5. 원운동과 중력 © 2014 Pearson Education, Inc..

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1 5. 원운동과 중력 © 2014 Pearson Education, Inc.

2 5. 원운동과 중력 5.1 등속 원운동의 운동학 5.2 등속 원운동의 동역학 5.3 고속도로 커브 길: 기울어진 도로면과 평평한 도로면 5.4 비등속 원운동 5.5 뉴턴의 만유인력 법칙 5.6 지표면 부근의 중력 5.7 위성과 ‘무중력’ 5.8 행성, 케플러 법칙 그리고 뉴턴의통합 5.9 매일 한 시간씩 늦게 뜨는 달 5.10자연에 존재하는 힘의 종류

3 5장 주요용어 등속 원운동(uniform circular motion) 고정된 별(fixed star)
5장 주요용어 . 등속 원운동(uniform circular motion) 고정된 별(fixed star) 천체반구(celestial sphere) 가속도(centripetal acceleration) 행성(planet) 지름 가속도(radial acceleration) 지구 중심설(geocentric) 진동수(frequency) 태양 중심계(heliocentric) 주기(period) 케플러 행성 운동 법칙(Kepler’s laws of planetary motion) 곡률 반지름(radius of curvature) 만유인력 법칙(law of universal gravitation) 역제곱 법칙(inverse square law) 겉보기 무중력(apparent weightlessness)

4 5장 주요용어 미동(perturbations) 뉴턴의 통합(Newton’s synthesis)
5장 주요용어 미동(perturbations) 뉴턴의 통합(Newton’s synthesis) 인과 법칙(causal laws) 인과성(causality) 정해진(deterministic) 보름달(Full moon) 초승달(New moon) 삭망 주기(synodic period) 항성 주기(sidereal period)

5 5-1 등속 원운동의 운동학 등속 원운동: 일정한 반지름인 원주에서 일정한 속력으로 선회하는 운동이다.
속도의 방향은 계속 바뀐다. 순간속도는 항상 원에 접한다(tangent). 원운동의 평균가속도는 ? 𝐚 = 𝐯 2 − 𝐯 1 ∆𝑡 = ∆ 𝐯 ∆𝑡 © 2014 Pearson Education, Inc.

6 시간 간격이 무한히 작은 극한(∆𝑡→0 )에서의 속도의 시간변화율, 곧 가속도:
만일 ∆𝑡→0 이면 (∆𝑙, ∆𝜃)→0 이고 𝐯 1 ∥ 𝐯 2 이다. ∆𝑣 𝑣 ≈ ∆𝑙 𝑟 -> ∆𝑣= 𝑣 𝑟 ∆𝑙 => (× 1 ∆𝑡 ) 하면 => ∆𝑣 ∆𝑡 = 𝑣 𝑟 ∆𝑙 ∆𝑡 시간 간격이 무한히 작은 극한(∆𝑡→0 )에서의 속도의 시간변화율, 곧 가속도: 𝑎 𝑅 = 𝑣 2 𝑟 (5.1) © 2014 Pearson Education, Inc.

7 등속력 v로 반지름 r인 원궤적을 따라 움직이는 물체는 방향이 원의 중심으로 향하고 크기가 로 주어지는 𝑎 𝑅 = 𝑣 2 / 𝑟 의 구심 가속도를 가진다.
원운동의 주기와 진동수 𝑇= 1 𝑓 (5.2) © 2014 Pearson Education, Inc.

8 예제 5.1 회전하는 공의 구심가속도 © 2014 Pearson Education, Inc.

9 예제 5.2 달의 구심 가속도 © 2014 Pearson Education, Inc.

10 5-2 등속 원운동의 동역학 물체가 등속 원운동을 하려면 물체에 작용한 알짜 힘이 있어야 한다. 이미 가속도를 알고 있으므로 알짜 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다. 𝐹 𝑅 =𝑚 𝑎 𝑅 =𝑚 𝑣 2 𝑟 (5.3) © 2014 Pearson Education, Inc.

11 줄 끝에 공이 달린 경우를 생각하면, 힘이 원의 중심을 향해야 함을 알 수 있다.
줄이 공에 작용하는 힘 줄이 손에 작용하는 힘 © 2014 Pearson Education, Inc.

12 안 일어남 일어남 원의 중심에서 바깥을 향하는 원심력은 없다. 단지 물체가 직선 상을 움직이는 경향을 극복해야만 하는 것이다. 구심력이 사라지면 물체는 원의 접선 방향으로 날아간다. © 2014 Pearson Education, Inc.

13 예제 5.4 연직 원으로 회전하는 공 길이 1.10 m의 끈(질량 무시)에 kg의 공을 매달아 연직 원으로 돌린다. (a) 맨 위에서 공이 원운동을 계속하기 위해 필요한 최소 속력을 구하라. (b) 맨 아래에서 공이 (a)의 속력보다 두 배 빠르게 돈다고 가정할 때 끈의 장력을 구하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

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15 5-3 고속도로 커브 길: 기울어진 도로면과 평평한 도로면
5-3 고속도로 커브 길: 기울어진 도로면과 평평한 도로면 자동차가 원의 일부인 원호로 된 커브를 돌아가려면, 원의 중심을 향한 알짜 힘이 있어야 한다. 평평한 도로에서 회전하려면, 마찰력이 그 힘을 준다. © 2014 Pearson Education, Inc.

