Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST 1998년도 대한 토목학회 학술발표회 1998. 10. 23 비비례 감쇠시스템에 대한 효율적인 모드 중첩법 *조상원 석사과정, 한국과학기술원 토목공학과 김만철 박사, 한국과학기술원 토목공학과 박선규 조교수, 성균관대학교 토목공학과 이인원 교수, 한국과학기술원 토목공학과 제가 발표할 내용은 비비례 감쇠시스템에 대한 효율적인 모드 중첩법의 개발입니다 Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST CONTENTS Introduction Mode Superposition Method for Classically Damped Systems Mode Superposition Method for Non-Classically Numerical Examples Conclusions 발표내용은 서론과 비례감쇠시스템에서의 모드중첩법 그리고 본 발표에서 제안하고자 하는 비비례감쇠시스템에대한 모드중첩법 모드중첩법이 적용된 수치예제 그리고 결론의 순서로 발표하겠습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST INTRODUCTION Background Dynamic Equations of Motion M : Mass matrix of order n C : Damping matrix of order n K : Stiffness matrix of order n u(t) : Displacement vector f(t) : Load vector (1) where Methods of Dynamic Analysis Direct integration method Mode superposition method 기본적인 운동방정식은 식(1)과 같습니다. 여기서 M C K 는 각각 . Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Advantages of Mode Superposition Method Effective because of using a few modes Gives the dynamic characteristics of each mode Effective for long duration loading Drawbacks of Mode Superposition Method Fail to give an accurate solution Need to consider the effects of truncated high modes Improved Mode Superposition Methods Mode acceleration method (MA method) Modal truncation augmentation method (MT method) 이러한 모드중첩법을 운동방정식에 적용할때, 시스템이 진반구조물 상호작용과 같은 비비례감쇠시스템의 경우에 문제가 있습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Non-classically Damped System Decoupling the System (1) (2) where If Cg has off-diagonal elements, C is called as non-classical damping 그러면 비비례감쇠시스템에 모드중첩법이 적용되어질때의 문제점에 대해서 말씀드리겠습니다. 모드 중첩법은 식(1)과 같은 운동방정식을 EIGENVECTRO에 의해 각각의 독립된 모드로 분리된 식(2)의 형태로 변환한 뒤 해를 구하는 방법입니다. 이때 M, C, K는 다음과 같이 변환됩니다. 이때, 감쇠행렬 C의 EIGEN VECTOR에 의한 변환행렬인 Cg 행렬이 EIGENVECTOR에 의해 분리되지 않고 OFF DIAGONAL ELEMENTS 가 있으면 이때의 감쇠행렬을 비비례감쇠라고 하고 그 감쇠가 적용된 시스템을 비비례감쇠시스템이라고 합니다. 이러한 비비례감쇠시스템에는 모드중첩법이 적용될 수 없으므로 기존에는 비례감쇠시스템으로 근사화하여 모드중첩법을 적용하였습니다. approximate to classically damped system so, off-diagonal terms are ignored Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Objective In this study, improved mode superposition methods are applied to non-classically damped system 따라서 본 연구에서는 OFF DIAGONAL ELMENT를 무시하지 않고 모드중첩법을 비비례감쇠시스템에 적용할수 있는 방법을 제안하였습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Mode Superposition Method MODE SUPERPOSISTION METHOD FOR CLASSICALLY DAMPED SYSTEM Mode Superposition Method The Dynamic Equations of Motion (1) Decoupled Equations by Eigenvectors (2) Displacements us(t) 그러면 일반적인 비례감쇠시스템에 적용되어지는 모드중첩법에 대해 말슴드리겠습니다. 모드중첩버은….. 이때 모드중첩법의 해 Us는 식(3)과 같이 소수의 저차모드만으로 조합되어집니다. 따라서 고차의 모드에 의한 영향이 누락되어지므로 정확하지 않습니다. 