Microwave field theory 1 강의 자료 #1

1. Introduction

Electromagnetic theory Maxwell 방정식을 이용하여 모든 전자기 현상을 설명 가능하다는 데서 출발. James Clark Maxwell (1831-1879)

Maxwell 방정식의 의미 1 ~ H E , J E H Faraday 법칙 Ampere법칙 자기장의 시간 변화율 전류 또는 전기장의 시간 변화율 자기장의 시간 변화율 E H ~

Maxwell 방정식의 의미 2 E +Q -Q 전기장은 양전하에서 시작되어 음전하에서 끝난다. 자기장은 항상 폐곡선 형태다.

Example- dry cell (2) Dry cell battery-chemical reaction 금속의 이온화 경향      ① 이온화 경향 : 금속이 전자를 잃고 양이온이 되려는 경향.      ② 이온화 서열: K > Ca > Na > Mg > Al > Zn > Fe > Ni > Sn > Pb > (H) > Cu > Hg > Ag                              이온화 경향(=반응성)이 크다.                             (= 전자를 잃고 양이온이 되기 쉽다.)                             (= 산화되기 쉽다.)                             (= 환원력이 커진다.)                            (= 화학 전지: (-)극 연결 )

Electric field near battery Mn이 전자를 흡수하고 환원 + + + Zn이 전자를 내놓고 산화

Example – transmission line 전류에 의한 자기장  E  + V - H ZL      왼쪽의 전압원에 의해 변하는 전기장이 생기면, displacement전류가 생기고 이것이 변하는 자기장을 만든다. 변하는 자기장은 Faraday법칙에 의해 전기장을 다시 만든다. 이런 식으로 E와 H가 서로를 만들면서 오른쪽으로 진행해 간다.

Example – Hertzian dipole antenna Heinrich Hertz (1857-1894)

Hertz의 전파 실험 장치

Radio communication

Basic radio communication

전파의 주파수대역 분포도 3KHz 3000GHz 108GHz 1010GHz 1012GHz 가청파 광 파 X 선 감마선 우주선 광 파 X 선 감마선 우주선 주파수 3 30 300KHz 3 30 300MHz 3 30 300GHz 3000GHz VLF 초장파 LF 장 파 MF 중파 HF 단파 VHF 초단파 UHF 극초단파 SHF 초극초단파 EHF 밀리미터파 SEHF 서브밀리파 100 10 1Km 100 10 1m 10 1cm 1mm 0.1mm 파 장

한국 주파수 할당 46 MHz 대역 : Analog Cordless, 모국 54 MHz ~ 88 MHz : VHF-TV CH.2 ~ 6 88 MHz ~ 108 MHz : FM 방송 174 MHz ~ 216 MHz : VHF-TV CH.7 ~ 13 470 MHz ~ 890 MHz : UHF-TV CH.14 ~ 83 160 MHz 대역 : 무선호출기, 초기 320 MHz 대역 : 무선호출, 추가 371.5 ~ 381.5 MHz : TRS 단말기 송신용, 추가 할당 389.5 ~ 399.5 MHz : TRS 중계국 송신용, 추가 할당 806 ~ 821 MHz : TRS 단말기 송신용 851 ~ 866 MHz : TRS 중계국 송신용 910 ~ 914 MHz : CT-2 824 ~ 849 MHz : 국내, 미국 Digital Cellular, 이동국 송신용 869 ~ 894 MHz : 국내, 미국 Digital Cellular, 기지국 송신용 887 ~ 925 MHz : 일본 CDMA, 이동국 송신용 832 ~ 870 MHz : 일본 CDMA, 기지국 송신용 1.75 ~ 1.78 GHz : 국내 PCS, 이동국 송신용 1.84 ~ 1.87 GHz : 국내 PCS, 기지국 송신용 1.85 ~ 1.91 GHz : 미국 PCS, 이동국 송신용 1.93 ~ 1.99 GHz : 미국 PCS, 기지국 송신용 1.92 ~ 1.98 GHz : IMT-2000, 이동국 송신용 2.11 ~ 2.17 GHz : IMT-2000, 기지국 송신용 2.3 GHz 대역 : 무선 가입자 망 (WLL, Wireless Local Loop) 2.402 ~ 2.480 MHz : ISM (Industrial, Scientific, Medical) band (Bluetooth, 802.11, Home RF) 2.45 GHz : Micro Oven 2.5 ~ 2.7 GHz : 미국, MMDS (Multi-channel Multi-point Distribution Service) (Cable TV 전송용) 3 ~ 8 GHz 대역 : 4세대 이동통신 (전망) 5.15 ~ 5.35, 5.725 ~ 5.825 GHz : U-NII (Unlicensed National Information Intra-structure) band (802.11a, Hyper LAN/2) 5.15 ~ 5.35, 5.470 ~ 5.725 GHz : 5.8 GHz 대역 : ITS DSRC (Intelligent Short Range Communication) 14.5 ~ 14.8 GHz : Ku Band DBS (Direct Broadcasting Satellite)용, 상향 (무궁화 3호 위성) 11.7 ~ 12.0 GHz : Ku Band DBS (Direct Broadcasting Satellite)용, 하향 14.0 ~ 14.5 GHz : Ku Band FSS (Fixed Satellite Service)용, 상향 12.25 ~ 12.75 GHz : Ku Band FSS (Fixed Satellite Service)용, 하향 20.085 ~ 30.883 GHz : Ka Band FSS (Fixed Satellite Service)용, 상향 20.235 ~ 21.155 GHz : Ka Band FSS (Fixed Satellite Service)용, 하향 26 GHz 대역 : 국내, 광대역 무선 가입자 망 (BWLL, Broadband Wireless Local Loop) 25.35 ~ 28.35 GHz : 캐나다, LMCS (Local Multi-point Communication System) 27.5 ~ 31.3 GHz : 미국, LMDS (Local Multi-point Distribution System) 2 ~ 30 GHz 대역 : 고정 마이크로파 중계시설 (6 GHz 이상, 18/38 GHz 중심

