CHAP 2:순환

순환(recursion)이란? 알고리즘이나 함수가 수행 도중에 자기 자신을 다시 호출하여 문제를 해결하는 기법 정의자체가 순환적으로 되어 있는 경우에 적합한 방법 (예제) 팩토리얼 값 구하기 피보나치 수열 하노이의 탑 이진탐색

팩토리얼 프로그래밍 (n-1)! 팩토리얼을 현재 작성중인 함수를 다시 호출하여 계산(순환 호출) int factorial(int n) { if( n <= 1 ) return(1); else return (n * factorial(n-1) ); } 3!은? 3!를 계산하려면 3! = 3*2! 2!를 계산하려면 2! = 2*1! 1!은 1 3!는? 2!는? 1!는? 6 2 1

순환호출순서 팩토리얼 함수의 호출 순서 factorial(5) = 5 * factorial(4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 factorial(3) { if( 3 <= 1 ) return 1;     else return (3 * factorial(3-1) ); } ④ ① factorial(2) { if( 2 <= 1 ) return 1;     else return (2 * factorial(2-1) ); } ③ ② factorial(1) { if( 1 <= 1 ) return 1; ..... }

순환 알고리즘의 구조 순환 알고리즘은 다음과 같은 부분들을 포함한다. 만약 순환 호출을 멈추는 부분이 없다면?. 순환 호출을 하는 부분 순환 호출을 멈추는 부분 else return n * factorial(n-1); int factorial(int n) { 순환을 멈추는 부분 순환호출을 하는 부분 } if( n <= 1 ) return 1 만약 순환 호출을 멈추는 부분이 없다면?. 시스템 오류가 발생할 때까지 무한정 호출하게 된다.

순환 <-> 반복 컴퓨터에서의 되풀이 대부분의 순환은 반복으로 바꾸어 작성할 수 있다. 순환 반복 순환(recursion): 순환 호출 이용 반복(iteration): for나 while을 이용한 반복 대부분의 순환은 반복으로 바꾸어 작성할 수 있다. 순환 순환적인 문제에서는 자연스러운 방법이나 같은 계산을 중복해서 수행할 경우 비효율적 반복 수행속도가 빠르다. 순환적인 문제에 대해서는 프로그램 작성이 아주 어려울 수도 있다. 1!=1 2!=2 3!=6 … 3!를 계산하려면 3! = 3*2! 2!를 계산하려면 2! = 2*1! 1!은 1 2!는? 1!는? 2 1

팩토리얼의 반복적 구현 int factorial_iter(int n) { int k, v=1; for(k=n; k>0; k--) v = v*k; return(v); }

거듭제곱 프로그래밍 #1 순환적인 방법이 반복적인 방법보다 더 효율적인 예 숫자 x의 n제곱값을 구하는 문제: xn double slow_power(double x, int n) { int i; double r = 1.0; for(i=1; i<=n; i++) r = r * x; return(r); }

거듭제곱 프로그래밍 #2 순환적인 방법 power(x, n) if n=0 then return 1; else if n이 짝수 then return power(x2,n/2); else if n이 홀수 then return x*power(x2, (n-1)/2); double power(double x, int n) { if( n==0 ) return 1; else if ( (n%2)==0 ) return power(x*x, n/2); else return x*power(x*x, (n-1)/2); }

거듭제곱 프로그래밍 분석 순환적인 방법의 시간 복잡도 반복적인 방법과 순환적인 방법의 비교 만약 n이 2의 m승이라고 가정하면 다음과 같이 문제의 크기가 줄어든다. 반복적인 방법과 순환적인 방법의 비교   slow_power power 시간복잡도 O(n) O(logn)

피보나치 수열의 순환 구현 순환 호출을 사용하면 비효율적인 예 피보나치 수열 순환적인 구현 0,1,1,2,3,5,8,13,21,… 순환적인 구현 int fib(int n) { if( n==0 ) return 0; if( n==1 ) return 1; return (fib(n-1) + fib(n-2)); }

피보나치 수열의 순환 구현 순환 호출을 사용했을 경우의 비효율성 fib(6) fib(4) fib(5) fib(2) fib(3) 같은 항이 중복해서 계산됨 예를 들어 fib(6)을 호출하게 되면 fib(3)이 3번이나 중복되어서 계산됨 이러한 현상은 n이 커지면 더 심해짐 fib(6) fib(4) fib(5) fib(2) fib(3) fib(3) fib(4) fib(0) fib(1) fib(1) fib(2) fib(1) fib(2) fib(2) fib(3) fib(0) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0) fib(1)

피보나치 수열의 반복구현 반복 구조를 사용한 구현 fib_iter(int n) { if( n < 2 ) return n; else { int i, tmp, current=1, last=0; for(i=2;i<=n;i++){ tmp = current; current += last; last = tmp; } return current;

하노이 탑 문제 문제는 막대 A에 쌓여있는 원판 n개를 막대 C로 옮기는 것이다. 단 다음의 조건을 지켜야 한다. A B C 한 번에 하나의 원판만 이동할 수 있다 맨 위에 있는 원판만 이동할 수 있다 크기가 작은 원판위에 큰 원판이 쌓일 수 없다. 3개의 막대를 모두 이용할 수 있으나 앞의 조건들을 지켜야 한다. A B C

n=3인 경우의 해답 A B C A B C

일반적인 경우에는? C를 임시버퍼로 사용하여 A에 쌓여있는 n-1개의 원판을 B로 옮긴다. A의 가장 큰 원판을 C로 옮긴다. A를 임시버퍼로 사용하여 B에 쌓여있는 n-1개의 원판을 C로 옮긴다.

남아있는 문제는? 자 그러면 어떻게 n-1개의 원판을 A에서 B로, 또 B에서 C로 이동하는가? (힌트) 우리의 원래 문제가 n개의 원판을 A에서 C로 옮기는 것임을 기억하라. 따라서 지금 작성하고 있는 함수의 파라미터를 n-1로 바꾸어 순환호출하면 된다. // 막대 from에 쌓여있는 n개의 원판을 막대 tmp를 사용하여 막대 to로 // 옮긴다. void hanoi_tower(int n, char from, char tmp, char to) {    if (n==1){        from에서 to로 원판을 옮긴다.    }    else{        hanoi_tower(n-1, from, to, tmp);        from에 있는 한 개의 원판을 to로 옮긴다.        hanoi_tower(n-1, tmp, from, to); }

하노이탑 최종 프로그램 #include <stdio.h> void hanoi_tower(int n, char from, char tmp, char to) { if( n==1 ) printf("원판 1을 %c 에서 %c으로 옮긴다.\n",from,to); else { hanoi_tower(n-1, from, to, tmp); printf("원판 %d을 %c에서 %c으로 옮긴다.\n", n, from, to); hanoi_tower(n-1, tmp, from, to); } main() hanoi_tower(4, 'A', 'B', 'C');