따라서 고차모드의 영향을 고려한 개선되 모드중첩법이 제안되었습니다. (3) where Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Mode Acceleration Method (MA Method) The Solution by MA Method (4) (5) (6) where us(t) : displacements modally represented 고차모드의 영향을 고려한 개선된 모드중첩버의 하나인 MA방법에 대해 말씀드리겠습니다. MA방법의 해 Us는 Ut와 Us두부분으로 나뉘어집니다. Us는 … Ut는… 이며 그 자세한 내용은 다음과 같습니다. 이때 외부입력하중 f(t)는 시간에 따라 변하는 r(t)와 변하지 않는 R0로 나누어 쓸 수있습니다. ut(t) : displacements not represented by the modes r(t) : time varying portion of f(t) R0 : invariant spatial portion of f(t) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

The Portion of MA Solution us(t) : displacements modally represented ut(t) : displacements not represented by the modes (7) (8) where : force truncation vector MA방법의 해의 성분에 대해 말씀드리겠습니다. MA방법은 Us, Ut두개의 성분으로 구성됩니다. Us는 소수의 저차모드에 의해 표현되는 변위이고 Ut는 누락되어진 고차모드의 영향을 보정하는 변위입니다. MA방법에 의한 고차모드의 보정은 식(8)과 같이 이루어집니다. R0는 Rs는… Rt는... 위의 식에서와 같이 MA방법은 정적인 방법으로 고차모드의 영향을 보정합니다. : modally represented spatial load vector MA method approximates ut(t) by a static solution Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Modal Truncation Augmentation Method (MT Method) The Solution by MT Method (4) The Portion of Solution us(t) : displacements modally represented ut(t) : displacements not represented by the modes (7) 고차모드에 대한 또다른 보정방법인 MT방법에 대해 말씀드리겠습니다 MT방법의 해도 2부분으로 분리할 수 있습니다. Us는 소수의 저차모드에 의해 표현되어지는 변위이고 Ut는 MT방법에 의해 보정되어지는 고차모드에 의한 변위입니다. 식(7)과 같이기존의 방법에서 EIGENVECTOR에 의한 해석을 하듯이 MT방법은 PSEUDO EIGENVECOR P를 사용하여 누락되어진 고차모드의 영향을 고려합니다. 따라서 PSEUO EIGENVECOR P를 사용하는 MT방버은 동적인 방법으로 누락되어지는 고차모드의 영향을 보정합니다. (9) MT method approximates ut(t) by a dynamic solution Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Derivation of Pseudo Eigenvector P (10) where 이러한 슈도아이겐벡터 P는 식 (10)과 같이 space truncation vector Rt로 부터 Ritz vector를 유도해내는 Rayleigh-Ritz approximation 으로 부터 구합니다.. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

State Space Equations MODE SUPERPOSISTION METHOD FOR NON-CLASSICALLY DAMPED SYSTEM State Space Equations State Space Equations (11) where 다음으로는 비비례감쇠시스템에 적용되는 모드중첩법에 대해 말씀드리겠습니다. 비비례감쇠시스템은 기존의 EIGENVECTOR에 의해 DECOUPLED되지 않으므로 식(11)과 같은 차수2N을 갖는 상태공간방정식으로 변화하여 모드중첩법을 전개합니다. 여기서 B와 A는 다음과 같이 C, M, K로 이루어지는 행렬이고, Y(t)는 변위와 변위의 미분값으로 이루어지는 벡터이며 F(t)는 하중과 N개의 ZERO행으로 이루어지는 백터입니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Associated Eigenvalue Problem (12) Eigenvalue and Eignevector (13) 앞의 상태공간방정식에 대한 고유치 문제는 식(12)와 같습니다. 상태공간방정식에 대한 eigenvector 와 eigenvalue는 식(13)처럼 COMPLEX CONJUGATE PAIR의 형태로 주어지며, EIGEN VECTOR 프시는 EIGENVECTOR와 EIGEN VECTOR와 EIGEN VALUE 의 곱의 형태입니다. where Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Mode Superposition Method in Non-Classically Damped System State space equation (11) Decouple the eqn.