+ = + = Fundamental limit of radio comm. 거리 신호 잡음 수신 신호 N(잡음 전력) = kTB 거리가 정해지면 송신에 필요한 전파의 최소 power가 정해진다. 회로의 잡음을 아무리 줄인다 해도 주변 온도에 비례하여 생기는 잡음은 제거할 수 없다. + = 신호 잡음 수신 신호 + = N(잡음 전력) = kTB k 상수, T 절대온도, B 대역폭

Types of transmission lines Microstrip line Coaxial cable 전기 신호를 손실이 적게 전송하기 위한 구조 Two-wire transmission line

Signal propagation in tx-line 전기장의 방향 + + V - 전기장의 진행 속도는 빛의 속도 c임

Transmission line circuits modeling i (z, t) + v (z, t) - z i (z, t) i (z+z, t) + L z v (z, t) C z v (z+ z,t) - z

Transmission line eq. solution

Transmission line parameter - examples Coax a b Parallel Plate W d

Parallel wire a + - D Coplanar waveguide

Transmission line의 특징 H 한 방향으로 진행하는 전파의 E+/H+의 비율이 일정. V - 한 방향으로 진행하는 전파의 E+/H+의 비율이 일정. 한 방향으로 진행하는 V+/I+ wave의 amplitude 비율도 일정. → 특성 임피던스 Z0 비율이 맞지 않는 경우 반사파 생김. 진행 방향 H E

Reflection coefficient + V -

Reflection in open/short circuit + V - + V -

Line길이에 따른 반사파 영향 Impedance mismatched Z0= 50  Zs = 20  Z0= 50  + V - Vin Vout R R2 R=1k Ohm MLIN R1 R=20 Ohm VtPulse SRC1 t + V - Z0= 50  Zs = 20  + V - Z0= 50  ZL= 1k  + V - 0.5m + V -

Line 길이에 따른 수신 신호 Impedance matched Z0= 50  Zs = 1  Z0= 50  + V - Vin Vout R R2 R=50 Ohm MLIN R1 VtPulse SRC1 t + V - Z0= 50  Zs = 1  + V - Z0= 50  ZL= 50  + V - 0.5m + V -

Impedance matching - Digital circuit ~ Load matching ~ ~ Source matching

Impedance matching – RF회로 Maximum power transfer ~ Source matching Load matching

Transfer function in time domain Unit step response 0.125m + V - 출력을 미분한 것이 전달 함수. 1k  Z0= 50  10  Unit step 함수를 입력으로했을 때 출력을 미분한 것이 전달 함수. Transfer function h(t) Convolution ~ps의 시간 분해능을 갖는 oscilloscope 구하기 힘듬. -> 비싸서.

