Chapter. 2 쿨롱의 법칙과 전계세기.

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1 Chapter. 2 쿨롱의 법칙과 전계세기

2 2.1 쿨롬의 실험법칙 쿨롬(Coulomb)의 실험 진공 또는 자유공간 (free space) 내
두개의 작은 물체가 존재할 때 물체 사이의 거리 R 물체 크기 d 두 물체 사이에 작용하는 힘 F 는? 단 힘 F : Newton (N) Q1, Q2 : 물체가 갖는 전하량 (C : Coulomb) R : 두 물체 사이의 거리 (m) k : 비례상수 힘 F 는 : 물체가 가지고 있는 전하량에 비례 물체 사이의 거리 제곱에 반비례 k 값 : 9ⅹ109 분모에 1/4p가 있음에 유의 (Maxwell 방정식에는 이 4p가 생략) 즉 맥스웰 식을 간단히 하기위해 여기에 4p 인자 사용 e0 : 자유공간에서의 유전율(permittivity), 단위 : Faraday/m 크기 : (1) (2)

3 쿨롬(Coulomb)의 법칙 (2) 1 N(뉴톤)의 크기? : 1 kg의 질량을 1 m/sec2의 가속도로 가속하는데 필요로 한 힘 1 Coulomb의 크기는? 약 6 1018 개의 전자가 갖는 전하량 (－1 C) 과 동일 ∵ 전자 또는 양자가 갖는 전하량의 크기 :  C (MKS 단위인 [C]으로 표시) 1 C 의 전하량을 갖는 물체 사이에 작용하는 힘은? 9  109 N으로 약 100만ton ∵ 두 전하가 1 m 떨어져 있는 경우의 이들 사이에 작용하는 힘과 동일Coulomb의 법칙) 전자의 질량 :  kg (정지상태에서) ∴ 1 C은 대단히 큰 전하의 단위 전자의 반경 : 3.8 10-15 m 반경의 의미 : 전자가 구형의 형태를 갖는 것을 의미하는 것이 아니라, 단지 서서히 운동하고, 이는 전자가 발견될 확률이 가장 큰 영역의 크기를 반경 으로 표현한 것이다. 양자를 포함한 다른 대전입자들의 크기와 질량은 전자의 질량보다 크다.

4 <그림 2-1: F의 방향은 벡터 R12의 방향>
쿨롱의 법칙 공식의 벡터 형식화 : <그림 2-1: F의 방향은 벡터 R12의 방향> 두 전하를 잇는 선을 따라 작용하는 힘은? 두 전하의 부호가 같을 때는 척력(상호 미는 힘), 반대일 때는 인력(상호 끄는 힘)이 된다. r1 , r : 원점(origin)으로부터 Q1 , Q2 의 위치를 표시하는 위치벡터 R12=r2-r1 : Q1에서 Q2 방향으로의 선분 벡터 F : Q1에 의해 Q2에 작용하는 힘이고, 그림에서의 방향은 Q1과 Q2가 같은(동일) 부호일 때의 방향으로 정의 Coulomb 법칙의 벡터 형식 : 여기서 a12 : R12 의 단위 벡터 (3) (4) Coulomb의 법칙은 선형(linear)임. ∵ Q1을 n배로 하면 Q2에 작용하는 힘도 n배가 되기 때문 ∴ 여러 개의 전하가 하나의 특정 전하에 미치는 전체의 힘은 각 전하에 의한 힘을 합한 것과 동일

5 예제 점 M(1,2,3)에 Q1=3  10-4, 점 N(2,0,5) 에 Q2=-10-4 C인 전하가 각각 자유공간에 놓여 있다. Q1에 의해 Q2 에 가해지는 힘을 구하시오. 풀이 : 힘의 크기는 30N이며, Q2 에 작용하는 힘을 세 성분으로 표시하면 두 전하의 각각에 작용하는 힘은 방향은 서로 반대이나, 크기는 같다. 관계를 식으로 표시하면 (5)

