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공리 집합론 (Axiomatic Set Theory)
칸토어(G. Cantor) 집합론 (원시적인 형태) 공집합 { }, {1, }, {{}, {1}} … x A: x는 A의 원소이다. A B: A는 B의 부분집합이다. AB, AB A = {x: x는 소크라테스를 읽은 한국인} A = {x: P(x)}는 집합이다.
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러셀의 모순(Rusell’s Paradox)
N N C = {x: x는 x x를 만족하는 집합} C가 집합이라면 C C 이라면 C C C C 이라면 C C 즉 모순이다.
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체르멜로 프랜켈 (Zermelo-Fraenkel)
공리집합론 클래스 도입, 집합은 클래스의 원소가 되어야 한다. A ∋ A_1 ∋ A_2 ∋ A_3 ∋ A_4 ∋…. 는 존재하지 않는다. 공리들
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수학의 기초로서의 집합론 모든 수학적 관계는 집합들의 관계로 이해해야 한다.
A, B 집합, A와 B의 관계란 AxB의 부분집합을 말한다. 함수, 순서등이 이렇게 표현된다. 정수, 실수, 더하기, 곱하기 군,환,모듈,체, 유클리드공간, 비유클리드공간…..
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칸토어의 수 (Ordinal) 0 = {}, 1={{}}, 2={{},{{}}}, ….
A+1 = A {A} 내부에 순서가 정해져 있다. = {0,1,2,3,4, ….} 더하기 곱하기를 정할 수는 있다. (문제가 많음) +1 = {0,1,2,3,4,…..,} 2= {0,1,2,3,…., , +1, +2, …} 2 = {0,1,2,3, …, , +1, +2, …, 2, …, 3, …, …., n,…}
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Cardinal Card(R) > Card(Q) = Card(Z)
1, ½, 1/3, ¼, 1/5, …… 2, 2/2,2/3,2/4,2/5,….. 3, 3/2, 3/3,3/4,3/5,….. R A1= … A2= … A3= … ……… 대각수에서 각 digit을 한 개씩 바꾼 수는 리스트에 없다.
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초한수 aleph0, aleph1, aleph2, ….. aleph0 + aleph1 = alph1,….
2aleph0 = aleph1? …..(연속체가설) P(A) = 2A 로 정의됨 칸토어 (p. 82 II) Card A < Card P(A)
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Card A < Card P(A) A의 원소 -> P(A)의 원소 y -> A(y)={a, c, d} ⊂ A z -> A(z)={a, c, d, e} ⊂ A t -> A(t) = {a, b, c, d} ⊂ A …. U = {x| x ∉ A(x)} w -> U w가 U의 원소라면 w ∉ A(w)=U w가 U의 원소가 아니라면 w ∊ A(w) = U 즉 모순이다.
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힐베르트 계획(Hilbert Program)
힐베르트( ) 수학의 공리화 공리체계의 완전성을 주장: 즉 수학적으로 제대로 만들어진 질문은 답이 있다. 예: 삼각형의 각의 합은 180도이다. Godel에 의해서 충분히 복잡한 공리체계는 항상 결정불가능인 명제가 존재한다는 것이 보여졌다.
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괴델정리 정수와 덧셈, 곱하기등이 있는 어떠한 공리체계도 결정이 불가능한 명제가 있다. (2nd order logic)
Godel, Escher, Bach 저자 D. Hofstadter (Pulitzer Prize)
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Epimenides paradox The following sentence is false. The preceding sentence is true.
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Richard Paradox 자연수가 가질수 있는 모든 성질들의 정의를 나열한다. 즉 성질 1개 <-> 자연수
어떤자연수가 그자연수가 가르치는 성질을 가지지 않는 경우 리차드수라한다. N을 리차드 성질에 해당하는 자연수라하자. 그러면 N이 리차드 <-> N은 리차드가 아니다. 모순이다 이것은 잘못되었다. 왜냐하면 리차드성질은 리스트에 없기때문이다.(meta-mathematical) 괴델정리는 이러한 어려움이 없다.
