Lagrange 방정식의 응용사례 접근방법 (1) 일반화 좌표계 선정 (2) 직교 좌표와 일반화 좌표 사이의 변환 (3) 운동에너지를 일반화 좌표와 일반화 속도의 함수로 구함 (3가지 방법의 예) (4) 필요에 따라 위치에너지를 일반화 좌표로 구함 예 조화진동자 , 중심력장 의 입자, 도르레, 이중 도르레, 강체 자유 회전에 대한 Euler 방정식의 유도, 움직이는 경사면에서 미끄러지는 강체의 평면 운동
예 1 : 조화 진동자 (1) 유일한 일반화 좌표 : x (2) 다른 좌표에 대한 구속조건 y=0, z=0 (3) Lagrange 방정식 기술 감쇄하지 않는 조화 진동자 방정식
예 2 : 중심력장 하에서 평면에서 움직이는 물체 (천체의 운동) 2개의 자유도 1. : 평면 운동에 의한 유일한 구속 조건 2. 평면 극좌표계를 일반화 좌표계로 3. 직교 좌표계 변환 4. Lagrangian 구함.
예 3 : 도르레 1차원 운동을 하므로 1개의 자유도를 각각의 물체가 가지고, 늘어나지 않는 끈으로 묶인 1 개 구속 조건으로 총 자유도는 1 이므로, 일반화 좌표를 x 라하자. 4. Lagrangian은 5. Lagrange 방정식은
예 : 2중 도르레 (단, 바퀴 (pulley)의 직경과 질량은 무시할 수 있게 작다) 4개의 물체( 3개의 질량과 1개의 움직일 수 있는 바퀴)에 대하여 2개의 자유도(x, x’)가 존재하므로 10개의 구속 조건이 있다. 평면에서의 운동이므로 각각의 y=z=0 에서 구속조건 8개와 질량 1과 바퀴가 또한 질량 2와 질량 3이 고정된 길이의 끈에 각각 묶여 있다는 구속조건 2개 일반화 좌표 2개는 x1 = x 와 움직이는 바퀴 중심에 대한 질량 2 위치 = x’ 3. Lagrangian 을 구하면 두 일반화 좌표에 대한 Lagrange 방정식으로부터
강체 자유 회전에 대한 Euler 방정식의 유도 : 강체의 회전 운동에너지만 존재 주축 각속도는 Euler 각도를 일반화 좌표로 잡을 수 있다
일반화 운동량 : 무시할 수 있는 좌표 계의 Lagrangian에 명시적으로 나타나 있지 않는 좌표에 대한 운동량은 보존 된다 예 : 자유입자 Linear Momentum Conservation : Formal definition 일반화 좌표 qk에 대한 conjugate 운동량 : 일반화 운동량 일반화 운동량으로 나타낸 보존계에 대한 Lagrange 방정식은 따라서 Lagrangian에 명시적으로 일반화 좌표가 나타나지 않는 계의 무시할수 있는 좌표 그의 공액 운동량은 일정
예: 움직이는 지지대에 매달린 진자 : 두 일반화 좌표 and 만일 지지대가 일정속도로 이동하면, Simple pendulum 만일 와 진자는 지지대가 일정한 가속도로 유지될 때 왼쪽으로 일정각을 유지한 채 움직인다