6 응용예제 2.1 전하 QA= -20 μC이 자유공간에서 A(-6,4,7)에 놓여있고, 전하 QB= 50 μC은 B(5,8,-2)에 놓여있다. 만약 거리가 m로 주어진다면 다음을 구하라. (a) RAB 와 그 크기 (b) ε0 = 10-9 / 36π F/m일때 QB 에 의해 QA 에 작용하는 힘은? (c) ε0 = 8.854*10-12 F/m일때 QB 에 의해 QA 에 작용하는 힘은? 풀이 : (a) RAB = 11ax + 4ay - 9az , (b) (c) 8.99*109

7 2.2 전계의 세기 쿨롬(Coulomb)의 법칙 : 한 전하 Q1를 어떤 위치에 고정하고,
다른 제2의 전하 Q2를 Q1 주위에서 천천히 이동시킬 때, 어떤 위치에서도 이 Q2 전하는 Q1 전하에 의하여 반드시 힘을 받음. 그리고 이 힘의 크기와 방향은 Q2 의 위치에 따라 변함. 이는 Q1 에 의해서 어떤 힘의 “장”이 존재함을 의미하며. 제2의 전하를 시험(test)전하로 부르며, Qt 라고 하면, 이 전하에 작용하는 힘은 : 장(場 혹은 界, force field) 시험전하의 크기가 단위(1)인 경우 시험전하에 작용하는 힘은? 식 (6)의 우변에 나타난 양의 크기는 Q1 만의 함수이며, 방향은 Q1에서 Qt 방향으로의 선분의 함수이다. (6) 식 (6)을 전계의 세기 (electric field intensity) E 라 한다. 전계의 세기 E 는 한 전하에 의하여 단위 양(＋) 전하량을 갖는 시험전하가 받는 벡터 힘

8 의미 : 어떤 전하에 의하여 크기가 1C인 물체에 작용하는 힘이며, 단위는 N/Coulomb
전계의 세기의 정리 및 의미 : 의미 : 어떤 전하에 의하여 크기가 1C인 물체에 작용하는 힘이며, 단위는 N/Coulomb 전계의 세기를 정의하는 식  (7) (8) 식 (8)의 의미 : 진공 속에 있는 단일 점전하 Q1에 의한 전계의 세기를 정의 함 식 (8)에 표시되어 있는 첨자들을 모두 없애면, 다음과 같은 표현 가능 (9)  전계의 세기를 정의하는 일반식 여기서 R : Q가 놓여 있는 점에서 E를 구하고자 하는 점까지의 선분 벡터 R의 크기, aR : 이 R 벡터의 단위벡터를 표시 전계란 전기적인 힘으로, 전기적으로 중성의 원자나 분자를 움직이지는 못하지만, 하전입자에 힘을 작용하여 움직이게 함. 즉, 전자나 양이온 등 하전입자가 등가속운 동을 할 수 있게 하고, 도체에 전류를 흐르게 하는 등 전기적 현상을 유발하여 전기전 자 제품의 작용을 가능하게 한다. 구 좌표계의 원점에 위치한 한 점전하에 의한 전계의 세기 : 단위벡터 aR은 방사상의 단위벡터 ar이 되며, 그리고 R은 r과 동일 ∴ (10)

9 구좌표계에서의 한 점전하에 의한 전계의 세기 (계속) :
전계의 세기는 방사상 성분 (radial component) 만을 가지며, 역자승법칙(거리의 제곱에 반비례) 관계가 성립 직각 좌표계에서의 전전하에 의한 전계의 세기 직각좌표계를 사용하면 그러므로 (11) 이 표현은 전계의 단순한 성질을 즉각적으로는 보여주지는 못함. 구 좌표계에서의 전계의 세기 식보다 훨씬 복잡함. 복잡하더라도 구 좌표계에서 복잡한 문제를 풀 때는 사용하여야 함.

10 직각좌표계의 식으로 표현된 전계의 세기의 특징 :
표현이 단순하고 활용이 용이함. 벡터해석을 사용하지 않고 식 (11)이 갖는 내용을 표시하려면 전계의 세기의 크기를 3개의 성분으로 쪼개 표시, (이들은 각각의 좌표축 상에 투영해서 구함) 반면 벡터 표시법을 사용해서 각각의 단위 벡터를 활용하면 간단히 표현할 수 있음. 원천의 위치가 좌표계의 원점이 아닌 경우 유일의 방법임. 만일 전하가 놓여 있는 위치가 좌표계의 원점이 아닌 경우, 전계는 더 이상 구 대칭성이 되지 않으며, 구 좌표계보다는 직각 좌표계를 사용하는 편이 바람직함. 또한 전하가 z 축상에 있지 않은 선전하의 경우 전계는 원통대칭이 되지 않으므로 직각 좌표계를 쓰는 것이 바람직함. 직각 좌표계의 식을 사용하는 경우 : 점 전하가 좌표계의 원점에 위치 하지 않을 때 선 전하가 z 축상에 있지 않을 때

