제 5장 문제 해결의 지도 5.(2)문제의 종류 19980711 김헌태

문제의 종류 전통적 : 대수문제, 기하문제, 통계문제 등으로 분류 최근 : 여러 방법으로 분류 트래버스(Travers, 1977)등이 제시한 분류

⑴산수문제 ⑵응용문제 ⑶추상문제 ⑷탐구문제 ⑸프로젝트 ⑹증명문제: 직접 증명 간접 증명

산수문제 초등학교 수준의 대수문제, 기하 문제를 포함하나 문장제로서의 일(work)문제, 운동(motion) 문제, 나이(age)문제, 혼합물(mixture) 문제 등이 중요한 위치 차지

(예)학생 A는 잔디를 4시간에 모두 깍을 수 있고,학생 B는 5시간 안에 잔디를 깍을 수 있다 (풀이) A가 한시간에 일 한양 : 1/4, B가 한시간에 일 한양 :1/5 A와 B가 같이 한시간에 일 한양 : 1/4 +1/5 = 9/20 그러므로 A와 B가 같이 일하면 총 약2시간 13분이 걸립 니다.

응용문제(application problem) 추상적인 수학내용을 실생활의 문제장면에 응용하거나, 물리•화학•인구문제•공업 등에 활용하는 문제들

(풀이) 변곡점은 이계도함수가 0이 되는 x의 값. (예) 다음 곡선의 임계점과 변곡점을 구하고 곡선 을 그려라 y=1/3 x3 -1/2 x2 -2x (풀이) 변곡점은 이계도함수가 0이 되는 x의 값. 임계점은 극점과 미분가능하지 않은점 모두 말함. y’ = x2 - x – 2 = (x +1)(x -2) y”= 2x -1 = 2(x-1/2) 변곡점 1/2 임계점 -1,2 이런 문제보다

어떤 공장에서 50,000개 이하의 상품에 대하여는 매 100개에 5만원의 계약을 했다 어떤 공장에서 50,000개 이하의 상품에 대하여는 매 100개에 5만원의 계약을 했다. 50,000개가 넘으면 전 주문량의 매 100개에 대해서 할인을 하되, 그 할인고 50,000개를 넘는 양의 매 100개에 대하여 40원씩 정했다. 공장의 총 매출수입이 최대가 되는 주문량은 얼마인가?

학교 수학에서의 역할 수학의 개념을 이해하는데 위에서 제시함 문제 중 어느 종류의 문제가 깊은 이해를 하는데 도움을 주었다고 보는가 학생들이 취직을 해서 사용할 수 있는 수학을 강조할 것인가 또는 단순히 정신의 훈련이란 관점으로만 수학을 지도할 것인가

(예) 주어진 선분과 직선이 옆 그림과 같이 있을 때 점 B에서 AC에 각을 만들 때 최대의 각이 되도록 하는 점 B의 위치를 발견하여라. 정찰기 진행 B θ C 군기지 A

추상문제(abstract problem) 교과서에서 가장 많이 볼 수 있는 문제 실생활에 응용성이 있느냐 하는 면에는 관심이 없음

(풀이) {(x+4)2+(y-1)2}1/2={(x-2)2+(y-3)2}1/2 예)두 점 A(-4, 1), B(2, 3)이 주어져 있을 때, 점 P (x, y)에 대하여 PA~PB인 조건을 만족하는 점 P의 집합을 나타내는 그래프의 방정식을 구하여라. (풀이) {(x+4)2+(y-1)2}1/2={(x-2)2+(y-3)2}1/2 8x-2y+17=-4y-6y+13 y=-3x-1

탐구문제(open-search problem) 학교 수학에서 강조되는 문제 유형이다.학생들 스스로 자기 질문을 만들고 주어진 문제를 확장시키는 문제

기본문제 (예) 학생 A는 8시 25분에 학교를 향하여 시속 4마일의 속도로 집을 떠났다. 학생 A의 형은 오전 8시 30분에 학생 A가 잊은 것은 전달하기 위하여 같은 길을 따라가서 10분 만에 따라잡았다. 형이 달린 속도를 구해라.

