기초 이론

3차원 공간 왼손 좌표계와 오른손 좌표계 D3D OpenGL

벡터 벡터의 길이와 단위 벡터 벡터의 크기가 1인 벡터를 단위벡터라고 하고, 임의의 벡터를 단위벡터를 만드는 것을 정규화라고 한다. 단위 벡터의 용도는 일반적으로 회전의 중심축으로 사용되는 경우가 많다. 그 외에도 삼각형 면의 법선 벡터(normal vector)역시 단위 벡터를 사용한다.

벡터 두 점으로 정의한 벡터 점 q에서 점 p로의 벡터 v는 q-p로 표시하며, 다음과 같이 그림으로 표시할 수 있다. 옆의 그림은 2차원 벡터를 표시한 것이지만, 이것은 3차원에서도 적용된다.

벡터의 연산 벡터의 연산은 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱셉, 나눗셈, 내적, 외적이 있다. 2개의 벡터 p, q와 상수 c가 있다고 할 때 다음과 같은 연산들을 정의 할 수 있다.

벡터 내적 (inner product) 연산 스칼라 곱(scalar product) 또는 점 곱(dot product)으로도 불리운다. 두 벡터의 각 성분들끼리의 곱이다. 정의: P∙Q = ∑Pi∙Qi 내적은 일반적으로 두 벡터 사이의 각이 90도 이상인가를 판단하는 중요한 값이다. cos 그래프

벡터 내적 연산 ∥ P - Q ∥2 = ∥ P ∥ 2 + ∥ Q ∥ 2 -2 ∙∥ P ∥ ∙∥ Q ∥∙ cosθ 내적의 정의 P*Q = ∑ PiQi 내적의 계산 P*Q = P1Q1 + P2Q2+P3Q3 증명 Θ를 선분 OP와 OQ의 각도라 하면 코사인 법칙에 의해 다음이 성립 ∥ P - Q ∥2 = ∥ P ∥ 2 + ∥ Q ∥ 2 -2 ∙∥ P ∥ ∙∥ Q ∥∙ cosθ 이것을 전개하면 ∑(P-Q)2 = P2i + Q2i -2 ∙∥ P ∥∙ ∥ Q ∥∙ cosθ 위 식을 간소화하면 ∑ -2 PiQi = -2 ∙∥ P ∥∙ ∥ Q ∥∙ cosθ 최종적으로 P*Q = ∑ PiQi

코사인 제1법칙(the first law of cosines) a = b.cosC + c.cosB → b = c.cosA + a.cosC → c = a.cosB + b.cosA                                                                                            ☞ 각 A 가 30°, 45°, 60° 와 같은 특수각이 아닐 때 각 A 의 대변 a 의 길이를 구할 때 씁니다. ^^ ☞ 직각삼각형, 둔각삼각형일 때의 증명은 생략합니다. ^^  3.

코사인 제2법칙(the second law of cosines) a2 = b2+c2-2bc.cosA → A = 90° 이면 피타고라스 정리가 됩니다. ^^ b2 = c2+a2-2ca.cosA c2 = a2+b2-2ab.cosA a2 = b2+c2-2bc.cosA 의 증명 a = b.cosC + c.cosB …① b = c.cosA + a.cosC …② c = a.cosB + b.cosA …③ 에서 cosB 와 cosC 를 소거합니다. ^^ ①×a : a2 = ab.cosC + ca.cosB …㉠ ②×b : b2 = bc.cosA + ab.cosC …㉡ ③×c : c2 = ca.cosB + bc.cosA …㉢ ㉠-(㉡+㉢) 하면 a2-(b2+c2) = -2bc.cosA 에서 a2 = b2+c2-2bc.cosA ☞ 두 변과 그 사이에 낀 각이 주어지면 각의 대변의 길이를 구할 수 있다는 뜻입니다. ^^ ☞ a2 = b2+c2-2bc.cosA ⇔                              → 세 변의 길이를 알면 모든 각을 구할 수 있다는 뜻! ^^

벡터 내적 연산 내적 연산의 유용한 성질 내적 연산은 3D 그래픽 전반에 걸쳐서 사용된다. 특히 좌표계 변환과 조명 계산에 많이 사용된다. 램버트 조명 모델(Lambertian lighting model)

벡터 내적(inner product) 연산 내적 연산의 기하학적 의미 벡터 A와 B가 있을 때 AㆍB 연산은 B벡터에서는 A벡터가 얼마만큼의 길이로 표현되는가를 나타낸다.