11 점전하가 원점 이외에 위치하는 경우의 전계의 세기 : 점전하 위치 : 전계를 측정하는 점의 위치 :
점전하가 원점 이외에 위치하는 경우의 전계의 세기 : 점전하 위치 : 전계를 측정하는 점의 위치 : 전하 Q와 측정점 P 사이의 거리 벡터를 R 이라면 r′ = x′ax+y′ay+z′az r = xax+ yay+ zaz R = r- r′ = ( x - x′)ax+ (y - y′)ay+ (z - z′)az <그림 2-2> 위 식을 전계 E의 식에 대입하면 (12) 벡터계는 위치 벡터의 벡터함수라고 정의하였으며, 이러한 정의는 E를 함수 표시법에 의하여 E(r)로 표시함이 바람직함. *위치벡터 : 좌표원점으로부터 위치를 나타내는 점P를 향한 벡터

12 두 점전하에 의한 전계의 세기 : r1 및 r2의 두 점전하 Q1, Q2에 의한 Qt점에서의 전계의 세기는?  Q1 및 Q2가 각각 단독으로 Qt에 작용하는 힘의 합과 동일 이유 : Coulomb의 힘은 선형이기에 가능 여기에서 a1 및 a2 : 각각 (r - r1) 및 (r - r2) 방향의 단위 벡터 다수(n 개) 의 점전하에 의한 전계의 세기 : 각각의 전하에 의한 전계의 세기를 모두 벡터로 합한 것과 동일 (13) (14)  Coulomb의 힘은 선형 <그림 2-3>

13 예 2.2 : 그림 2.4와 같이 3nC 의 전하량을 갖는 4개의 전하가 P1 (1, 1, 0), P2 (-1, 1, 0), P3 (-1, -1, 0), P4 (1, -1, 0) 놓여있다. 각 전하에 의해 점 P(1, 1, 1)에 유기되는 전계 E는? <그림 2.4> r = ax + ay + az, r1 = ax + ay , r2 =?, r3 =?, r4 =?, r - r1 = az r – r2 =? r – r3 =? r – r4 =? |r - r1| = 1, |r - r2| = √5, |r - r3| = 3, |r - r4|= √5 

14 응용예제 2. 2 : -0. 3μC 전하가 A(25, -30, 15)(in cm) 에 놓여있고, 두 번째 전하 0
응용예제 2.2 : -0.3μC 전하가 A(25, -30, 15)(in cm) 에 놓여있고, 두 번째 전하 0.5μC 이 B(-10, 8, 12)cm 에 놓여있다. E를 다음 위치에서 구하라. (a) 원점에서; (b) P (15, 20, 50) 풀이 : (a) (b) RAP = -0.1ax + 0.5ay az , RBP = 0.25ax ay az ,

15 응용 : 10nC 양전하 네 개가 평면 z=0 위에서 한변의 길이가 4m 정사각형의 네 모퉁이에 위치해 있다
응용 : 10nC 양전하 네 개가 평면 z=0 위에서 한변의 길이가 4m 정사각형의 네 모퉁이에 위치해 있다. 그리고 다섯 번째 10nC의 양전하가 앞의 네 개의 양전하들과 각각 4m 거리만큼 떨어져 있다. 이 다섯번째 전하에 미치는 전체 힘의 크기를 구하여라. 직각이등변삼각형 1/√2 *4 * 4 방향 4 2√2 2√2

16 응용 : 각각 5 nC인 세개의 점전하가 자유공간에서 x축 위, x=-1,0,1 지점에 위 치해 있다
응용 : 각각 5 nC인 세개의 점전하가 자유공간에서 x축 위, x=-1,0,1 지점에 위 치해 있다. (a) x=5 지점에서의 E를 구하시오. (b) 매우 먼거리에서 동일 한 장이 만들어지도록 해주는 하나의 등가 점전하의 값과 위치를 결정하 라. (a) E (x=5) =5.8 ax V/m (b) x>>1 인 경우에 이므로 ∴ 등가 점전하는 3q = 15nC, 위치는 x=0

