8. 난류의 모델과 이론 8.1 난류 흐름의 수학적 기술 기본방정식계 연속방정식

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1 8. 난류의 모델과 이론 8.1 난류 흐름의 수학적 기술 기본방정식계 연속방정식
운동방정식 (Navier Stokes equation) 𝜕 𝜃 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕 𝜃 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕 𝜃 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕 𝜃 𝜕𝑧 = 𝛼 ℎ 𝛻 2 𝜃 열역학 에너지 방정식

2 Boussinesq approximation
Ⅰ. 중력과 곱해진 𝜌 𝜌 0 만 무시할 수 없고 나머지의 경우 (1+ 𝜌 𝜌 0 ) 인 경우 1로 근사시킴 Ⅱ. 𝑝 𝑝 0 은 𝜌 𝜌 0 과 𝑇 𝑣 𝑇 𝑣0 에 비해 작아서 무시할 수 있음 Boussinesq 근사된 운동방정식 Boussinesq 근사된 연속 방정식 𝑃 = 𝑃 0 (𝑧)+𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝜌 = 𝜌 0 (𝑧)+𝜌(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝑇 𝑣 = 𝑇 𝑣0 (𝑧)+ 𝑇 𝑣 (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)

3 비선형 운동방정식에 대한 일반해는 없음 => 수치해

4 8.1.1 직접 수치 모의 (Direct numerical simulation: DNS)
Navier-Stokes equation 에 대한 수치해를 구함 low-Reynolds number의 난류에만 적용가능 격자 크기 < Kolmogorov 모델 영역 > large energy containing eddy 대기경계층에 대한 모의에서 필요한 격자수 : / < 103 인 작은 Reynolds number 난류에만 적용가능

5 8.1.2 큰 맴돌이 모의 (Large eddy simulation, LES)
◦ 큰 맴돌이를 직접 모의 하고 작은 맴돌이를 매개화 ◦ 덜 근본적이지만 계산시간상 대기경계층에 대해 적용가능 ◦ 난류 연구에 있어서 아주 유망되는 도구임

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7 8.1.3 앙상블 평균 난류 모델 Reynolds averaging condition 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑤 𝜕𝑧 =0 𝜕 𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕 𝑢 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕 𝑢 𝜕𝑧 =𝑓 𝑣 − 1 𝜌 0 𝜕 𝑝 𝜕𝑥 +𝜈 𝛻 2 𝑢 −( 𝜕 𝑢 ′ 2 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑢 ′ 𝑣 ′ 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑢 ′ 𝑤 ′ 𝜕𝑧 )

8 <closure problem of turbulence(난류 종결 문제)>
◦ 난류를 묘사하는 Reynolds averaged equations의 수가 미지수의 수보다 더 많아 해를 구할 수 없는 상태 ◦ 운동방정식의 비선형성에 기인 ◦ 난류 종결 모델 (Turbulence closure models) 1차 종결 모델 (first-order closure model) : 평균장에 대해서 prognostic equation(예단 방정식)을 사용하고 turbulent flux들을 평균장들로 매개화 하는 모형 예) 𝑢 ′ 𝑤′ =−𝐾 𝜕 𝑢 𝜕𝑧 , 𝑤′𝜃′ =−𝐾 𝜕 𝜃 𝜕𝑧

9 고차 종결 모델 (higher-order closure model)
난류 분산과 공분산, 고차 모멘트 (higher moments)들에 대해 예단 방정식 사용, even higher moments에 대해서 매개화 예) second order closure 에 대해서 매개화

10 난류 종결모델의 이름은 유지되는 가장 높은 차수의 예단 방정식에 의해 결정됨
예) 평균: 1차 moment 분산, 공분산: 2차 moment : 3차 moment (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3; k=1, 2, 3)

11 8.1.4 난류 운동에너지 방정식 단위 질량당 난류 운동에너지 I. 이류와 국제에 의한 E의변화 II. 시어 생성항
I. 이류와 국제에 의한 E의변화 II. 시어 생성항 III. 부력 생성/파괴항 IV. 난류 수송항 V. 점성에 기인한 소산항

12 난류에너지의 국지 변화율 𝜕𝐸 𝜕𝑡 5× 10 −5 𝑚 2 𝑠 −3 (지표층 6시간 동안)~ 5× 10 −3 𝑚 2 𝑠 −3 (자유대기 15분 동안) Stull (1988)

13 Stull (1988)

14 부력 생성 파괴항 불안정한 조건:양의 부호-> 생성항 안정한 조건: 음의 부호-> 파괴항 비등방성 항 (연직방향) Stull (1988)

15 기계적 생성항 : 지면 부근에서 가장 큼: 바람시어가 크기 때문 비등방성 항 (수평방향) Stull (1988)