벡터 내적(inner product) 연산 B를 좌표축이라고 가정한다면 AㆍB 연산은 A라는 벡터가 B라는 좌표축 위에서 얼마만큼의 크기를 갖고 있는가를 나타낼 수 있다.

벡터 외적(outer product) 연산 벡터 곱(vector product), cross product로도 불리운다. 두 벡터에 수직인 새로운 벡터이다. PXQ=<PyQz –PzQy, PzQx-PxQz, PxQy-PyQx> 외적 연산의 특징은 결과가 2개의 벡터와 직교하는 벡터 값으로 나온다는 것이다. 외적이 가리키는 방향은 오른손 법칙을 따른다.

행렬 다음과 같이 사각형의 형태로 표기한 숫자 배열을 행렬 A라고 한다. 특히 n X n 행렬을 n차 정방행렬(square matrix)이라 한다. 정방행렬에서 A에서 I = j일때 aij = 1이고, i ≠ j일 때 aij = 0인 행렬을 단위 행렬(identity matrix)이라고 하며, I또는 In이라 표시한다. a11 a12 a1n A = a21 a22 a2n am1 am2 amn 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1

행렬의 성질 행렬을 사용하는 이유는 각종 변환을 행렬이라는 도구를 사용하여 간략하게 할 수 있기 때문이다. 또 결합법칙이 성립되기 때문이다. 행렬 곱셈 A = (aij), B = (bik)일 때 AB = 이다. DX 9.0 함수 구현 D3DXMATRIX *D3DXMatrixMultiply(D3DXMATRIX *pOut, CONST D3DXMATRIX *pM1, CONST D3DXMATRIX *pM2); n ∑aijbik j = 1

단위 행렬(Identity Matrix) AI = IA =A를 만족하는 행렬 I를 단위 행렬이라고한다. DX 9.0 함수 구현 D3DXMATRIX *D3DXMatrixIdentity(D3DXMATRIX *pOut); 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1

역행렬 (Inverse Matrix) AA = A A = I를 만족하는 행렬을 A 을 역행렬이라고 한다. DX 9.0 함수 구현 D3DMATRIX *D3DXMatrixInverse(D3DXMATRIX *pOut, FLOAT *pDeterminant, CONST D3DXMATRIX *pM); -1 -1 -1

기하 변환의 이해 2차원 변환 2차원상의 어파인변환 (Affine transformation) : 한 점 p=(x , y ) 를 2차원 어파인 사상(Affine mapping, 2차원 어파인)에 의해 p'=(x' , y') 로 바꾸어 주는 변환 3차원상의 좌표변환 3차원 어파인 변환 : 3차원상의 한 점 p=(x, y, z)를 형태의 3차원 어파인 사상(3차원 어파인) 에 의해 또 다른 한 점 p'=(x', y', z')로 바꾸어 줌

기하 변환의 이해 수학 이론의 일차변환 참조

기하 변환의 이해

이동 행렬 (Translation Matrix) 주어진 위치로 이동하는 행렬 3 X 3크기만으로도 3차원 공간을 표현 가능하지만 이동행렬 때문에 4 X 4크기의 행렬이 되었다. 행렬 표현 DX 9.0 함수 구현 D3DXMATRIX *D3DXMatrixTranslation(D3DXMATRIX *pOut, FLOAT x, FLOAT y, FLOAT z); 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 dx dy dz 1

