Final Examination, 2008 Fluid Mechanics Professor Joon Hyun Kim

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1 Final Examination, 2008 Fluid Mechanics Professor Joon Hyun Kim
Problems of Second Chapter (Fluid Statics) [3.1] [3.2]

2 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
3.1 Explain the concept of the normal and shear force and stress by using the figures. - 수직항력 책상 위에 두꺼운 책을 놓으면, 그 책에는 중력이 작용한다. 중력 외에 다른 힘이 작용하지 않는다고 하면 책은 책상을 뚫고 중력이 작용하는 방향인 지구 중심으로 내려가야 한다. 하지만 실생활에서 자주 보는 것처럼 그런 일은 일어나지 않는다. 책상이 중력과 똑같은 크기로 책을 떠받치고 있기 때문이다.

3 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
지구상에 존재하는 모든 물체는 기본적으로 지표면에 의한 수직항력을 받고 있기 때문에 지구 중심으로 끌려 들어가지 않는다. 이렇게 물체가 접촉하고 있는 면이 물체를 수직 윗 방향으로 떠받치는 힘을 수직항력 이라고 한다. 수직항력은 작용·반작용의 관계가 아니다. 중력과 합쳐져서 전체 힘의 크기를 0으로 만드는 힘이다.

4 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
경사면에 놓여진 물체의 경우 중력의 방향은 경사면의 기울기와 관계없이 지구 중심방향을 향하지만, 수직항력의 경우는 면과 수직인 방향으로 작용한다. 따라서 중력을 상쇄하는 것은 중력과 일직선상에 있는 방향의 성분이고 중력과 수직한 방향의 성분은 물체에 외력으로 작용하게 된다.

5 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
- 전단력 부재의 횡 방향으로 작용하여 Bending moment를 발생시키고 부재를 파단 시키는 힘이다. 이러한 외력에 대한 저항벽체를 전단벽이라 칭한다. Lateral shear : 전단력 Resistance : 응력

6 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
응력은 단위면적당 작용하는 힘이다. 응력의 단위는 힘의 단위/면적단위이다. 대표적으로 N/m² 이 있다.

7 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
3.2 Derive the equation for the pressure from the two concept of the weight and the Euler Equation including the related figures. 정지유체내의 요소에 작용하는 힘은 표면력(surface force)과 체적력(body force)으로 구성된다. 다음 장에 나올 (그림 2.2) 참고.

8 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
체적력으로서 중력만이 작용한다고 가정할 때, 체적력을 y축으로 택하면 체적력은 y방향으로 가 작용한다. (그림 2.2)

9 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
중심 (x, y, z)에서의 압력을 p라 할 때 y축에 수직하고 원점에 가장 가까운 면에 작용하는 힘은 근사적으로 이고 반대 면에 작용하는 힘은 이다. 여기서 δy/2는 중심으로부터 y축에 수직하는 면까지의 거리이다.

10 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
y방향으로 작용하는 힘을 합하면 다음과 같다. x와 z방향에 대해서는, 이 방향의 체적력 성분이 존재하지 않으므로

11 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
로 양변을 나누고, 요소의 크기를 0으로 접근시키면

12 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
와 같이 표시된다. 이 값은 한 점에서 단위부피당 작용하는 결과력을 의미하며, 정지유체 중에서는 그 크기가 0이 되어야 한다. 괄호안의 양은 구배(gradient)로서 ∇로 표기하고 del이라고 부른다.

13 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
(2.2.2) 그리고 p의 음기울기 -∇p는 압력에 의해 단위체적에 작용하는 표면력의 벡터장 f이다. 결국 압력변화에 관한 정역학 법칙은 다음과 같이 된다.

14 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
운동하고 있는 비 점성 유체나, 혹은 유체 내 모든 점에서 전단응력이 0이 되도록 흐르는 유체에 Newton의 운동 제 2법칙은 다음과 같은 형으로 표시된다. 여기서 a는 유체요소의 가속도이다. (f - jr)는 중력이 체적력만으로써 작용할 때 유체에 작용하는 결과력이다. 식(2.2.4)를 성분별로 나누어 표시하면 아래의 식이 된다.

15 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
수평방향의 압력변화를 나타내는 편 미분계수 는 일종의 Pascal의 원리를 나타낸 것이다. 즉, 연속되어 있는 정지유체 내에서 같은 높이에 있는 두 점에서의 압력은 같다는 것을 말해준다. p는 y만의 함수이므로 이 간단한 미분방정식은 압축성, 비압축성유체 모두에 적용되는 것으로, 유체내의 압력변화는 비중량과 높이의 변화에 관계됨을 보여주고 있다.

16 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
균질, 비압축성유체에서는 r가 상수이므로 식 (2.2.7)을 적분하고 적분상수를 c라 하면 아래의 식과 같이 된다. 압력변화에 관한 靜水力學的(정수역학적) 法則(법칙)은 흔히 다음 형태로 쓰고 있다. 여기서 h는 자유표면으로부터 수직하향 깊이(h=-y) 이고 p는 자유표면에서의 압력보다 증가된 압력의 크기를 나타낸다.

17 Problems of Second Chapter (Fluid Statics)
이 압력은 정수압력(hydrostatic pressure)이라 말한다. 앞에서 말한 식 (2.2.8)은 윗면이 자유표면과 일치하고 높이가 h인 액체기둥을 자유물체로 택하여 평형방정식을 적용함으로써 유도할 수도 있다.