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(*) 이쪽에서 별표를 부친 명제는 증명 불가능이다.
(*) 이쪽에서 별표를 부친 명제는 증명 불가능이다. 이 명제는 참또는 거짓이다. 거짓이라면 이 명제는 증명가능이고 즉 참이다. 즉 이 명제는 참이다. 이 명제가 참이라면 이명제는 증명불가능이다. 즉 참이지만 증명이 불가능이 명제가 존재한다.
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괴델정리 Godels proof (New York Univ. Press 2001)
모든 명제는 산술의 문제로 바꿀수 있으며 명제의 증명도 산술화 된다. (괴델산술화) 만약 모든 명제가 참 또는 거짓이며 그에 대한 증명이 항상존재한다고 하자. 모든 명제와 증명을 나열하자. (y의 괴델수 17) ∃x Dem(x, z) 괴델수 z인 명제의 괴델수 x증명 sub(y, 17, y) y가 괴델수인 공식의 17변수를 y의 괴델수로 치환 ~(∃x) Dem(x, sub(y, 17, y)) 괴델수를 n ~(∃x) Dem(x, sub(n, 17, n)) 은 증명불가능 (sub(n, 17, n)은 이 공식의 괴델수)
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현대 논리학의 탄생 Proof theory, Model theory Tarski, Robinson, Cohen (연속체 가설의 결정 불가능성) Computability theory Church, Turing, Kleene
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언어와 문법 (languages, grammar)
과거의 문법: 법률처럼 조직되어 해서 안될일들의 망라 Syntactic structure, grammar 언어의 역사, 진화연구 (과학적 접근) Saussure, Boas, Bloomfield Chomsky의 생성문법 정규 문법 <-> finite state automata (computer 의 일종)
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언어와 문법 (languages, grammar)
과거의 문법: 법률처럼 조직되어 해서 안될일들의 망라 Syntactic structure, grammar 언어의 역사, 진화연구 (과학적 접근) Saussure, Boas, Bloomfield Chomsky의 생성문법 정규 문법 <-> finite state automata (computer 의 일종)
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언어와 문법 (languages, grammar)
과거의 문법: 법률처럼 조직되어 해서 안될일들의 망라 Syntactic structure, grammar 언어의 역사, 진화연구 (과학적 접근) Saussure, Boas, Bloomfield Chomsky의 생성문법 정규 문법 <-> finite state automata (computer 의 일종)
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생성(영)문법 <sentence> -> <subject><predicate>
<subject> -> <noun phrase> <noun phrase> -> <noun> <noun phrase> -> <noun><conjunction><noun> <conjunction> -> and <noun>-> Jack <noun> -> Jill
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<predicate> -> <verb><prepositional phrase>
<propositional phrase> -> <proposition><article><noun> <preposition> -> up <article> -> the <noun> -> hill Jack and Jill ran up the hill
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S(sentence) -> DNP(noun phrase) VP (verb phrase)
VP -> V(verb) DNP PP (prepositional phrase) -> P(preposition) DNP DNP -> DET NP DNP -> DNP PP NP -> A(adjective) NP N -> NP The womans runs to the big car
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Formal grammar G=(N,T,P,S)
N finite set of nonterminal symbols T terminal symbols (N, T disjoint) P productions 생성자 S sentence symbol 문장기호 P의 원소 aAb -> awb (A = S or nonterminal symbol, w ∊ (N∪T)*
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언어(language) L(G) = {w∈T*: S =>* w}
G N={A}, T={a,b} S -> A, A -> aAb, A-> ab S => A => aAb => aaAbb => aaabbb L(G) = {akbk: 모든 k ≧1} G1 N={A, B, C}, T={a, b,c} P: S -> A, A -> aABC, A-> abC, CB -> BC, bB-> bb, bC -> bc, cC->cc L(G1) = {akbkck: 모든 k ≧1}
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