풀이 거리 = 속력 *시간 형이 10분 간 거리=동생이 15분 간 거리 동생속도 (4/60)mile/분 (4/60)*15=v*10 그럼 형 속도는 (1/10)mile/분 시속으로 바꾸면 6마일이다

확장된 문제 자동차가 한 시간에 30마일로 남쪽을 향해서 달린다. 두 시간 후에 두 번째 차가 첫 번째 차를 따라잡기 위하여 같은 길로 45마일(1시간)속도로 달렸다. 몇 시간 후에 따라잡겠는가? 풀이 : 구하는 시간을 x로 둔다. 거리 = 속력 * 시간 30(x+2)=45x (뒤차보다 앞차가 두 시간 더 달려서) x=4시간후

두 기차의 속도를 합하면 한 시간당 100마일이다. 빠른 기차는 느린 기차보다 4시간 후에 출발하여 8시간 만에 따라잡았다 두 기차의 속도를 합하면 한 시간당 100마일이다. 빠른 기차는 느린 기차보다 4시간 후에 출발하여 8시간 만에 따라잡았다. 두 기차의 속도를 각각 구하여라. 풀이 : 빠른 기차속도 = x , 느린 기차속도 = y x + y = 100 8x=12y 3:2 (속도비) 60마일 , 40마일

프로젝트(project) 장기간에 걸쳐 해결되는 것 정규시간에는 다루기 어려운 문제들 응용문제가 될 수도 있고 추상문제가 될 수도 있다.

(예) 학교에서 건물이 있는 위치만 제외하고 모든 땅을 잔디로 덮으려 한다. 얼마나 비용이 드는지를 계산 하여라.

증명문제(proof) ①일반적으로 받아들여진 공리(axioms) ②정의 ③이미 증명된 정리(theorems) ④약속된 논리(logic)

직접증명 (예)함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고, 개구간 (a, b)에서 미분 가능하면 (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b)인 c가 (a,b)안에 적어도 하나는 존재한다.

증명 : g(x)=f(b)–f(x)-[f(b)-f(a/(b-a))] 증명 : g(x)=f(b)–f(x)-[f(b)-f(a/(b-a))]*(b-x)로 놓으면, 함수 g(x)는 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분 가능하다. 그리고 g(a)=g(b)=0. 따라서 롤의 정리에 의해 g’(c)=-f’(c)+(f(b)-f(a))/(b-a)=0 (a<c<b) 인 c가 (a, b)안에 적어도 하나 존재한다. 즉 (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b)

직접증명 (예) ∆ABC가 AB=AC인 이등변 삼각형이라 하자. 이때 두 밑각이 서로 같음을 증명하여라.

[종합적 증명] AB=AC가 주어짐. AC=AB는 반사 적임. 그리고 BC=CB. 선분은 그 자신과 합동임. 따라서 ∆ABC=∆ACB,SSS 조건 ∴∠ABC = ∠ACB A B C

[분석적 증명] 두 각 ∠ABC와 ∠ACB가 합동인 두 삼각형의 대응되는 각이라는 것을 보여 주면 ∠ABC=∠ACB임이 증명 된다. · 그러기 위해 SSS조건에 의하여 ∆ABC=∆ACB를 보임 · 이를 위해 먼저 같은 선분 BC는 자기 스스로 합동이므로 BC=CB임을 알 수 있다. · AB=AC임을 보이면 된다. (가정에 의해 받아들임)

간접증명 과제 : ”가장 큰 소수는 없다” 증명 : 가장 큰 소수 pn 이 있다 하자. p1,p2, …를 작은 소수에서 큰 소수로 늘어놓았다고 할 때 다음과 같은 양의 정수 P=p1,p2,…,pn+1 를 생각해 보자.P>1이므로 어떤 소수 p가 있어 p|P 그러면 p는 p1,p2,….pn중의 어느 하나가 되고

p|p1,p2,…,pn 이고 p|P 따라서, p|P-p1,p2,…,pn ∴p|1 이것은 모순임