회전 이동 ⇔ = ⇔ = 오른쪽 그림은 점 (1,0)과 점 (0,1)을 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동하면 각각 점 (1,0)  점 (cosθ, sinθ) 점 (0,1)  점 (-sinθ, cosθ) 점 (1,0)과 점 (0,1) 을 각각 점 (a,c)과 점 (b,d) 로 옮기는 일차변환의 행렬은 점 (1,0)  점 (a, b) 점 (0,1)  점 (c, d) 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동 할 때의 행렬은 3. 회전이동 참고 http://mathteacher.pe.kr/ 일차변환 f:(x,y) → (ax+by, cx+dy) 에서 와 같은 식을 얻을 수 있는 데, 이 식을 일차변환의 식이라 하고 이 때의 행렬 이 일차변환 f 의 행렬 (예) 일차변환 f : (x,y) → (x+y, x-y) 는           ⇔     =                           ⇔     =                   

회전 변환 회전 행렬의 증명(2차원) 2차원 벡터에 대한 90도 반시계 방향 회전은 x좌표와 y좌표를 교환하고 새 x좌표에 –를 붙인 것과 같다. 밑의 그림에서 보듯이 벡터 P를 각도 θ만큼 회전한 결과로 생긴 벡터 P’는 P와 Q에 평행인 성분들로 표현가능 간단한 삼각법적용시 p’는 다음수식과 같다. P’ = P*cosθ + Q*sinθ 이에 기반해서 P’의 성분들을 표기하면 P’X = PX*cosθ - PY*sinθ P’Y = PY*cosθ + PX*sinθ 이를 행렬 형태로 쓴다면 다음과 같다. (x,y) (-y,x) P Q X Y θ P’

3차원 회전 표현 방식 오일러각(Euler-Angle) 방식: 시스템의 기본 좌표축을 중심으로 회전 행렬(Matrix) 로 표현: 원주를 이동 짐벌 록(gimbal lock: x, y, z축에 대한 회전각을 따로 정하므로, 두 개의 회전이 나머지 하나의 회전축을 상실케 하는 효과를 발생시켜, 결국 원하는 회전 결과를 얻을 수 없게 되는 현상) http://www.anticz.com/eularqua.htm 각축(Angle-Axis) 방식: 임의의 회전축을 중심으로 회전 행렬로 표현: 회전축을 시스템 좌표 축으로 이동하여 회전 후 다시 원래 위치로 이동 사원수(Quaternion)로 표현: 구면을 이동 gimbal Lock 없어 일반적으로 많이 사용

회전 행렬(Rotation Matrix) DX 9.0 함수 구현 D3DXMatrixRotationX(), D3DXMatrixRotationY(), D3DXMatrixRotationZ(), D3DXMatrixRotationAxis(), D3DXMatrixRotationYawPitchRoll(), D3DXMatrixRotationQuaternion(), 행렬 표현 X축 회전 행렬 Y축 회전 행렬 Z축 회전 행렬

확대/축소 행렬(Scaling Matrix) DX 9.0 함수 구현 D3DXMATRIX *D3DXMatrixScaling(D3DXMATRIX *pOut, FLOAT sx, FLOAT sy, FLOAT sz); 행렬 표현 sx 0 0 0 0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 0 0 1

좌표계 변환행렬 행렬 표현 벡터 V를 좌표계로 변환하려 다음과 같은 연산을 거쳐야 한다 그런데, 이 연산을 행렬로 표기하면 다음과 같다

기본적인 변환 평행 이동 (translation) : 이동 벡터, 쉬프트 벡터(shift vector) * Error : 장치 좌표계의 한계를 넘어가면 Error Message 를 보내거나, 표시하지 않거나, 잘못된 화상을 보여 준다.