How to get transfer function Causality에 의하면 t라는 시간의 출력 y(t)는 t이전의 입력 신호와만 관련있고 t이후의 신호와는 관련 없다. System 또는 회로의 특성을 알기 위해서는 h(t)를 구해야 한다. h(t)를 구하기 위해 x(t)에 δ(t)를 입력으로 넣고 출력을 측정하면 된다. S-domain에서 표현식 입력 신호로 delta함수를 넣기가 어려우므로 입력 신호를 δ(t) 대신 u(t)로 넣고 출력 신호를 측정하는 경우는 출력 신호의 시간 미분이 h(t)가 된다.

Simulation file Matlab file clear,clf; N=5012; % ADS에서 파형을 저장한 파일 fid = fopen('transient.txt','r'); data=fscanf(fid,'%g',[2,N*3]); fclose(fid); data = data'; t = data(1:N,2); V1 = data(N+1:2*N,2); V2 = data(2*N+1:3*N,2); h = diff(V2); % discrete data에서 difference 를 이용해 미분. h(:,1)=h(:,1)/(t(2,1)-t(1,1)); h(size(h)+1,1)=0; h(N/2:N,1)=0 y = conv(V1,h); %입력 전압과 전달함수를 convolution. y = y(1:N,1)*(t(2,1)-t(1,1)); plot(t,y); hold on;

Transfer function in frequency domain 10  Z0= 50  1k  Zs ZL Transmission line Load impedance Source impedance 1 2 Z0 Transfer function

Frequency domain solution

Equivalent input impedance

Transmission line terminated with short, open Out of phase (180 ) for short V inc Vrefl Zs = Zo In phase (0 ) for open o Vrefl For reflection, a transmission line terminated in a short or open reflects all power back to source

Phasor representation + V -

Transmission Line Terminated with 25 Ω Zs = Zo ZL = 25 W V inc Vrefl Standing wave pattern does not go to zero as with short or open

2. Electromagnetic theory

전자기학의 기본 법칙 1) Maxwell방정식의 미분형 2) Continuity equation (전류와 전하의 관계식) 3) Constitutive relation (물질의 특성을 설명하는 식) 4) Boundary conditions ( 두 가지 물질의 경계에서 E, H, D, B가 만족해야 하는 조건

Maxwell Equations Maxwell eqs. 는 위의 4개의 식이고 (1e)번은 continuity eq.이다. 식5개 모두가 independent인 것은 아니다 (1a), (1b)의 양변에 divergence를 취하면 항상 영이므로 (1c)와 (1e)가 유도 된다. Source가 없는 매질인 경우 (1a), (1b)두개만을 이용하여 Maxwell eqs.을 풀 수 있다.

Vector field의 解 Maxwell eqs.의 curl과 divergence로 정의되는 vector field는 두 가지 성분의 解를 갖고 있다. 즉 curl에 의해 얻어지는 해는 divergence를 취했을 때 0이 되고 divergence에 의해 얻어지는 해는 curl을 취했을 때 0이 된다. (근거는 Helmholtz theorem에 의함.) CL : lamellar 성분 CR : rotational 성분 Vector의 Null identity에 의해 얻어짐.

Helmholtz의 theorem Scalar potential Vector potential Equivalent surface current, surface charge 임의의 벡터는 curl과 divergence에 의해 정의되는 두 가지 source가 있고, 등가 면전류 또는 등가 표면 전하를 적분해서 구할 수도 있다.

Helmholtz의 theorem C는 상수 벡터

Potentials of Electromagnetics

Lorentz condition Vector potential A를 구하기 위해서 A의 divergence와 curl을 알아야 한다. Curl 만 정해져 있으므로, divergence를 정해야 A가 한가지로 정해진다. Lorentz condition 위와 같이 divergence A를 임의로 정하면 된다. 이 경우 앞의 (3), (4)식은 아래와 같이 간단히 된다. Lorentz condition

Fourier transform solution 변수가 (x,y,z) 및 시간 t로 4개나 되므로 간단히 하기 위해 시간 t에 대해 Fourier transform을 한다. 문제를 쉽게 풀기 위해 원점에 point source가 있는 경우의 해를 먼저 구한다. (impulse response를 구하는 것과 마찬가지임)

Infinite current sheet에 의한 radiation : 1차원 문제 Helmholtz equation을 풀기 위해 phasor를 이용하면 2. 면 전류원이 무한히 넓은 xy평면이고, x, y 방향으로 변화는 없다고 가정하면 Laplacian이 z 미분만 남는다. y x z 3. 면 전류 원이 z=0인 평면이라고 하면 왼쪽 식으로 전류밀도를 표시할 수 있다. 전류가 x성분만 있으므로 vector potential A도 x성분만 있고