16 마찰력이 충분하지 않으면 자동차가 좀 더 직진하기 때문에 스키드 마크(skid mark)가 생긴다..
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17 예제 5.5 커브에서 미끄러지기 1000 kg의 자동차가 반지름이 50 m인 평평한 커브 길을
예제 5.5 커브에서 미끄러지기 1000 kg의 자동차가 반지름이 50 m인 평평한 커브 길을 15 m/s의 속력으로 돌고 있다. 도로 면이 건조하고 𝜇 𝑠 = 0.60일 때와 도로 면에 얼음이 얼어 있고 𝜇 𝑠 = 0.25일 때 이 차는 커브를 돌아 나가는가 아니면 미끄러지는가? © 2014 Pearson Education, Inc.

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19 타이어가 미끄러지지 않으면 정지 마찰력이 작용한다. 그러나 타이어가 미끄러지면 운동 마찰력이 작용하여 나쁜 점이 두 가지 있다.
운동 마찰력은 정지 마찰력 보다 더 작다. 정지 마찰력은 원의 중심을 향할 수 있지만, 운동 마찰력은 운동방향과 반대로 작용하기 때문에 커브 길을 돌기 위해 자동차를 제어하기 힘들다. © 2014 Pearson Education, Inc.

20 경사진 커브 길 자동차의 미끄러짐을 방지해준다.
경사진 도로에서는 구심력이 전적으로 수직항력의 수평성분에 의해서 주어지고 마찰력은 필요 없다. 곧, © 2014 Pearson Education, Inc.

21 반지름 r인 커브를 속력 로 돌아가는 자동차에 대해 마찰력이 필요 없는 도로의 경사각을 결정하는 식을 구하라.
예제 5.6 경사각 반지름 r인 커브를 속력 로 돌아가는 자동차에 대해 마찰력이 필요 없는 도로의 경사각을 결정하는 식을 구하라. 반지름 50 m인 커브에서 설계 속력 50 km/h인 경우 경사각은 얼마인가? © 2014 Pearson Education, Inc.

22 © 2014 Pearson Education, Inc.

23 5-4 비등속 원운동 물체가 원형 경로에서 속력이 변하는 운동을 하면, 물체의 가속도는 반지름방향 성분 뿐만 아니라 접선방향 성분을 가진다. F = F 𝑅 + F _tan a = a 𝑅 + a _tan © 2014 Pearson Education, Inc.

24 예제 5.7 가속도의 두 성분 경주용 자동차가 반지름 500 m인 원형 트랙의 피트 구역에서 정지 했다 출발하여 일정한 비율로 가속하여 11 s만에 속력 35 m/s에 도달한다. 접선 가속도가 일정하다고 가정하고 속력이 = 15 m/s인 순간의 (a) 접선 가속도와 (b) 지름 가속도를 구하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

25 5-5 Newton 의 만유인력 법칙 중력이 지구상의 물체에 작용하고 있다면, 그 힘의 근원은 무엇인가? Newton 은 그 힘이 지구에서 나온다는 것을 알았다. 그는 이 힘이 달이 궤도 운동을 유지하도록 한다는 것도 알아냈다. © 2014 Pearson Education, Inc.

26 여러분에게 작용하는 중력은 제3법칙의 작용-반작용 중 하나이다
여러분에게 작용하는 중력은 제3법칙의 작용-반작용 중 하나이다. 지구는 당신에게 아래 방향(지구 쪽) 으로 힘을 작용하고, 당신은 지구에게 윗 방향(여러분 쪽)으로 힘을 작용한다. . 두 물체의 질량의 차이가 크면 반작용을 탐지할 수 없지만, 질량이 같은 두 물체 사이에는 그것이 뚜렷하다. 지구가 달에 작용하는 힘 달이 지구에 작용하는 힘 그러므로 중력은 두 물체의 질량에 비례한다 © 2014 Pearson Education, Inc.

27 Newton 은 행성 궤도를 관측하여 ‘중력이 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다’고 결론을 내렸다.
만유인력 법칙 우주상의 모든 입자는 다른 모든 입자와 두 질량의 곱에 비례하고 둘 사이 거리의 제곱에 반비례하는 힘으로 서로 잡아당긴다. 이 힘은 두 입자를 연결하는 선을 따라 작용한다. 𝐹 𝐺 =𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 (5.4) 중력상수: G = 6.67 × 10−11 N·m2/kg2 역제곱의 법칙 © 2014 Pearson Education, Inc.

28 중력 상수 G 는 실험실에서 으로 측정할 수 있다. Cavendish의 비틀림 저울을 이용한 실험.
섬유 거울 눈금자 막대 레이저 빔 © 2014 Pearson Education, Inc.

