Fourier Series and Fourier Transform

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1 Fourier Series and Fourier Transform
- 주기적인 파형은 많은 실제적인 회로에서 사용되고 있다. - 정현파 입력을 입력 전원으로 사용하는 회로를 해석하는 것을 학습했다. - 이 장에서는 비 정현적인 주기 함수를 정현파 파형의 합으로 표현하는 것에 대하여 학습한다. - 비 정현적인 주기 함수를 정현파 파형의 합으로 표현하면 각각의 정현파 입력에 대한 응답을 중첩의 정리를 이용하여 더하면 원하는 응답을 얻을 수 있다. - 정현파 함수로 표현을 하면 공학적으로 매우 유용하다. - 왜냐하면, 여태까지 많은 해석을 정현파 입력을 기준으로 해와서 많은 지식을 가지고 있으며, 모든 함수를 정현파 함수로 나타낼 수 있고 그 응답을 합하면 원하는 응답을 얻을 수 있기 때문이다.

2 Diagram of a power supply
Dc Power Supply - 실험실의 전원은 교류 전압을 직류전압으로 정류해서 사용한다. - 전파 정류기의 출력은 입력 전압의 절대값이 된다. 예를 들어, A = 160 V, w0=377 rad/s 이라 하자. - 아래의 회로는 직류 항은 통과시키고, 교류 항은 감쇠시킬 것이다. - 여파기의 출력 vo(t)는 주기 함수이고, Fourier series 로 나타낼 수 있다. - 교류 성분은 원하는 출력이 아니고, 출렁이는 전압을 리플(ripple)이라고 한다. - 다음과 같이 DC 전원을 설계하라. - 출력 전압은 90 V 이상이어야 하고, 리플은 직류 값의 5 % 이하이어야 한다. Diagram of a power supply

3 Fourier Series - 주기함수 f(t) 를 Fourier 급수로 나타낼 수 있다. 또는
비 정현파 주기 함수 각 정현파 응답의 합을 구함 비 정현파 해석 정현파 함수의 합으로 표현 각 정현파 입력의 응답을 구함 정현파 해석 Fourier 급수 응답을 구함 중첩의 정리 - n=1 인 cos (w0t+q1) 를 基本波라고 한다. - n=k (2 이상)인 cos (kw0t+qk) 를 高調波라 한다. - 수학적으로 주기 함수 f(t) 는 다음을 만족해야 한다. (1) f(t) 는 제한된 수의 점을 제외하고 single-valued function 이다. (2) f(t) 의 절대값의 적분은 유한하다. (3) f(t) 는 주기 T 안에서 제한된 수의 불연속점을 갖는다. (4) f(t) 는 주기 T 안에서 제한된 수의 극대, 극소값을 갖는다.

4 Orthogonal Set of Functions

5 Periodic Rectangular Wave
주기 함수가 우함수이므로 bn=0 이다.

6 Symmetry of Function Even-function symmetry Odd-function symmetry
Half-wave symmetry

7 Exponential Form of Fourier Series
c0 = a0 이고 cn∠qn=an – jbn 이다. 이라고 정의하면 여기서

8 Fourier Spectrum (I) 角 周波數의 함수인 복소 푸리에 상수인 Cn로 쓰여진다면 Fourier spectrum 을 표현할 수 있다. Fourier spectrum 은 기본 주파수와 이것의 高調波에서만 존재하므로 불연속 또는 선 스펙트럼이라고도 불린다. 진폭 스펙트럼은 各 주파수의 진폭을 높이로 나타내는, 일정하게 연속적으로 위치한 막대 모양으로 표현된다. 위상 스펙트럼은 적절한 주파수에 위치한, 위상 값에 비례하는 막대 모양으로 표현된다. Fourier spectrum 은 기본 주파수와 이것의 高調波에서의 복소 푸리에 상수의 진폭과 위상을 도식적으로 보여준다.

9 A periodic sequence of pulses each of width .
Fourier Spectrum (II) A periodic sequence of pulses each of width . (b) Phase spectra for the pulse width  = T/5. (a) The line spectra |Cn| and the function |sin x|/x| in color for pulse width  = T/5 for each pulse 5 10 15 -5 -10 -15 n 폭이 d 이고 반복적인 펄스의 푸리에 스펙트럼을 구해보자. For n≠0 For n=0 진폭: 위상: n 이 0 ~ 5까지는 영, 6 ~ 9 까지는 p rad.

10 Truncated Fourier Series
실제 계산에서 합산을 무한대 항까지 할 수 없다. 그때 오차가 발생하고, mean-square error (MSE) 는 계수가 푸리에 상수일 때 가장 작다. 여기서 SN(t)는 N 항까지의 합. N = 15 일 때의 그림. Gibbs 현상 : 점프하는 곳에서의 진동이 생기는데 이 때 overshoot 가 전개한 항의 수에 관계없이 10 % 정도인 현상.

11 Circuits and Fourier Series
구형파 전압을 푸리에 급수로 표현하면 아래와 같다. 중첩의 정리를 이용하여 각각의 전원에 의한 응답을 구하여 합한다. 그런 후 페이저 역변환을 한다.

12 Fourier Transform 여기서 T 가 무한대로 커지면 여기서 F(jw) 는 f(t) 의 Fourier 변환이다.

13 Fourier Transform of Aperiodic Pulse
An aperiodic pulse. 그림과 같은 비 주기성 펄스의 푸리에 변환을 구해보자. The Fourier transform for the rectangular aperiodic pulse is shown as a function of . 임펄스 d (t-t0) 의 푸리에 변환을 구해보자. t0=0 인 임펄스 d (t) 의 푸리에 변환을 구하면 즉, 모든 주파수에서 1 이다.

14 Fourier Transform Properties (I)
푸리에 변환은 복소함수이므로 이며, 다음과 같이 쓰면 이 된다. 으로 쓰자. : 공액 복소수

15 Fourier Transform Properties (II)

16 Spectrum of Signals - signal f(t) 의 스펙트럼은 F(w) 이다. - 사각형 펄스의 스펙트럼
An aperiodic pulse. The Fourier transform for the rectangular aperiodic pulse is shown as a function of . - 임펄스 d (t)의 스펙트럼 - 진폭이 A인 직류 신호의 스펙트럼 w t

17 Fourier Transform and Laplace Transform
(1) s 대신에 jw 를 쓰면 라플라스 변환식에서 푸리에 변환식을 얻을 수 있다. (2) s 대신에 -jw 를 쓰면 라플라스 변환식에서 푸리에 변환식을 얻을 수 있다. (3) (1)과 (2)를 따로 구해서 합한다.

18 Diagram of a power supply
Dc Power Supply (I) - 실험실의 전원은 교류 전압을 직류전압으로 정류해서 사용한다. - 전파 정류기의 출력은 입력 전압의 절대값이 된다. 예를 들어, A = 160 V, w0=377 rad/s 이라 하자. - 아래의 회로는 직류 항은 통과시키고, 교류 항은 감쇠시킬 것이다. - 여파기의 출력 vo(t)는 주기 함수이고, Fourier series 로 나타낼 수 있다. - 교류 성분은 원하는 출력이 아니고, 출렁이는 전압을 리플(ripple)이라고 한다. - 다음과 같이 DC 전원을 설계하라. - 출력 전압은 90 V 이상이어야 하고, 리플은 직류 값의 5 % 이하이어야 한다. Diagram of a power supply

19 A simple RL low-pass filter connected to the rectifier.
Dc Power Supply (II) - 전파 정류한 파형을 Fourier series 로 변환하면 아래의 식이 된다. A simple RL low-pass filter connected to the rectifier. - vsn(t) 을 vs(t) 의 n 고조파 전압이라고 하자. - 여파기의 출력 또한 Fourier series 로 표현할 수 있다. - 오른 쪽의 회로는 간단한 RL 여파기를 보여주고 있다. - 저항 Rs 는 정류기의 출력 측에서 본 저항이고, 레귤레이터의 입력 저항은 무한대로 가정한다. - 따라서, 레귤레이터를 연결했을 때의 부하효과(loading effect)를 무시할 수 있다. - 설계 사양에 의해 리플은 직류 값의 5 % 이하이어야 한다. amplitude of the ripple ≤ 0.05 · vo0 - 이 식을 간략히 하여 아래와 같이 표현한다.\

20 A simple RL low-pass filter connected to the rectifier.
Dc Power Supply (III) - 직류에 대해서 인덕턴스는 단락으로 볼 수 있으므로 - 기본파에 대한 리플을 구하면 - 여기서 - 출력 전압은 90 V 이상이어야 하므로 을 만족해야 하므로 - 표준 저항을 사용하여 80 W 을 선택. - 이때 출력 전압은 V 가 됨. A simple RL low-pass filter connected to the rectifier. vs vo vo