기본적인 변환 회전 (rotation) 원주를 따른 점들의 변환 (1) (2)

삼각함수의 덧셈 정리 다음을 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러 식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다. sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)                                                             

기본적인 2차원 변환 신축 (scaling) 1 보다 작은 수 : 대상 크기를 축소 1 보다 큰 수 : 대상 크기를 확대 1 인 경우 : 변하지 않는다 * 균일 신축 : Sx와 Sy가 같은 값이 주어지면 상대적 비율 유지

행렬표현과 동차좌표 행렬 표현 동차 좌표 (homogeneous coordinate) 평행이동 (LH) 2차원 좌표 (x, y)를 인 3차원 형태 로 나타내는 것을 의미한다. 일반적으로 2차원 변환에서는 로 놓을 수 있다. 따라서 각 2차원 좌표는 동차 좌표 형태로 [x y 1]이다. 평행이동 (LH)

행렬표현과 동차좌표 행렬 표현 (계속) 회전 신축

행렬표현과 동차좌표 Short Notation 변환 방정식의 행렬형태 표현

렌더링 파이프라인 렌더링 파이프라인 개념도

렌더링 파이프라인 월드 변환 행렬 로컬 좌표계를 3차원 절대 죄표계인 월드 좌표계로 변환하는 행렬이다. 모든 메시마다 각자의 고유한 로컬 좌표계가 존재하기 때문에 이들을 월드 좌표계로 변환하려면 메시마다 변환 행렬(transform matrix)이 있어야 한다. 로컬 좌표계 월드 좌표계

렌더링 파이프라인 카메라 변환 행렬 카메라가 존재하는 곳을 원점으로 하고 , 카메라가 바라보는 방향을 기준으로 한 새 카메라 좌표계를 만든 뒤, 이 좌표계로 월드 좌표계를 변환하는 것이다. 카메라 행렬 적용 전 카메라 행렬 적용 후

카메라 변환행렬 뷰좌표 = 월드 좌표 X 이동 행렬 X 좌표계 변환행렬 새로운 카메라 좌표계의 축 n, v, u n축(z축) = normalize(p-c) v축(x축) = normalize(upxn) u축(y축) = nxv p = 목표물의 좌표 c = 카메라의 좌표 up = 상방벡터(일반적으로 (0,1,0)

카메라 변환행렬 VX UX NX 0 1 0 0 0 VY UY NY 0 0 1 0 0 VZ UZ NZ 0 0 0 1 0 0 0 0 1 [X’,Y’,Z’,1] = [X,Y,Z,1] X 정리하면 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -CX -CY -CZ 1 VX UX NX 0 VY UY NY 0 VZ UZ NZ 0 -(C*V) -(C*U) -(C*N) 1 이것이 최종 카메라 행렬

렌더링 파이프라인 투영 변환 행렬 3차원 좌표계를 2차원 좌표계로 바꾸는 변환이다. 직교투영(orthographic projection)과 원근투영(perspective projection)이 있다. 직교 투영법은 CAD/CAM 등의 모델링 등에서 사용되는 방법이다. 직교 투영은 Z값의 거리에 따른 오차가 없기 때문에 정밀한 모델링이나 측량 등에 유리한 반면에 현실감은 떨어진다. 원근 투영은 거리에 따라서 물체가 멀어지는 것을 표현한 변환 방법이다. 게임 제작에 많이 사용된다.

렌더링 파이프라인 직교 투영(orthographic projection) ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 1 ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 1 0 0 ㅡ 0 2 1 h w f - n -n 직교 투영의 시야 직교 투영의 결과

렌더링 파이프라인 원근 투영(perspective projection) ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 1 ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 0 0 0 0 ㅡ 1 0 0 ㅡ 0 2n w 2n h f f - n -fn f - n 원근 투영의 시야 원근 투영의 결과

카메라 좌표계에서 투영 좌표계로의 변환

XZ 평면에서의 직선의 방정식

사원수 (Quaternion; 4개가 한벌) 사원수란 3차원 그래픽에서 회전을 표현할 때, 행렬 대신에 사용하는 수학적 개념으로, 행렬과 달리 오류도 발생하지 않고, 데이터 크기도 작기 때문에 즐겨 사용되는 개념이다. 사원수와 행렬의 성능 차이 비교 항목 행렬 사원수 데이터량 float 16개 float 4개 연산 속도 float 16개 X float 16개 float 4개 X float 4개 결과의 질 Gimbal Lock등 오류 발생 최단호(shortest arc) 보간

사원수 사원수는 4차원 복소수 공간(complex space)벡터 단위 사원수 켤레 사원수(conjugate) 역수 q = < x, y, z, w >= xi + yj + zk + w 혹은 q = s + v (단, s = w 회전각도, v = < x, y, z > 벡터) 단위 사원수 q = <0, 0, 0, 1>=0i + 0j + 0k + 1을 단위 사원수라 한다. 켤레 사원수(conjugate) 사원수 q = s + v의 켤레를 로 표기하며 로 정의한다. 이때, 이다. 역수 0이 아닌 사원수 q의 역수(inverse)를 q 로 정의하면 이다.