29 예제 𝑹 𝑬 상공의 우주선 지구 중심으로부터 지구 반지름의 두 배 거리의 궤도(즉 지표면에서 거리 𝑟 𝐸 = 6380 km 상공)를 돌고 있는 2000 kg의 우주선에 작용하는 중력은 얼마인가(그림 5.18)? 지구의 질량5.9 은 𝑚 𝐸 =5.98 × kg이다. © 2014 Pearson Education, Inc.

30 5-6 지표면 부근에서의 중력 지표 부근 (𝑟= 𝑟 𝐸 )에서 중력상수 𝐺 와 중력가속도 𝑔 의 관계: 알고 있는 𝑟 𝐸 , 𝑔, 𝐺의 값을 대입하면 지구의 질량은 𝐹 𝐺 =𝑚𝑔=𝐺 𝑚 𝑚 𝐸 𝑟 2 => 𝑔=𝐺 𝑚 𝐸 𝑟 𝐸 (5.5) © 2014 Pearson Education, Inc.

31 지구의 모형이 완전히 구형이 아니기 때문에 중력 가속도는 지구에서의 고도, 위도, 지형에 따라 다르다.
지구의 모형이 완전히 구형이 아니기 때문에 중력 가속도는 지구에서의 고도, 위도, 지형에 따라 다르다. © 2014 Pearson Education, Inc.

32 5-7 위성과 무중력 인공위성을 자주 지구주위의 궤도에 올려 놓는다. 인공위성은 접선 속력이 충분히 커야 지구로 떨어지지 않지만, 너무 크면 지구중력에서 벗어난다. 원궤도 타원궤도 지구 탈출 © 2014 Pearson Education, Inc.

33 인공위성의 속력이 위성이 궤도를 유지하게 한다.그것은 계속해서 지구를 향해서 떨어지지만 지구에 대해서는 커브를 그린다.
중력이 없을 때 중력 영향 © 2014 Pearson Education, Inc.

34 궤도에 있는 물체는 무중력을 경험하지만,실제로는 그것에 중력이 작용한다. 인공위성과 그 속의 물건은 자유낙하 한다
궤도에 있는 물체는 무중력을 경험하지만,실제로는 그것에 중력이 작용한다. 인공위성과 그 속의 물건은 자유낙하 한다. 그래서 수직항력은 없다. 이 경우 무중력을 경험하게 한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

35 좀 더 적절하게, 이 효과는 중력이 아직도 존재하기 때문에 겉보기 무중력이라고 부른다, 지구에서도 매우 짧은 시간 이지만 다음의 경우에 무중력을 경험할 수 있다.
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36 5-8 행성, Kepler 법칙, 달과 Newton 의 통합
각 행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이다. © 2014 Pearson Education, Inc.

37 각 행성에서 태양까지 그은 가상의 선은 같은 시간에 같은 면적을 휩쓴다.
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38 3. 태양 행성의 궤도운동 주기의 제곱과 그 행성과 태양 사이의 평균 거리의 세제곱의 비와 같다
3. 태양 행성의 궤도운동 주기의 제곱과 그 행성과 태양 사이의 평균 거리의 세제곱의 비와 같다. 𝑇 1 𝑇 2 2 = 𝑆 1 𝑆 2 3 © 2014 Pearson Education, Inc.

39 케플러 제 3법칙의 유도 𝑇 𝑟 = 4𝜋 2 𝐺𝑀 𝑠 (5.7a) 𝑇 1 𝑇 = 𝑟 1 𝑟 (5.7b) © 2014 Pearson Education, Inc.

40 Newton 의 법칙으로부터 Kepler 법칙을 유도할 수도 있다
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41 5-10 자연에 존재하는 힘의 종류 현재까지 물리학에서는 네 가지 기본 힘을 알아냈다. 중력 전자기력
현재까지 물리학에서는 네 가지 기본 힘을 알아냈다. 중력 전자기력 약한 핵력 (한 형태의 방사성 붕괴와 관련됨.) 강한 핵력 (양성자들과 중성자들을 핵에 묶어둔다.). © 2014 Pearson Education, Inc.

42 그렇다면 마찰력,수직항력, 장력 등은 어떤 힘인가
그렇다면 마찰력,수직항력, 장력 등은 어떤 힘인가? 중력을 제외하면, 우리가 매일 경험하는 힘은 원자수준에서 작용하는 전자기력이다. © 2014 Pearson Education, Inc.

43 5장 요약 일정 속력으로 원궤도에서 운동하는 물체는 등속원운동을 한다.
등속 원운동하는 물체의 구심가속도는 𝑎 𝑅 = 𝑣 2 𝑟 이다. 질량에 구심가속도를 곱한 구심력이 있다. 마찰력, 중력, 장력, 수직항력 등이 구심력을 제공한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

44 위성이 지구궤도에 있기 위해서는 접선방향으로 매우 큰 속력을 가져야 한다.
Newton의 만유인력의 법칙 : 위성이 지구궤도에 있기 위해서는 접선방향으로 매우 큰 속력을 가져야 한다. 𝐹 𝐺 =𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 2 (5-4) © 2014 Pearson Education, Inc.