Mathematics for Computer Graphics

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1 Mathematics for Computer Graphics
고려대학교 컴퓨터 그래픽스 연구실 cgvr.korea.ac.kr

2 Contents Coordinate-reference Frames Points and Vector Matrices
2D Cartesian Reference Frames Polar Coordinates 3D Cartesian Reference Frames 3D Curvilinear Coordinate Systems Points and Vector Vector Addition and Scalar Multiplication Scalar Product Vector Product Matrices Scalar Multiplication and Matrix Addition Matrix Multiplication Matrix Transpose Determinant of a Matrix Matrix Inverse cgvr.korea.ac.kr

3 Coordinate Reference Frames
Cartesian coordinate system x, y, z 좌표축사용, 전형적 좌표계 Non-Cartesian coordinate system 특수한 경우의 object표현에 사용. Polar, Spherical, Cylindrical 좌표계 등 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. cgvr.korea.ac.kr

4 2D Cartesian Reference System
Two-dimensional Cartesian Reference Frames y x y x 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. Coordinate origin at the lower-left screen corner Coordinate origin in the upper-left screen corner cgvr.korea.ac.kr

5 Polar Coordinates 가장 많이 쓰이는 Non-Cartesian System
Elliptical coordinates, hyperbolic, parabolic plane coordinates등 원 이외에 symmetry를 가진 다른 2차 곡선들로도 좌표계 표현 가능. r  한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. cgvr.korea.ac.kr

6 Cartesian Coordinates
Why Polar Coordinates? Circle 2D Cartesian : 비균등 분포 Polar Coordinate y y d d 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. x x dx dx 균등하게 분포되지 않은 점들 연속된 점들 사이에 일정간격유지 Cartesian Coordinates Polar Coordinates cgvr.korea.ac.kr

7 3D Cartesian Reference Frames
한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. Three Dimensional Point cgvr.korea.ac.kr

8 3D Cartesian Reference Frames
오른손 좌표계 대부분의 Graphics Package에서 표준 왼손 좌표계 관찰자로부터 얼마만큼 떨어져 있는지 나타내기에 편리함 Video Monitor의 좌표계 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. cgvr.korea.ac.kr

9 3D Curvilinear Coordinate Systems
General curvilinear reference frame Orthogonal coordinate system Each coordinate surfaces intersects at right angles A general Curvilinear coordinate reference frame cgvr.korea.ac.kr

10 3D Non-Cartesian System
Cylindrical coordinates Spherical coordinates z P(,,z) x axis y axis z axis   P(r,, ) x axis y axis z axis   r cgvr.korea.ac.kr

11 Point and Vector Point: 좌표계의 한 점을 차지, 위치표시 Vector: 두 position간의 차로 정의
Magnitude와 Direction으로도 표기 V P2 P1 x1 x2 y1 y2 cgvr.korea.ac.kr

12 Vectors Vector Addition and Scalar Multiplication 3차원에서의 Vector   
x z y cgvr.korea.ac.kr

13 Dot Product, Inner Product라고도 함
Scalar Product Definition For Cartesian Reference Frame Properties Commutative Distributive |V2|cos  V2 V1 Dot Product, Inner Product라고도 함 cgvr.korea.ac.kr

14 Cross Product, Outer Product라고도 함
Vector Product Definition For Cartesian Reference Frame Properties AntiCommutative Not Associative Distributive V1 V2 V1  V2  u Cross Product, Outer Product라고도 함 cgvr.korea.ac.kr

15 Examples Scalar Product Vector Product  (x2,y2) V2 (x1,y1) (x0,y0) V1
Angle between Two Edges Normal Vector of the Plane cgvr.korea.ac.kr

16 Matrices Definition Scalar multiplication and Matrix Addition
A rectangular array of quantities Scalar multiplication and Matrix Addition cgvr.korea.ac.kr

17 Matrix Multiplication
Definition Properties Not Commutative Associative Distributive Scalar Multiplication × = (i,j) j-th column i-th row m l n cgvr.korea.ac.kr

18 Matrix Transpose Definition Transpose of Matrix Product
Interchanging rows and columns Transpose of Matrix Product cgvr.korea.ac.kr

19 Determinant of Matrix Definition 2  2 matrix
For a square matrix, combining the matrix elements to product a single number 2  2 matrix Determinant of nn matrix A (n 2) 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. cgvr.korea.ac.kr

20 Inverse Matrix 2  2 matrix Properties Definition Non-singular matrix
If and only if the determinant of the matrix is non-zero 2  2 matrix Properties cgvr.korea.ac.kr

21 Homework (1/3) Cylindrical 좌표 (2, π/6, 1), (2, π/6, -1), (-2, π/6, 1), (-2, π/6, -1), Spherical 좌표 (4, π/6, π/3), (4, π/6, - π/3), (-4, π/6, π/3), (-4, π/6, - π/3)를 Cartesian 좌표로 변환하여라. 세 점 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)으로 구성된 삼각형 T(A, B, C)의 Face Normal을 구하시오. (반드시 Normalizing(정규화) 시킬 것) cgvr.korea.ac.kr

22 Homework (2/3) View Vector V(0, 0, -1)에 대해의 위의 삼각형 T의 앞면이 보이는지 뒷면이 보이는지 기술하시오. (반드시 이유도 기술) 다음의 식을 행렬로 표현하시오. (1) (2) (3) cgvr.korea.ac.kr

23 Homework (3/3) 삼각형 T의 세 꼭지점 A, B, C에 대해 위의 행렬 연산을 모두 적용시킨 후, 새로운 꼭지점의 좌표를 계산하여라. (꼭지점에 대한 연산 적용 순서는 (1)(2)(3)이고, 가능한 간단한 행렬 식으로 표현할 것) cgvr.korea.ac.kr