사원수 사원수의 회전 사원수는 벡터의 회전과 밀접한 관계가 있는데, 축 A에 대하여 각도 θ만큼의 회전을 사원수로 나타내면 사원수로 점 p를 회전하려면 계산 최종적으로 얻어진 사원수를 실제 프로그램에서 회전에 사용하기 위해서는 다음과 같은 행렬로 변환

사원수와 관련된 D3D 객체 단, q.x = sin(theta/2) * axis.x 사원수 구조체 typedef struct D3DXQUATERNION   { FLOAT x; FLOAT y; FLOAT z; FLOAT w; } D3DXQUATERNION; Members x: The x-component. y: The y-component. z: The z-component. w: The w-component. 단, q.x = sin(theta/2) * axis.x q.y = sin(theta/2) * axis.y q.z = sin(theta/2) * axis.z q.w = cos(theta/2) DX 9.0 함수 구현 D3DXQUATERNION *D3DXQuaternionMultiply( D3DXQUATERNION *pOut,     CONST D3DXQUATERNION *pQ1,     CONST D3DXQUATERNION *pQ2 ); D3DXQUATERNION *D3DXQuaternionSlerp( D3DXQUATERNION *pOut,     CONST D3DXQUATERNION *pQ1,     CONST D3DXQUATERNION *pQ2,     FLOAT t ); Quaternions add a fourth element to the [ x, y, z] values that define a vector, resulting in arbitrary 4-D vectors. However, the following illustrates how each element of a unit quaternion relates to an axis-angle rotation (where q represents a unit quaternion (x, y, z, w), axis is normalized, and theta is the desired CCW rotation about the axis):

사원수 사원수 보간 보간이란 한자 뜻 그대로, 중간을 채워 넣는다는 뜻이다. 가장 쉬운 방식이 선형보간(linear interpolation) 방식이다. 선형 보간의 2차원 평면 기하학적 의미 선형 보간의 3차원 공간 기하학적 의미

사원수 선형보간의 문제점 사원수의 공간은 구면공간의 성격을 띠는데. 이를 선형 보간하게 되면 오차가 생긴다. 정규화를 통해 보정할 수 있다. 정규화한 최종 결과 선형보간의 특성상 직선과 구면의 속도 오차가 를 해결하기 위해 구면 선형 보간을 사용한다. q(t) = (1 – t)q + tq 1 2

사원수 구면 선형 보간 구면 선형 보간의 기하학적 의미 구면 선형 보간의 사원수 공간 기하학적 의미

조명 모델 조명모델이란 광원 광원으로부터 점들까지의 조도를 계산하는 방법을 말한다. 경험 모델과 물리 모델로 나뉜다. 빛의 출발점이다. 주변 광원(ambient light) 동일한 밝기의 빛이 장면 안의 모든 표면에 일정하게 반사되는 것을 말한다. 이상적인 형태의 광원, 수학적 형태의 빛

조명 모델 지향 광원(directional light) 한 방향으로 무한히 뻗어나가는 빛이다. 비슷한 예로는 태양광이 있다.

조명 모델 점 광원(point light) 한 점을 중심으로 주변으로 퍼져나가는 빛을 나타낸다. 백열전구를 모델링한 것이라고 생각하면 된다.

조명 모델 점적 광원(spot light) 점적 광원은 점 광원과 달리 특정한 한 방향으로만 퍼져나가도록 한 것이다.