4. Delta source인 경우에 z≠0 인 지점에서 solution을 먼저 구한다. 5. 가능한 해의 형태는 왼쪽 식과 같이 네 가지 이다. 이 중에 진행 파 형태의 해를 갖는 것은 exponential 함수 꼴이다. 6. 면 전류원 오른쪽으로 진행하는 전파와 왼쪽으로 진행하는 전파를 각각 구해보면 아래 식과 같다. 7. z=0에서 A의 접선 성분이 연속이어야 하므로(A를 시간에 관해 편미분한 것이 전기장의 성분이 되므로) C1=C2

8. 두 영역에서 해를 정리하면 왼쪽 식이 된다. C를 구하기 위해 원래 미분 방정식의 양변을 적분하면 아래와 같다.

Plane wave 정의 H E H E E H 전파의 방향 전파의 방향 전기장은 전류원에 대해 우함수 E H 자기장은 전류원에 대해 기함수

Solution of wave equations in free space : 3D Scalar wave equation이 간단하므로 먼저 풀어 본다. 변수가 (x,y,z) 및 시간 t로 4개나 되므로 간단히 하기 위해 시간 t에 대해 Fourier transform을 한다. 문제를 쉽게 풀기 위해 원점에 point source가 있는 경우의 해를 먼저 구한다. (impulse response를 구하는 것과 마찬가지임)

Green function of free space Source 항을 delta함수로 바꿨을 때의 해를 Green 함수 g라고 하고 이 때의 g를 먼저 구한다. Delta source가 있는 경우의 미분 방정식은 우선 delta source가 0인 경우의 해를 먼저 찾고, 이 때 생겨난 적분 상수를 구할 때 delta source를 이용한다. 3. 무한히 넓은 빈 공간에 point source가 있는 경우이므로 구 대칭이다. 즉, g는 , 에 대해서는 상수이고 r 만의 함수이다.

Green function of free space

6. 원래 미분방정식의 source는 아래 식과 같이 delta 함수에 가중치를 곱해서 더해진 형태로 쓸 수 있으므로 Fourier transform된 scalar potential은 아래와 같은 식이 된다. 7. Inverse Fourier transform하면 시간 영역에서 potential은 다음과 같다.

Retarded potential – 3D (Retarded potential) Static solution과 다른 점은 source 위치로부터 R만큼 떨어진 지점은 시간 R/c만큼 시간 지연된 후에 그 영향을 받는다는 것이다. 이러한 시간 지연의 이유 때문에 이름이 retarded potential이라고 붙였다. Vector potential도 마찬가지로 하면 위 식이 된다. 위에서 구한 A 및 는 서로 독립적인 것은 아니고 Lorentz condition에 의해 서로 dependent하다.

Solution in time & freq. domain

Far field approximation

Example – wire antenna

물질이 있을 때의 Field B와 E는 실제 측정할 수 있는 양이다. 즉 물질이 있건 없건 간에 gauss meter나 전계 강도 측정기로 측정 가능한 양이다. D와 H는 외부에서 전하나 전류를 이용하여 직접 만들어 줄 수 있는 양이다. 그러나 관습적으로 E와 H를 각각 전기장과 자기장으로 쓴다. 유전체의 분극때문에 외부에 같은 전하를 놓으면 전기장의 세기가 더 약해진다. 외부에 같은 전압을 가하면 전하가 더 많이 모임. M : 자성체가 갖고 있는 영구 분극

The nature of magnetic materials B F F - Electron : 1) orbital spin 2) electron spin B F F

Diamagnetic : 반자성체  <1 Paramagnetic : 반자성체   1 Ferromagnetic : 강자성체  >> 1 Antiferromagnetic : Ferrimagnetic : Ferrite (small ) B H

Diamagnetic : 반자성체  <1 상자성체는 외부 자기장의 영향을 받아서 전자 궤도가 회전하여 전자의 magnetic moment가 외부 자기장과 같은 방향이 된다. Diamagnetic : 반자성체  <1 Paramagnetic : 상자성체   1 최외각 전자가 쌍으로 되어 있어 magnetic moment를 상쇄. 전자의 magnetic moment가 상쇄 안됨.

Diamagnetic Bext - - Lorentz force N: 원자핵의 양성자 개수 m: magnetic moment Diamagnetic(반자성) 물질의 원자는 최외각에 전자들이 꽉 차 있어서 전자들에 의한 magnetic moment들이 외부에서 가해준 자기장의 방향으로 정렬하려는 torque 가 상쇄된다. 이 상태에서 서로 반대 방향으로 도는 전자들이 Lorentz힘의 영향으로 회전 속도가 차이가 나게 되어 이 차이만큼에 해당하는 자기장을 계산해 보면 외부에서 가해준 자기장의 방향과 반대가 된다. Bext

Ferromagnetic Antiferromagnetic ferrimagnetic 전기 전도도 작음.

물질의 전자기적 성질 물질의 특성은 M과 P로 나타낼 수 있다. 앞 그림에서 영구 자석은 M이 상수이다. Magnetic susceptibility Electric permittivity 일반적으로 mu와 epsilon은 tensor이다. 이 경우 H와 B, E와 D의 방향이 다를 수 있다. 이런 물질을 anisotropic medium이라고 한다. 또 mu와 epsilon은 위치의 함수일 수 있는데 이 경우 nonhomogeneous라고 한다. 대부분의 물질은 isotropic, homogeneous이므로 mu와 epsilon은 상수로 간주하고 계산하면 된다.

물질이 있을 때 E, H구하는 방법 물질이 존재하는 경우 일반 해가 없으므로, 일반 해가 있는 free space와 등가 전류원으로 변형해도 결과는 같다.

1. Polarization current, polarization charge nonhomogeneous media에서 전자기장을 계산하는 방법은 B와 D에서 M과 P를 분리해서 source term으로 만든 후 매질이 없는 경우처럼 계산하면 된다. Polarization currnet Polarization charge

Vector potential A, F Vector Magnetic potential A Vector Electric potential F

2. 한가지 물질로 가득 차 있고 linear media일 때

Lossy media에서의 field 전파가 매질에 입사하는 경우 E와 H에 의해 P와 M이 생기는데, high frequency에서 P와 M이 E와 H의 변화에 따라 변하는 시간의 지연(lag)에 의해 신호의 세기가 약화된다. 이에 의해서 loss가 생기는데 이를 mu와 epsilon의 허수부로 나타낸다. epsilon’’의 부호가 중요한데 왼쪽 식에서 conductor에 의한 loss를 연상하여 sigma와 같은 허수 부호를 넣는다고 생각해도 되고, 전파가 멀리 진행해 가면 진폭이 감쇄해야 한다는 것에서 부호를 (-)로 해도 된다. loss tangent

E & H in source free region Source 가 없는 영역에서 E, H의 일반 해를 구하기는 더 쉽다. Maxwell방정식에서 전류 J와 전하 가 0 이고, 전파의 형태가 주파수  인 주기함수 라고 하면 왼쪽 아래 식처럼 된다. 첫번째 식의 양변에 curl 연산을 하면 아래의 식으로 된다.

전기장이 x 방향 성분만 존재하고 plane wave라고 하고, 진행 방향이 +z라고 가정하면, 왼쪽 아래 식과 같이 간단해 지고 이 미분 방정식의 일반 해는 다음과 같다. 첫번째 항은 +z 방향으로 진행하는 파동이고, 두번째 항은 –z방향으로 진행하는 파동이다. +z 방향만 고려하면,

Plane wave propagating general direction 전기장이 x 방향 성분만 존재하고 plane wave라고 하고, 진행 방향이 +z라고 가정하면, 왼쪽 아래 식과 같이 간단하다. 만약 진행 방향이 임의의 방향벡터로 정해지는 경우 plane wave 식은 다음과 같다. 3. 이 경우 자기장은 다음과 같다.

Wave propagation in lossy dielectrics 빈 공간과 달리 물질로 차 있는 영역을 전파가 진행하는 경우, 전파의 전기장에 의해 물질 내의 전하들이 운동하게 되므로, 이 과정에서 열이 발생하여 전파의 에너지가 감쇄된다. 물질 내에서 전파의 감쇄를 나타내주기 위해 유전율을 복소수로 표현한다. 3. 유전율의 실수부와 허수부의 비율을 loss tangent라고 부른다.

위의 식에서 conduction current와 displacement current 식을 보면, displacement current의 위상이 conduction current보다 90도 앞서 있는 것을 알 수 있다. 즉, 전기장이 먼저 변하고 그 변화를 전하의 흐름이 따라간다고 할 수 있다. Loss 가 있는 경우 Helmholtz 방정식은 다음과 같다.

, 의 근사 값을 구하기 위해 두가지 극단적인 경우의 예를 들어 본다.

Plane wave in good dielectrics 유전율의 허수부 크기가 실수부에 비해 매우 작은 경우

Plane wave in good conductors 유전율의 허수부 크기가 실수부에 비해 매우 큰 경우 conductor  를 skin depth 라고 하고, z=0인 지점에서 skin depth 만큼 전파가 진행하면, 전기장의 세기가 처음 값의 36.7%로 줄어든다.

Boundary conditions 접선 성분의 경계 조건은 curl 식인 (1a), (1b)을 이용하고, 법선 성분은 divergence식인 (1c), (1d)를 이용한다. Lossy media 인 경우임.

Boundary conditions 문제를 풀 때 경계면에서 각 영역에 있는 field의 접선 성분만 연속이 되면 법선 성분은 저절로 연속이 된다. E의 tangential 성분이 연속이면 1번 미분한 양도 연속. E의 tangential 성분을 미분한 양이 H의 normal성분.

Poynting’s theorem and wave power 위 식의 오른 항 들을 보면, 첫 항은 Ohm의 법칙에 의한 전력 소모이고, 두 번째 적분은 전기 에너지와 자기에너지의 합이 증가하는 비율이다. 이는 외부에서 에너지가 공급되는 양에 해당한다.

Reception power at antenna

Wave polarization 어느 한 지점에서 시간의 함수로 주어지는 전기장 vector의 방향 왼쪽의 Helmholtz equation은 vector에 대한 식이므로 전기장의 x, y, z세 성분에 대한 식과 마찬가지다. 그러나 왼쪽의 식이 유도 되기전에 divergence E = 0이라는 조건이 있었으므로 Ex, Ey, Ez가 각기 독립인 것은 아니다. 3. Plane wave인 경우 위 식은 더 간단해져서 위 조건 때문에 Ex, Ey, Ez는 셋 모두 독립적이지는 않고 그 중에 두 개만이 독립변수라고 할 수 있다. 즉 가능한 polarization은 두 개이다.

Polarization Figure 1.9 (p. 24) Electric field polarization for (a) RHCP and (b) LHCP plane waves.

Solution to Maxwell equations Source Boundary condition 예 : 도체 표면에서 전기장의 접선 성분=0 미분방정식의 유일한 해가 존재하려면 경계 조건이 제시되어야 한다.

Example - Free space Source Boundary condition : radiation condition

Example – Parallel plate

Domain 경계가 6면체인 경우 경계가 infinite space인 경우

Thomson’s theorem 전자장 문제에서 가장 문제가 되는 것은 source(J, q )의 분포를 모른다는 것이다. 즉 경계 조건만 가지고 문제를 풀어야 하므로 어렵다. Thomson’s theorem은 electrostatic 문제를 푸는데 도움이 되는 정리다. 정전장에서 전하는 공간상의 전기에너지의 합이 최소가 되도록 재배치된다. ; Green’s first identity = 0

Example : Coaxial cable

1.8 Some field equivalence principles Love’s equivalence theorem Source #1 Source #2 (surface current) 공간상에서 E, H를 구하기 위해 공간을 S를 기준으로 분할한다. S의 외부에서 E, H : 실제 source #1을 적분한 값 + 등가 면에서 source #2를 면 적분 한 값. S의 내부에서 E, H: source #2를 면적분한 값.

관측점이 S 바깥에 있으면 E, H의 면적분은 다 0이된다.

Schelkunoff’s field equivalence principles image current

Equivalence theorem (2) 도체로 둘러싸여 있는 유전체 (1) 무한 공간에 있는 유전체 Free space (2) 도체로 둘러싸여 있는 유전체 (1) 무한 공간에 있는 유전체 Free space PEC (1)과 (2)의 주변 환경은 다르지만 관심 영역인 유전체 안에 존재하는 E, H는 같게 만들 수 있다. 이 경우 Js, Jm을 적절히 영역의 경계에 포함시켜 주면 된다.

Electromagnetic 문제 도체 Reflected wave 문제 Transmitted wave 문제 Image current 이용 도체 두 문제는 등가이다. 오른쪽은 도체를 없애고 전류와 전하의 크기를 2배로 한 것. :image current 이용함.

Equivalence theorem -1차원 Green’s theorem X=b에서 G의 경계조건이 다르지만 x=b에서 Psi의 경계 조건이 같도록 흔들어 주면표면 구간 [a,b]안에서 Psi(x)는 같은 함수이다.