17 * 연속적인 전하분포에 의한 전계 점전하란 자유공간에서 전자나 양이온의 전하량에 의해 형성되는 힘 (쿨롱의 힘) 을 결 정하게 되는데, 일반적으로 회로에 전압이 인가되면 대규모의 전하가 이동하게 된 다. 즉, 전압이 인가되면 전극에는 많은 양의 전하가 매우 균일한 분포로 축적되고, 전극의 모양에 따라 여러가지 형태를 취하므로 이들 전하들을 개개의 점전하로 취급하여 해석하는 것은 비효율적이다. 따라서, 전하분포가 균일한 경우 전하밀도의 개념을 도입하여 이런 문제들을 쉽게 해결 할 수 있다.

18 2.3 연속적인 체적 전하분포에 의한 전계 연속적으로 본포된 체적전하 :
공간전하를 발생하는 음극선관(CRT)의 전자총 내의 음극과 제어그리드 사이 공간에 분포된 수많은 전하 이들은 상호 미소공간 간격으로 떨어져서 존재 이들을 개개의 전하로 취급하는 것 보다 전체로 보는 것이 바람직 이렇게 연속적으로 분포된 전체를 하나의 전하군으로 취급 체적전하라 함. v : 체적전하밀도 (volume charge density)[coulomb/m3(C/m3)] 미소전하량 Q 는? 의미 : 미소체적소 v 내에 있는 전하량 그 값은 : Q = v v (15) v 정의 : (16) 체적적분(3중적분)은 적분 기호를 3개 사용하여야 하나, 관례 적으로 단 하나로 표시 이유 : 미분 dv 가 실제 체적적분 의미 Cathod Ray Tube 유한체적 내의 총전하량은 : (17)

19 예 2.3 : 길이가 2cm인 전자빔이 갖는 총 전하량은? (그림 2.5)
단 전하의 체적 밀도는 풀이) 미소체적소 : dv =  d d dz (원통좌표계이므로 1.8절) 총전하량 Q는 <그림 2.5> ① 우선  에 관해 적분  ② 다음에 z에 관해서 적분. ③ 끝으로  에 관해서 적분하면 

20  형태는? 응용예제 2.4 : 다음과 같은 각 체적의 내부에 있는 총전하량을 구하라.
응용예제 2.4 : 다음과 같은 각 체적의 내부에 있는 총전하량을 구하라.  형태는? 풀이) (b) 미소체적소 : dv =  d d dz (c) 미소체적소 : dv = r2sinθ dr dθ d

21 2.4 선전하에 의한 전계 선전하의 예 : 극히 작은 반경을 갖는 대전(帶電)된 도체와 같이 필라멘트 분포를 갖는 전하
극히 작은 반경을 갖는 대전(帶電)된 도체와 같이 필라멘트 분포를 갖는 전하 선전하에 의한 전계의 세기는? 그림과 같이 원통 좌표계에서 z축으로 -∞에서 +∞까지 전하가 균일하게 분포되어 있는 균일 선전하에 의한 전계의 세기는? 일반적으로 선 전하밀도를 L로 표시 한다. L : 선 전하밀도 <그림 2.6> 사전 고려 사항 해석을 간단히 하기 위하여 대칭성에 관하여 고려. (1) 전계의 세기가 (r, f, z) 중 어느 좌표에 대하여 불변인가? (2) 선전하에 의한 전계의 어떤 성분이 존재하지 않는가? 이 물음에 대한 답을 구하면 자동적으로 전계는 어떤 성분들을 가지며, 또한 어떤 좌표에 대해서 전계의 세기가 변화하는가를 알 수 있음.

