(Vector Differential Calculus.

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1 (Vector Differential Calculus.
Ch. 3 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 (Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl) 벡터미분학은 고체역학, 유체의 흐름, 열전도, 정전기학 등에서 유용한 도구. 벡터함수와 벡터장이 항공기, 레이저 발생기, 열역학 시스템, 또는 로봇과 같은 시스템의 기본. 내용 : 벡터의 기본적인 연산, 벡터미분, 곡선상으로의 응용

2 3.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 (Vectors in 2-Space and 3-Space)
스칼라(Scalar) : 적당한 측도를 단위로 하여 그것의 크기에 의하여 결정되는 양 Ex. 길이, 온도, 전압 벡터(Vector) : 크기와 방향에 의하여 결정되는 양 Ex. 힘, 속도 벡터의 표시: 방향성분(Directed Line Segment)을 포함하는 화살표로 표기 길이가 1인 벡터를 단위벡터(Unit Vector)라 함

3 두 벡터의 상등 두 벡터 사이의 관계 상등관계 길이는 같지만 방향이 다른 벡터 방향은 같지만 길이가 다른 벡터 길이와 방향이
3.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 두 벡터의 상등 두 벡터 사이의 관계 상등관계 길이는 같지만 방향이 다른 벡터 방향은 같지만 길이가 다른 벡터 길이와 방향이 모두 다른 벡터

4 위치벡터(Position Vector)
3.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 벡터의 성분 위치벡터(Position Vector)

5 순서를 갖는 실수로 된 삼중수로서의 벡터 고정된 직교좌표가 주어지면 각 벡터는 해당하는 성분으로 된 순서를 갖는 삼중
3.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 순서를 갖는 실수로 된 삼중수로서의 벡터 고정된 직교좌표가 주어지면 각 벡터는 해당하는 성분으로 된 순서를 갖는 삼중 수로 유일하게 결정된다. 실수로 이루어진 순서를 갖는 삼중수에 대하여 정확하게 한 개의 벡터가 대응된다. 원점은 방향이 없고 길이가 영인 영벡터(Zero Vector)에 대응된다. 두 벡터의 합 스칼라곱(실수에 의한 곱)

6 3.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 벡터합의 기본성질 스칼라곱의 기본성질

7 단위벡터 : 직계좌표계에서 각 축의 양의 방향에 놓인 단위벡터
3.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 단위벡터 : 직계좌표계에서 각 축의 양의 방향에 놓인 단위벡터

8 3.2 내적(점곱)(Inner Product(Dot Product))
벡터의 내적 : 두 벡터의 내적(Inner Product)또는 점곱(Dot Product)는 두 벡터의 길이와 두 벡터 가 이루는 사잇각의 코사인 값의 곱이다. 성분에 의한 내적의 표기 영벡터는 모든 벡터에 직교

9 3.2 내적(점곱) 직교성 영벡터가 아닌 두 벡터 내적이 영이 될 필요충분조건은 두 벡터가 서로 직교하는 것이다. 길이와 각도

10 3.2 내적(점곱) 내적의 일반적 성질

11 3.3 외적(벡터곱)(Vector Product(Cross Product))
벡터의 외적 성분에 의한 내적의 표기

12 3.3 외적(벡터곱) 벡터곱의 일반 성질

13 스칼라 삼중적 삼중적의 성질과 응용 내적연산과 외적연산을 서로 바꾸어도 불변이다.
3.3 외적(벡터곱) 스칼라 삼중적 삼중적의 성질과 응용 내적연산과 외적연산을 서로 바꾸어도 불변이다. 기하학적 해석(Geometric Interpretation) 일차독립성(Linear Independence)

14 3.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수
(Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives) 함수의 정의역 ⇒ 공간내의 영역: 3차원 공간, 곡면, 곡선 벡터장(Vector Field) ⇒ 주어진 영역에서의 벡터함수: 곡면, 곡선 스칼라장(Scalar Field) ⇒ 주어진 영역에서의 스칼라함수: 온도장, 기압장 벡터함수와 스칼라함수의 기호 표기

15 3.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수
수렴(Convergence) 연속성

16 3.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수
벡터함수의 도함수 벡터미분공식

17 3.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수
벡터함수의 편도함수

18 (Curves. Arc Length. Curvature. Torsion)
3.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림 3.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림 (Curves. Arc Length. Curvature. Torsion) 미분기하학(Differential Geometry) : 공간곡선이나 곡면을 연구하는 학문 상대성이론, 항곡, 지리학, 측지학, 기존 공학설계 및 컴퓨터를 이용한 설계, 역학 등의 분야에서 중요한 역할을 한다. 매개변수표현법(Parametric Representation) 공간에서 움직이는 물체의 경로인 곡선을 표현

19 3.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림 곡선의 접선

20 3.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림 곡선의 길이 곡선에서의 호의 길이

21 접선가속도와 법선가속도 역학에서의 곡선. 속도와 가속도
3.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림 역학에서의 곡선. 속도와 가속도 접선가속도와 법선가속도 접선가속도 벡터(Tangential Acceleration Vector) : 경로와 접선방향 법선가속도 벡터(Normal Acceleration Vector) : 경로와 수직방향

22 3.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림 곡선의 곡률과 비틀림

23 (Calculus Review : Functions of Several Variables)
3.6 미적분학의 복습 : 다변수함수 3.6 미적분학의 복습 : 다변수함수 (Calculus Review : Functions of Several Variables) 연쇄법칙

24 평균값의 정리(Mean Value Theorem)
3.6 미적분학의 복습 : 다변수함수 평균값의 정리(Mean Value Theorem)

25 (Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative)
3.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수 3.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수 (Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative) 기울기(Gradient) :

26 3.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수 방향도함수

27 3.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수 기울기의 특성. 최대증가 곡면의 법선벡터로서의 기울기

28 곡면의 법선벡터로서의 기울기 곡면의 법선벡터(Surgace Normal Vector) : 곡면법선과 평행한 벡터
3.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수 곡면의 법선벡터로서의 기울기 곡면의 법선벡터(Surgace Normal Vector) : 곡면법선과 평행한 벡터

29 3.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수 스칼라장의 기울기인 벡터장(퍼텐셜) 인력장. 라플라스 방정식

30 3.8 벡터장의 발산(Divergence of a Vector Field)
발산의 불변성

31 3.9 벡터장의 회전(Curl of a Vector Field)
회전체와 회전 강체 회전에 대한 벡터장의 회전은 회전축 방향과 같은 방향을 가지며, 그 크기는 각속력 의 두 배가 된다.

32 기울기, 발산, 회전 기울기장(Gradient Field)은 비회전(Irrotational)이다. 즉,
3.9 벡터장의 회전 기울기, 발산, 회전 기울기장(Gradient Field)은 비회전(Irrotational)이다. 즉, 벡터함수의 회전에 대한 발산도 영벡터가 된다. 회전의 불변성