16 자유대류: 부력생성항>> 기계적 생성항 강제대류: 부력 생성항<< 기계적 생성항
Stull (1988)

17 난류 수송항 대기 경계층에 대해 적분했을 때 0의 값을 가짐 (바닥과 경계층 꼭대기는 난류가 없는 경우 가정) 난류 운동에너지를 경계층 내에서 재분배함 Stull (1988)

18 기압 수송항 : 직접 측정 어려움 난류 운동에너지 수지 방정식의 잔차로 추정

19 소산항: 가장 작은 규모 에디에 대해서 가장 큼 Stull (1988)

20 ◦플럭스 리차드슨 수 (Flux Richardson number)
TKE의 시어생성항에 대한 부력 파괴항의 비 For statically unstable flow, Rf <0 For statically stable flow, Rf>0 Richardson (1920) For thee maintenance of turbulence Rf<Rfc =1

21 ◦ 경도 리차드슨 수 (Gradient Richardson number)와의 관계
Rc=0.25, RT=1 Ri < Rc 일 때 층류 -> 난류 Ri> RT 난류 -> 층류

22 8.2 경도 수송 이론 8.2.1 맴돌이 점성 가설 (Eddy viscosity(diffusivity) hypothesis)
◦ 난류 수송과 분자수송이 유사하다는 가정에 기초함 : 운동량에 대한 맴돌이 교환 계수 : 열에 대한 맴돌이 교환계수 (eddy exchange coefficient of heat)

23 ◦ 확고한 이론에 근거하지 않고 단지 직관에만 의존함
◦ 맴돌이 확산도 ≫ 분자확산도 ◦ 맴돌이 확산도는 흐름의 특성임 ◦ 제한점: 난류 플럭스가 국지 경도와 관련되어 있지 않을 때 하향경도 수송에 대한 개념 의문시 됨 예) 대류혼합층

24 8.2.2 혼합길이 가설 (Mixing-length hypothesis)
◦맴돌이 점성을 기하학(geometry)와 흐름 매개변수로 매개화하는 시도 ◦ L. Prandtl in 1925 ◦ 분자점성 ~ 평균 분자 속도 x 평균 자유 경로 ◦ 난류에 대해 비슷한 메커니즘에 관한 가설을 수립 ◦ 공기 덩어리가 주변과 혼합하지 않고 혼합길이만큼 이동한 후 새로운 환경과 혼합함

25 ◦ eddy viscosity는 혼합길이가 클수록 바람시어가 클수록 증가함
◦ 혼합길이는 큰 맴돌이 특성 길이규모와 직접 관련되어야 함 ◦ 지표층, ◦ 대기경계층: 은 열적 안정도와 대기경계층의 두께에 의존

26 8.3 차원분석과 상사이론 Buckingham Pi 차원분석 방법 1) 흐름에 중요할 수 있는 변수들의 선정
예) 파이프 흐름에 대하여 Stress, density, viscosity, velocity, pipe diameter, pipe roughness 2) 각 변수의 차원을 기본차원의 식으로 표현. Ex) : M: 질량, L : 길이, T: 시간

27 3) 기본 차원의 수를 셈 M, L, T 3개 4) 1)에서 선정된 변수들 중에서 key variables을 선정 ◦ key variables의 수는 기본 차원의 수와 같아야 함 ◦ 모든 기본 차원이 key variables에 표현되어야 함 ◦ Key variable의 조합으로부터 어떤 무차원 그룹이 만들어져서는 안됨 Ex) key variable

28 5) 남아 있는 변수들을 key variables 의 식으로 표현

29 6) 차원이 일치하도록 a, b, c … 를 결정 7) 무차원 그룹을 만듦

30 8.3.2 Similarity theory(상사이론) 무차원 변수들 간의 보편적인 관계식
<상사이론의 개발과 검증에 사용되는 5가지 단계 > ① 제한하는 가정들을 이용해 이론의 범위를 정함 예) 정상상태(stationarity), 평평하고 균질한 지표면 (flat and homogeneous surface) … 범위: 중립 지표층, 국지 자유대류 등) ② 최적화된 관련 독립변수 선택 (성공적인 상사이론 개발에 있어서 가장 결정적인 단계) 너무 변수가 적은 경우, 너무 변수가 많은 경우도 문제를 일으킴 ③ 차원 분석 수행 ④ 무차원 그룹간의 관계식 표현 ⑤상사이론의 검증이나 평가를 위해 자료 수집하거나 새로운 실험을 수행

31 8.3.3 상사이론의 예 자유 대류 조건에서 평균 온위 경도에 대한 관계식

32 또 다른 접근법: 먼저 특성 길이와, 속도 온도 규모를 정의함
특성 변수들을 이용해 다른 변수들을 정규화시킴 온도 규모

33 길이규모

34 속도규모 중립지표층 중립 대기경계층