22 • 1) 전계의 세기를 구성하는 성분을 고려하면 r 선전하의 미소길이는 하나의 점전하로 생각할 수 있으므로,
f r • 1) 전계의 세기를 구성하는 성분을 고려하면 선전하의 미소길이는 하나의 점전하로 생각할 수 있으므로, 이 미소 선전하를 양(＋)전하라고 가정하면, 이 점전하에 의한 전계는 선전하와 직각 방향의 밖으로 향한다. 모든 선전하에 의한 전계의  성분을 없다. 즉 E 는 영이 된다. E 성분 선상의 전하소(素)는 E 및 Ez 성분을 일으키지만, 어떤 z좌표를 갖는 전계 내의 한점을 취할 때 이 점의 상, 하 방향의 전하분포가 동일하기 때문에 선 상의 전하소에 의한 Ez 성분은 서로 상쇄되어 존재하지 않는다. 즉 Ez 는 영이 된다. Ez 성분 그러므로 전체 선전하에 의한 전계의 세기는 E 성분만을 가지며, 이는  만의 함수이다. 즉 Er 성분 E = E a

23 • 2) 대칭성에 관하여 고려하면  변화에 의한 전계의 변화 한 점에서 , z의 값을 일정하게 유지하고,
 값만을 변화, 즉 선전하 주위를 이동하면, 이 점과 선전하와의 관계는 측정점의 위치에 관계없이 일정하므로 하며, 따라서  변화에 대해 전계는 변하지 않음. 방위대칭성(azimuthal symmetry)이 성립 z 변화에 의한 전계의 변화 , 는 같고 z 값만을 변화시키면, 이 점 상하 방향의 선전하는 무한 길이이므로, z가 어떤 값이어도 전하분포는 변화하지 않음. 따라서 이 점들에서의 전계는 동일함.  즉 모든 전계의 성분은 z의 함수가 되지 않음. <그림 2.6> 축 대칭성 (axial symmetry) 이 성립 f r •  변화에 의한 전계의 변화 만일 , z 를 일정하게 하고 를 변화시키면, Coulomb의 법칙에 의하 여 전계의 세기는 가 커질수록 약해짐을 알 수 있음. 따라서 소거의 과정에 의해 전계의 세기는 에 대해서만 변화함. 즉 E = f() E = E a

24 1 선전하에 의한 전계의 세기는? (계속) : y축 상의 한 점 P(0, y, 0)에서 전계를 구한다.
이 점은 와 z에 대해 전계의 변화가 없다는 관점에서 일반적인 점이다. 미소 선전하 dQ = Ldz′ 에 의한 전계의 세기는 앞 절의 식 (12) 에서 여기서 r = yay = a r′ = z′az r- r′ = a - z′az <그림 2.6> ∴ 전계는 E 성분만 존재하므로 선전하 전체에 의한 전계는 적분공식을 이용하면 ∴ (19)

25 2 다른 계산 방법 : 만약 를 적분 변수로 한다면, 그림 2.6에서 z′ =  cot  라 놓으면 dz′ = - cse2 d 가 된다. 이때 R =  cse 이므로 적분값을 쉽게 구할 수 있다. 간단한 적분변수를 적절하게 택할 줄 알아야 풀 수 있는 방법이다. 경험이 필요하다.

26 3 또 다른 방법 2.3 절의 식 (18)을 이용 vdv′ = Ldz′라고 놓고 선 적분을 구하면 모든 전하를 포함하는 체적에 대한 체적적분 과 같아지며, 이 경우 대칭성에 관해서 미리 고려할 필요가 없다. 일반점에서의 선전하에 의한 전계의 세기는? 앞의 계산은 점이 y 축상에 있다는 가정 하 그림 2.7과 같이 임의의 한 점 P(, , z )에서의 전계는? r = a + z az r′ = z′az R = r - r′ = a + (z - z′) az <그림 2.7>

27 } } 벡터로 표시된 식의 적분을 구할 경우 고려 사항 먼저 적분기호 내에 있는 벡터의 적분변수에 대한 종속 여부 확인 필요
먼저 적분기호 내에 있는 벡터의 적분변수에 대한 종속 여부 확인 필요 만일 종속되지 않으면 (변화하지 않으면) 일정한 벡터이므로 적분기호 밖으로 내 놓을 수가 있고, 따라서 적분 내에는 스칼라만 남게 되므로 보통 방법으 로 구할 수 있다. 단위벡터에 대한 고찰 : 단위벡터의 크기는 일정하나, 방향이 위치에 따라서 변화 } 고려 필요 첫번째 항 : a의 방향은 z에 대해서 변화하지 않으며, 두번째 항 : az 도 어디서든지 일정한 방향을 갖는다. } 적분기호 내의 단위벡터를 적분 밖으로 내놓을 수 있다.