(3) by complex eigenvector (14) Displacements ys(t) (15) Eigenvectors are conjugate pairs 비비례감쇠시스템에서의 모드중첩버은 식(10)과 같은 운동방정식을 앞의 공액복소짝 형태의 eigenvector와 eigenvalue를 이용하여 식(13)과 같은 각각의 독립적인 모드로 분리하여 해를 구한 뒤 각 모드별 결과를 조합하여 전체거동을 구하는 방법입니다. 모드중첩법의 해 Ys는 식(15)과 같이 N보다작은 소수의 저차모드 Q개마능로 조합되어지므로 고차모드에 대한 영향이 누락됩니다. 이때 , COMPLEX CONJUGATE PAIR의 형태를 가지므로 식(16)과 같이 변환 할 수 있습니다. 따라서 누락되어지는 고차모드의 영향을 보정하기 위해 본 연구에서는 개선된 모드중첩버을 비비례감쇠시스템에 적용하였습니다. (16) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST MA Method The Solution by MA Method (17) (18) where ys(t) : displacements modally represented yt(t) : displacements not represented by the modes r(t) : time varying portion of F(t) R0 : invariant spatial portion of F(t) 누락된 고차모드의 영향을 보정하여 비비례감쇠시스템에 적용한 MA방법에 대해 말씀드리겠습니다. 비비례감쇠시스템에 대한 MA방법의 해는 Ys 와 Yf 두부분으로 나뉘어집니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

The Portion of Solution ys(t) : displacements modally represented yt(t) : displacements not represented by the modes (19) (20) where : force truncation vector : modally represented spatial load vector 비비례감쇠시스템에 적용된 MA방법의 해의 성분은 Us, Ut두개의 성분으로 구성됩니다. y(t) is calculated from conjugate pair MA method approximates yt(t) by a static solution Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

MT Method The Solution by MT Method The Portion of Solution (17) ys(t) : displacements modally represented yt(t) : displacements not represented by the modes (19) Modal truncation …..이하 MT방법이라고 하겠습니다. MT방법의 기본적인 알고리즘은 식(1)과 같은 운동방정식을 식(5)와 같은 pseudo eigenvector, P 벡터에 의해 해석합니다. MT방법은 무시되어진 고차모드를 식(6)과 같이 동적인 방법으로 보정합니다. (21) MT method approximates yt(t) by a dynamic solution Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Derivation of Pseudo Eigenvector P (22) where MT 벡터 P는 식 (20)과 같이 구성되며 이때 공액복소짝 ff로 부터 구해진 MT vector P는 실수입니다. (space truncation vector Rt로 부터 Ritz vector를 유도해내는 Rayleigh-Ritz approximation 에 해당합니다.) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST NUMERICAL EXAMPLES Structures Four-story shear building Cantilever beam with multi-lumped dampers Comparisons Displacement responses Displacement error of each method 비비례감쇠시스템에 모드중첩법이 적용된 수치예제로써 4개층으로 이루어진 shear building과 여러 개의 집중감쇠가 부착된 cantilever beam 을 사용하였습니다. 결과의 분석은 각각의방법에 의한 변위응답 과 그 오차를 비교하였습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Four-Story Shear Building R0cost K1 K4 K3 K2 U1 U4 U3 U2 M1 M4 M3 M2 Input load ( R0cosWt ) R0=1 W = 7rad/sec (≒0.5 w1 ) w1 = - 0.0317 ±13.2935 i w2 = - 0.0007 ±29.6597 i 첫 번째 예제 구조물 shear building의 구조는 그림과 같습니다. 입력하중과 구조물의 고유치는 다음과 같습니다. 결과는 4번째 노드에서의 각각의 방법의 변위응답과 그 오차를 비교하였습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Displacement Responses (using 1 mode) 이 그림은 모드를 한 개만 사용하였을때의 각각의 방법에 의한 4번 노드에서의 변위 응답입니다. 