조명 모델 직접 조명 조명에는 크게 직접 조명(direct illumination)과 전역 조명(global illumination)이 있다. 직접조명은 물체 표면의 점들이 장면 내의 모든 광언들로부터 직접적으로 받는 빛을 말한다. 전역조명이란 다른 물체를 거쳐서 받는 빛까지 모두 포함한 것을 말한다. 주변 조명(ambient illumination) 주변 광원에서 설명한 대로 정면 전반에 걸쳐서 일정한 빛의 강도가 주어지는 조명이다. I = K I local ambient

조명 모델 확산 조명(diffuse illumination) 표면이 반사되는 빛의 강도는 view 방향과는 관계없이, 표면과 빛의 방향에 의해서 영향을 받는다. 이것을 램버트 반사 혹은 램버트 코사인 법칙이라고 한다. I = K I cosθ = I K max(N L, 0) 단, K 는 주변 조명 계수 da d a

조명 모델 반사 조명(specular illumination) 코팅된 차량이나 금속성 하이라이트를 만들어 내는 것을 반사 조명이라고 한다.

조명 모델 = I K (cosΦ) = I K (V R) 1 여기서 n제곱 값에 따라서 반사 조명은 다음과 같이 변한다.

조명 모델 = I K max(N H, 0) (N L > 0) 반사 벡터 R을 구하지 않고 좀 더 쉽게 구할 수 있는 중간 벡터 H를 사용해도 비슷한 결과를 얻어내는 수식 = I K max(N H, 0) (N L > 0) (단, N L > 0 일 때 1, N L < 0 일 때 0이다. s n

조명 모델 방출 조명(emissive illumination) 직접 조명 정리 특정한 물체들은 빛을 반사할 뿐만 아니라 빛을 뿜기도 하는데, 이러한 조명을 방출 조명이라고 한다. I = E 직접 조명 정리 직접 조명은 최종값을 얻기 위해서 주변 + 확산 + 반사 + 발광 조명값을 합친 것이다. 이를 수식으로 정리하면 다음과 같다. e I = K I + ∑(I K max(N L , 0) + I K max(N H , 0) (N L > 0)) + E total a b d i s n 주변광 주변광 + 확산광 주변광 + 확산광 + 반사광

조명 모델 전역 조명(global illumination) 라디오시티(radiosity) 광선 추적(raytracing) 포톤 맵핑(photon mapping) 반구 조명(hemisphere illumination) 천반구와 지반구의 광원색으로 구성하여 2개의 반구색을 합성하는 기법 색 합성에는 반구의 축과 지축과의 각도(θ)를 사용한다. 반구 조명 합성 공식 C = (0.5 + cosθ)C + (0.5 – cosθ)C 단, C 는 천반구색, C 는 지반구색) vertex sky ground 천반구와 지반구 모형

조명 모델 반구 조명과 반구 조명의 색합성 과정 반구 조명의 색합성 과정 반구 조명

조명 모델 반구 조명 실행 결과 (C:\DXSDK\Samples\C++\Direct3D\EffectEdit)

조명 모델 반구 조명 + 램버트 확산 조명 C = max(N L) + (0.5 + cosθ)C + (0.5 – cosθ)C vertex sky ground 반구 조명 + 확산 조명 반구 조명 + 확산 조명의 색합성 과정

조명 모델 반구 조명 + 확산 조명의 실행 결과

조명 모델 반구 조명과 직접 조명 기법의 비교 주변 조명 + 확산 조명 반구 조명 반구 조명 + 확산 조명

조명 모델 반구 조명 응용 반구 조명을 진정한 전역 조명 모델이라고 하기는 무리이다. 천반구, 지반구, 확산광 이외에도 주변 면들의 색에 의해서 영향을 받아야 하기 때문이다. 실세계는 차폐물(occluder)이 의해 가려지는 면 처리를 해야 한다.

조명 모델 가림 처리 (masking)의 비교 가림 처리 없음 가림 처리 있음

DX의 BumpSelfShadow 예제 가림 처리(masking)를 이용한 범프 맵핑 구

조명 모델 구 + 범프 맵

조명 모델 구 + 그림자 맵

조명 모델 구 + 범프 맵 + 그림자 맵