28 (20) 모든 선전하가 반드시 축상에 위치할 필요는 없다고 하는 사실을 꼭 기억. (다음 page 예제) 고찰 : 선전하의 경우 전계의 세기는 거리에 반비례 (점전하의 경우 거리의 제곱에 반비례) 예 : 거리가 10배 증가하면 점전하에서는 1/100이며, 선전하의 경우에는 1/10임. 조명과 비교 : 광원이 점광원인 경우 조광 또는 광의 세기는 광원으로부터의 거리의 제곱에 반비례, 또한 무한히 기다란 형광등에 의한 광의 세기는 거리에 반비례함.

29 x = 6 , y = 8 좌표상에 z축과 평행한 무한 선전하인 경 우의 전계의 세기는?
 <그림 2.8> X 대신에 x-6, y 대신에 y-8 대입하면 다른 방법 : 임의의 점 P(x, y, z)에서 전계 E를 구하기 위해서는 식(20)의 거리 를 선전하 와 점 P 사이의 거리 R로 대치하고 a 를 aR로 바꾸면 됨.

30 응용예제 2. 5 5nC/m의 균일한 무한장 선전하가 x축(양과 음)과 y축을 따라 자유공간에 놓여있다
응용예제 nC/m의 균일한 무한장 선전하가 x축(양과 음)과 y축을 따라 자유공간에 놓여있다. 다음위치에서 E를 구하라. (a) PA(0,0,4); (b) PB(0,3,4) 풀이) (a) (b) x축에 의한 E + y축에 대한 E

31 응용 : 무한한 균일 선전하 ρL= 2nC/m 이 자유공간에서 x 축을 따라서 놓여 있고, 각각 8nC인 점전하가 (0,0,1)과 (0,0,-1) 에 위치해 있다. (a) (2,3,-4)에서 E를 구하라. (b) (0,0,3)에서 E가 0이 되기 위해서는 ρL 이 무슨 값으로 바뀌어야 하는가? (a) (2,3,-4) (b) ρL = -3.75nC/m

32 2.5 면전하에 의한 전계 면 전하의 예 : 무한히 큰 대전판,
표면전하밀도 (surface charge density) : s [C/m2] 면 전하에 의한 전계의 세기는? 대전판을 y z 평면에 놓고 대칭성 고려 : 전계는 y 또는 z 에 대해서 변화할 수 없다. ∵ y 또는 z 어느 위치를 선택하여도 상하좌우 대칭 <그림 2.9> 따라서 전계는 x 방향 즉 Ex만이 존재하고, 이 성분 Ex= f(x)만의 함수. 그림  판을 미소폭을 갖는 스트립으로 나누면, 하나의 스트립은 하나의 선전하와 동일. 선전하밀도 L = sdy′ or s = Ldy′ ??? 선전하로부터 x축상의 측정점 P 까지의 거리 : x축상의 점 P에서 스트립에 의한 전계 Ex는 ; 평면 전체를 구성하는 모든 스트립의 결과를 합치면;

33 측정점 P가 음(-)의 x 축상에 있는 경우 이때 전계의 방향은 판으로 들어가는 방향. 판에서 법선(normal, 수직)으로 나가는 방향을 단위벡터 aN 을 사용하여 E를 표시하면 (21)  측정하는 점의 위치에 관계 없이 크기와 방향에서 일정 즉 판전하에 의한 전계의 세기는 측정하는 위치에 무관하게 일정 주목해야 할 결과 : 판으로부터 100만 마일이나 떨어진 점에서의 전계의 세기는 표면 바로 밖의 점과 동일하다.. 즉 동일한 강도 유지 빛인 경우 : 매우 큰 방의 천장에 있는 균일한 광원은 마루바닥 위의 조도와 천장 바로 밑의 조도와 동일하므로, 더 잘 보려고 책을 천장 가까이 가져가도 아무 효력이 없음 백열전구, 형광등 및 편의점 조명 비교하면??