회색으로 표시한 시간이력곡선은 직접적분법에 의한 것으로 수치적으로 정확한 값입니다. 빨간색으로 표시한 시간이력곡선은 MA방법에 의한 시간이력곡선으로 한 개의 모드만으로도 정확한값에 어느정도 수렴함을 알 수 있습니다. 이에 반해 노랑색으로 표시한 고차모드에 대한 보정이 이루어지지 않은 기본적인 모드중첩법은 무시된 고차모드의 영향으로 오차가 있음을 알 수 있습니다. Time(sec) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Displacement Responses(using 2 modes) 이 그림은 모드를 두개 사용하였을때의 각각의 방법에 의한 네번째 노드에서의 시간이력곡선입니다. .MA방법과 MD방법이 정확한 값에 거의 수렴함을 알 수 있습니다. Time(sec) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Displacement Error Using 1 Mode Using 2 Modes Difference 이 그림은 수치적으로 정확한 값인 직접적분법에서 각각의 방법을 뺀 값을 시간에 따라 표시한 것입니다. 노랑색이 MD방법의 오차이고 빨강색이 MA방법의 오차입니다. 모드 한 개를 사용하였을 때가 모드를 2개를 사용하였을 때 보다 전체적으로 오차가 큼을 알 수 있습니다 또한 모드 한 개만을 사용하였을 때는 고차모드에 대한 보정을 한 개선된 MA방법및 MT방법이 기본적인 모드중첩법에 비해 오차보다 상대적으로 작음을 알 수 있습니다. Time(sec) Time(sec) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Cantilever beam with multi-lumped dampers 2 1 3 14 45 49 50 R0sin(W t) Material property Tangential damper, c : 0.3 Young’s modulus : 100 Mass density : 1 Moment of inertia : 1 Cross-section area : 1 Input load ( R0cosWt ) R0=1 W = 5rad/sec (≒0.6w1 ) w1 = -0.2696877077±7.7304416035 i w2 = -0.4278691331±9.7835115896 i 두번째 예제구조물인 여러 개의 집중 감쇠를 갖는 캔틸레버 빔의 구조는 그림과 같습니다. 입력하중과 구조물의 고유치는 다음과 같습니다. 결과는 45번 노드에서 각각의 방법의 시간이력곡선을 비교하였습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Displacement Responses (using 1 mode) 이 그림은 모드를 한 개만 사용하였을 때의 각각의 방법에 의한 45변 노드에서의 변위응답입니다. 회색으로 표시한 변위응답은 직접 적분법에 의한 것으로 수치적으로 정확한 값입니다. 노란색으로 표시한 변위응답은 MA방법에 의해 고차모드에 의한 영향이 보정된 변위응답으로 한 개의 모드만으로도 정확한값에 어느정도 수렴함을 알 수 있습니다. 이에 반해 빨강색으로 표시한 기본적인 모드중첩법의 변위응답은 무시된 고차모드의 영향으로 오차가 있음을 알 수 있습니다. Time(sec) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Displacement Responses (using 2 modes) 이 그림은 모드를 2개 사용하였을 때의 각각의 방법에 의한 45변 노드에서의 변위응답입니다. 모드 2개를 사용하였을 때에는 MA방법과 MD방법이 정확한 값에 거의 수렴함을 알 수 있습니다. Time(sec) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST Displacement Error Using 1 Mode Using 2 Modes 이 그림은 수치적으로 정확한 값인 직접적분법에서 각각의 방법을 뺀 값을 시간에 따라 표시한 것입니다. 노랑색이 MD방법의 오차이고 빨강색이 MA방법의 오차입니다. 모드 한 개를 사용하였을 때가 모드를 2개를 사용하였을 때 보다 전체적으로 오차가 큼을 알 수 있습니다 모드 한 개를 사용하였을 때는 MA방법의 오차가 MD방법의 오차보다 상대적으로 작음을 알 수 있습니다. Time(sec) Time(sec) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST

Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST CONCLUSIONS Improved mode superposition methods are applied to non-classically damped systems. MA method and MT method are more efficient than simple mode superposition method. MA method and MT method have same convergence rate in non-classically damped system. 결론을 말씀드리겠습니다. 본 연구에서는 비례감쇠시스템에만 적용되던 개선된 모드 중첩법 MA,MT방법을 비비례감쇠시스템에 대해 적용하였습니다. 둘째로 , 고차모드의 영향을 보정한 MA방법과 MT방법이 소수의 저차모드만을 이용한 기본적인 모드중첩법보다 더 효과적입니다. 셋째로, 비비례감쇠시스템에서는 MA방법과 MT방법의 수렴성이 같습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST