 물리적인 이동과정도 매우 상이하다. 그러나 이들의 현상을 설명하는 수학적 체계는 매우 단순하리만큼 일치성을 보인다. 1) 적분방법에 의한 운동량 방정식 적분방법에 의한 범용적 보전식은 다음과 같다. 범용적 보전식 으로부터 유도된 선형운동량방정식은 다음과 같다. 위의 식의 좌변은 검사체적에 작용하는 외부 힘의 합을 나타내고, 좌변의 첫 번째 항은 검사체적내의 선형운동량의 변화속도 두 번째 항은 선형운동량의 순 유출속도를 나타낸다. 30 30

31 4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. Navier Stokes 방정식을 유도하라.
2) 외부 힘의 합 선형운동량방정식을 검사체적으로 나눈 다음 극한값을 취하면 다음과 같다. 검사체적에 작용하는 외부 힘의 영향으로는 수직응력과 전단응력, 그리고 중력과 외부로부터 받는 압력의 영향을 적용할 수 있다.  먼저 x 방향으로 작용하는 힘만을 고려한다면 다음과 같이 쓸 수 있다. 31 31

32 4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. Navier Stokes 방정식을 유도하라.
위의 식을 미소부피로 나누어 극한을 취하고, 동일한 방법으로 y 방향과 z 방향을 적용하면 다음과 같이 종합할 수 있다. 3) 검사체적을 통과하는 선형운동량의 유출속도 32 32

33 4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. Navier Stokes 방정식을 유도하라.
위 그림은 검사체적을 통과하는 운동량 유출속도를 표현한 것이다.  위의 그림을 참조하여 선형운동량의 순 유출속도항을 풀어서 쓰면 다음과 같이 표현할 수 있다. 마지막 식은 연속방정식을 적용시킨 결과이다. 33 33

34 4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. Navier Stokes 방정식을 유도하라.
4) 검사체적내의 선형 운동량 변화 속도 5) 종합된 결과와 Navier-Stokes 방정식 지금까지 얻어진 결과들을 종합하면 다음과 같이 정리할 수 있다. 34 34

35 4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. Navier Stokes 방정식을 유도하라.
위 식을 성분 별로 분리하여 쓰면 다음과 같다. 여기서 D/Dt는 전미분을 의미한다.   위의 식은 응력-변형률 관계에 상관없이 모든 유체에 적용할 수 있으며, Stokes의 점성법칙으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다. 35 35

36 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. (유선에 대한 오일러 방정식을 유도하고 본 식으로부터 베르누이 방정식을 유도하라.)

37 위의 3차원 오일러 방정식을 s 방향에 대하여 다시 정리하면 유선에 대한 오일러 방정식을 유도할 수 있다.
4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. (유선에 대한 오일러 방정식을 유도하고 본 식으로부터 베르누이 방정식을 유도하라.) 연속방정식 이외에 일반적으로 유동을 지배하는 방정식에는 Euler방정식, Bernoulli방정식, 운동량방정식 및 열역학 제1 및 제 2법칙을 근거로 하는 에너지방정식들이 있다. 본 문제에서는 Euler방정식을 미분형으로 유도하겠다. Euler방정식을 적분하여 Bernoulli 방정식을 얻을 수 있다. 일반적인 3차원유동에 대한 Euler방정식을 유도할 수도 있으나, 본 문제에서는 유선을 따르는 유동문제에만 국한하기로 한다. 첫째 방법은 유선을 중심축으로 하는 작은 원통형 체적소를 검사체적으로 택하여 해석하는 것이다. 이 경우에는 선형운동량방정식과 연속방정식을 적용하여 미분방정식을 얻게 된다. 둘째 방법은 다음의 일반적인 3차원 오일러 방정식을 사용하는 것이다. 위의 3차원 오일러 방정식을 s 방향에 대하여 다시 정리하면 유선에 대한 오일러 방정식을 유도할 수 있다. 37 37

38 1) 유선 방향에 대한 힘평형 관계를 고려한 오일러 방정식의 유도
4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. (유선에 대한 오일러 방정식을 유도하고 본 식으로부터 베르누이 방정식을 유도하라.) 1) 유선 방향에 대한 힘평형 관계를 고려한 오일러 방정식의 유도 식을 유도하기 위하여 단면적이 A 길이 s인 매우 작은 원통형 검사체적을 택하여 다음 그림에 표시하였다. 유선 방향에 대한 힘 평형 38 38

39 검사체적에 작용하는 힘의 s성분은 다음과 같다.
4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. (유선에 대한 오일러 방정식을 유도하고 본 식으로부터 베르누이 방정식을 유도하라.) 유체속도는 유선 s를 따르고 있다. 점성계수가 0, 다시 말해서 유동을 마찰이 없는 유동이라고 가정하면, s방향으로 검사체적에 작용한 힘은 원통 양단에 작용하는 힘과 자중뿐이다. s방향에 대하여 다음과 같은 운동방정식을 검사체적에 적용한다. 검사체적에 작용하는 힘의 s성분은 다음과 같다. 39 39

40 의 값은 검사체적에 연속방정식을 적용하면 다음과 같이 구할 수 있다.
4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. (유선에 대한 오일러 방정식을 유도하고 본 식으로부터 베르누이 방정식을 유도하라.) 순수 유출 s 운동량을 구하려면 원통 양단면을 통하여 흐르는 유량 은 물론 원통벽면을 통하여 흐르는 유량 까지도 고려해야 한다. 의 값은 검사체적에 연속방정식을 적용하면 다음과 같이 구할 수 있다. 위의 식에서 를 소거하고 정리하면 다음과 같다. 위의 식을 합하면 다음과 같다. 40 40

41 여기서 2개의 가정이 전개되었다. (1) 유동은 유선을 따른다.
4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. (유선에 대한 오일러 방정식을 유도하고 본 식으로부터 베르누이 방정식을 유도하라.) 여기서 2개의 가정이 전개되었다. (1) 유동은 유선을 따른다. (2) 유동은 마찰이 없는 유동이다. 만일 유동이 정류라면, 위의 식은 다음과 같이 된다. 이 식에서 독립변수는 s뿐이므로 편미분은 전미분으로 바꿀 수 있다. 밀도가 일정할 경우 위의 식을 적분하면 다음과 같이 비압축성유동에 대한 Bernoulli 방정식을 얻는다. 41 41

42 2) 3차원 오일러 방정식으로부터 유선방향의 오일러 방정식의 유도
4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. (유선에 대한 오일러 방정식을 유도하고 본 식으로부터 베르누이 방정식을 유도하라.) 2) 3차원 오일러 방정식으로부터 유선방향의 오일러 방정식의 유도 유체내의 한 점에 대하여 유선을 따르는 오일러 방정식의 다른 유도과정은 유선의 한 요소 δs와 상부 수직 방향의 δz를 취하여 성립될 수 있다. 3차원 오일러 방정식 중 s 방향의 성분은 다음과 같다. 입자의 가속도 성분 는 유선을 따르는 거리 s와 시간의 함수이므로 다음과 같다. 여기서, ds/dt는 입자의 시간에 대한 이동율 이다, 즉 유속 v를 의미한다. 를 s 방향의 오일러방정식에 대입하고 정리하면 위의 식을 얻게 된다. 나머지 유동과정은 동일하다. 42 42

43 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor.

44 4.9 Derive the momentum equation from the general
conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 1) 운동에너지 보정계수 (Kinetic-Energy Correction Factor) 개수로 또는 폐수로 문제를 다를 경우 소위 말하는 1차원유동이라는 가정하에서 해석을 자주 한다. 전체 유동을 각 단면에서 평균유속 를 갖는 하나의 커다란 유관이라 고 생각한다. 그러나, 로 주어지는 단위중량당의 운동에너지는 전단면에 걸쳐 취한 의 평균값이 아니다. 그러므로 한 단면을 흐르는 유체의 단위중량당의 평균 운동에너지를 의 항으로 나타내기 위하여, 가 그 단면을 흐르는 단위중량당의 운동에너지와 같도록 만드는 운동에너지 보정계수 를 계산할 필요가 있다. <그림 3.1> 단면에서의 유속분포와 평균 유속 44 44

45 4.9 Derive the momentum equation from the general
conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 위의 그림을 참조하면, 단위시간당 단면을 통과하는 운동에너지는 적분법칙에 의한 에너지방정식( )으로부터 다음과 같다. 위의 식을 단면을 통과하는 단위시간당의 운동에너지와 같다고 놓고, 평균유속에 의한 운동에너지 로 표시하면 다음과 같다. 평균유속을 사용한 베르누이 방정식은 다음과 같이 표현된다. 45 45