34 만약 x = a 인 평면상에 -s를 갖는 두 번째의 무한넓이의 대전판이 위치한 경우 (콘덴서)
아래 그림과 같은 경우 x x=0 x=a s -s E+ (+s에 의한 전계) E- (-s에 의한 전계) E = E++ E- x  a 인 영역 0 < x  a x  0 인 영역 두 도체판 중간에서의 전체 전계의 세기는 (22)

35 응용예제 2.6 3개의 무한하고 균일한 표면전하가 자유공간에 다음과 같이 놓여있다.
3nC/m2이 z=-4, 6nC/m2이 z=1 그리고 -8nC/m2이 z=4. 각점에서 E를 구하라. (a) PA(2,5,-5); (b) PB(4,2,-3) (a) PC(-1,-5,2); (b) PD(-2,4,5) z = 5 z z = 2 z = -3 z = -5 풀이) (a) (b) (c) (d)

36 2.6 전계의 유선과 스케치 전계의 유선 (流線) 표시 : 전하 주위의 전계의 크기와 방향을 그림으로 표시
그림2-10 : 선전하의 전계의 형태를 z=상수인 x y 평면도 상의 그린 것 전계의 방향은 화살표 방향과 동일 (a) (b) (c) (d) <그림2-10> 전계의 유선 표시 : 그림 (a)는  에 대해서는 대칭을 보여주지 못함. 즉 타당성이 미흡함. 그림 (b)는 대칭성 측면에서 타당함. 그러나 그림 그리기가 용이하지 않음. 그림 (c)는 역시 타당성은 있으나, 그리기가 힘듬. 그림 (d)는 그림을 단순히 그릴 수 있으며, 전계의 세기의 크기는 주어진 공간에서의 선의 밀도로 표시할 수 있음. 그림에서 중앙 부분의 선의 밀도가 외곽부분보다 상대적으로 높음. 즉 주어진 식을 잘 표현함.

37 이러한 선을 속선(flux line), 방향선(directional line) 혹은, 유선(stream line)이라 함. 전계의 경우에는 전력선(line of electric force)이라 함. 전력선의 특성 : 전계 내에 자유로이 이동할 수 있는 작은 시험 양(＋)전하가 어떠한 점에 놓여 있다면, 그 전하는 그 점을 통과하는 전력선(유선)의 방향으로 가속됨. 어떤 계의 크기는 유선 사이의 간격에 반비례하는 양으로 표시 될 수 있다. 즉 유선이 밀집하게 있을 수록 계의 세기는 강하다는 것을 의미함. 보통 2차원적으로 도시함. 2차원적인 계에서는 Ez=0으로 할 수 있으며, 이 경우 유선은 z=상수인 면 내에 한정 기하학적인 관계는? (그림 2.11 참고) (23) <그림 2.11>

38 } 예 : L = 2 0 인 균일 선전하에 의한 유선의 방정식은? Ex Ey 이것을 직각 좌표계로 표시하면
상식으로부터 아래식과 같은 미분 방정식 도출 가능 또는 이것을 풀면 ln y = ln x + C1 } y = Cx (-2,7) 혹은 ln y = ln x + ln C 수치 예 : 점 P(-2, 7, 10)에서의 전력선 방정식은? y = Cx 식에 점의 좌표를 대입하여 상수 C를 구하면 됨. 즉 7 = C(-2) 에서 C = -3.5을 구하면 y = -3.5x 특정한 C의 값에 따라 각 전력선의 방정식이 구할 수 있음.

39 응용예제 2.7 다음과 같은 전계 E에서 점 P(1,4,-2) 를 통과하는 전력선 방정식을 구하라.
(a) (b) E = 2e5x[y(5x+1)ax+xay] 풀이) (a) (b) 점 P(1,4,-2) 에서는 C2=33 ∴ x2 + 2y2 = 33 5x+1 = t라고 가정하면 점 P(1,4,-2) 에서는 C1=-7.83 추가. 전계 E= xax+yay 이고, 점 P(1,2,3) 를 통과하는 전력선 방정식을 구하라. [y=2x]

40 REPORT 연습문제 2.1 쿨롱법칙 : 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 2.2 전계 : 2.5, 2.7, 2.9, 2.10, 2.11 2.3 체적전하 : 2.13, 2.15, 2.16 2.4 선전하 : 2.17(a), 2.19(a) 2.5 면전하 : 2.22, 2.25 2.6 유선 : 2.29, 2.30