46 4.9 Derive the momentum equation from the general
conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 2) 운동량 보정계수 (Momentum Correction factor) 운동량는 힘*시간, 즉, 질량*유속으로 정의된다. 범용적 보전식의 단위질량당 운동량은 유속이다. 따라서, 적분방식의 선형운동량방정식은 다음과 같다. 위의 식을 x 방향에 대하여 정리하면 다음과 같다. 임의의 검사체적을 고려하여, 단면이 유속에 수직이고, 단면에 대하여 유속이 일정한 평균유속을 가정한다. 다음 그림의 유속 및 단면의 정류에 대해서는 위의 식은 다음과 같이 단순화된다. 즉, 위의 운동량 방정식중 경계면에서의 단면을 통과하는 운동량만 남는다. 46 46

47 4.9 Derive the momentum equation from the general
conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 단면에 대하여 유속이 변한다면 운동량 보정계수 를 이용하여 평균유속을 사용한 운동량을 계산할 수 있다. 따라서, 운동량 보정계수 는 다음과 같다. 의 값은 관류에 경우 층류에 대하여 4/3의 값을 지니며, 1보다 작을 수는 없다, 난류의 경우에는 1에서 1.05의 값을 가진다. 47 47

48 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.10 관의난류(Turbulent flow)에서의 유속분포는 Prandtl의 법칙 으로부터 으로 주어진다. 운동에너지 보정계수(Kinetic Energy correction factor)는?

49 4.10 관의난류(Turbulent flow)에서의 유속분포는 Prandtl의 법칙
으로부터 으로 주어진다. 운동에너지 보정계수(Kinetic Energy correction factor)는? 49 49

50 4.10 관의난류(Turbulent flow)에서의 유속분포는 Prandtl의 법칙
으로부터 으로 주어진다. 운동에너지 보정계수(Kinetic Energy correction factor)는? 50 50

51 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.12 Find the force exerted on a fixed vane when a jet discharging 60 L/s water at 50 m/s is deflected through 135o

52 4.12 Find the force exerted on a fixed vane when a jet
discharging 60 L/s water at 50 m/s is deflected through 135o. 그림과 같이 구부러진 고정날개에 작용하는 힘을 구하라. 분류는 물이고 유속 유량 이다. 그림 3.34 고정날개에 접해서 유입되는 자유분류 <풀이> 그림 3.34를 참조하면서 식을 x, y방향에 적용하면 따라서 고정날개에 작용하는 힘의 성분은 각각 , 와 크기가 같고 방향이 반대이다. 52 52

53 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)
4.13 Apply the continuity, momentum, and energy equation to the hydraulic jump and derive the relative equation to solve the problem of depth after jump by using the figures as shown below.

54 4.13 Apply the continuity, momentum, and energy equation to
the hydraulic jump and derive the relative equation to solve the problem of depth after jump by using the figures as shown below. 직사각형 단면을 갖는 水平開水路(수평개수로)에서 수력도약에 관련하는 변수들 사이의 관계는 연속방정식, 운동량방정식 및 에너지방정식들을 사용하여 쉽게 얻을 수 있다. 편의상 水路幅(수로폭)을 단위폭으로 한다. 연속방정식은 운동량방정식은 에너지방정식(액체표면상의 점들에 대해 적용)은 이다. 여기서 는 수력도약으로 인한 손실을 나타낸다. 처음 두 방정식으로부터 를 소거하면 54 54

55 4.13 Apply the continuity, momentum, and energy equation to
the hydraulic jump and derive the relative equation to solve the problem of depth after jump by using the figures as shown below. 으로 된다. 이 식에서 근호 앞에 있는 복부호 중 양의 부호만을 택하였다. (음의 y2 값은 물리적 의미가 없다.)깊이 과 를 공액깊이라 말한다. 수력도약은 비가역량을 발생시키는 매우 효과적인 장치이므로, 활강 사면로의 또는 배수로의 바닥에서 유동중인 유체의 과다한 운동에너지를 소실시킬 목적으로 통상 이용된다. 또한 도약경사면에 생성되는 롤러현상이 격렬한 교란을 수반하므로 효과적인 혼합실로 사용되기도 한다. 수력도약을 실험적으로 측정한 결과는 값이 방정식으로 계산한 값과 1% 이내의 오차를 보일 뿐이다. 55 55