(Faraday’s Law, Inductance, and Alternating Current Circuits)

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1 (Faraday’s Law, Inductance, and Alternating Current Circuits)
Ch.23 패러데이의 법칙, 유도 계수 및 교류 회로 (Faraday’s Law, Inductance, and Alternating Current Circuits) 23.1 패러데이의 유도 법칙 23.2 운동 기전력 23.3 렌츠의 법칙 23.4 유도 기전력과 전기장 23.5 유도 계수 23.6 RL 회로 23.7 자기장 내의 에너지 23.8 교류 전원 23.9 교류 회로에서의 저항기 23.10 교류 회로에서의 인덕터 23.11 교류 회로에서의 축전기 23.12 RLC 직렬 회로 23.13 연결 주제: 우울증 치료에 경두개 자기 자극법 이용`

2 23.1 패러데이의 유도 법칙(Faraday’s Law of Induction)
시간에 따라 변하는 자기장이 만드는 효과? 1831년 영국의 패러데이(Michael Faraday)와 미국의 헨리(Joseph Henry) …”변화하는 자기장에 의해 회로를 통과하는 자기선속이 시간에 따라 변화하여 회로에 기전력(emf; electromotive force)이 유도 되고, 이러한 기전력에 의해 회로에 전류가 유도될 수 있다.” … “유도 기전력” 과 ‘유도 전류”

3 *** 자기에서의 가우스 법칙(Gauss’s Law in Magnetism) ***
자기장에 관한 (자기)선속은 전기선속을 정의할 때 사용한 것과 비슷한 방법으로 정의된다. 면적이 A 인 평면에 일정한 자기장 B 가 모든 면적 요소 벡터 dA 와 각 θ 를 이루는 특별한 경우를 고려하자. (단위; T.m2 = Wb, 웨버)

4 자기에 대한 가우스의 법칙(Gauss’s law in magnetism)
전하를 둘러싼 폐곡면을 통과하는 전기 선속은 그 전하량에 비례한다. 다시 말하면 그 폐곡면을 뚫고 나오는 전기력선의 수는 그 안에 있는 알짜 전하에 비례한다. 자기장의 경우를 생각하자. 자기력선은 어느 한 점에서 시작되거나 끝나지 않는다. 임의의 폐곡면에 대하여, 표면 안으로 들어가는 자기력선의 수는 표면으로부터 나오는 자기력선의 수와 같기 때문에 알짜 자기선속은 영이다. 자기에 대한 가우스의 법칙(Gauss’s law in magnetism) 임의의 폐곡면을 통과한 알짜 자기선속은 항상 영이다. 이 설명은 고립된 자기 홀극은 발견되지 않았고 아마도 존재하지 않음을 나타낸다. 그럼에도 불구하고 기본적인 물리 현상을 성공적으로 설명하기 위한 이론들이 자기 홀극의 존재 가능성을 제안하므로 계속적으로 탐색하고 있다.

5 패러데이의 유도 법칙(Faraday’s law of induction) :
만일, 회로가 같은 면적을 가진 N 개의 고리로 묶여진 코일이고, ΦB 가 고리 하나를 통과하는 자기선속이라면, 기전력은 모든 고리에 의해 유도된다. 오른쪽 그림과 같이 면 A를 둘러싸는 고리 하나가 균일한 자기장 B 안에 놓여 있다고 가정하자. 자기장의 크기, 고리의 면적 또는(및) 자기장과 고리면에 수직인 선이 이루는 각도가 변하면 기전력이 유도될 수 있다.

6 ◎ 패러데이 법칙의 몇 가지 응용(Some Applications of Faraday’s Law)
▶ 누전 차단기(GFI) ▶ 전기 기타의 음을 발생시키는 방법

7 코일에 기전력 유도하기 예제 23.1 풀이 (a) (b)
도선으로 200회 감긴 코일이 있다. 코일은 각각 한 변의 길이가 d=18cm인 정사각형으로 되어 있고, 코일의 면에 수직으로 균일한 자기장이 가해진다. 0.80초 동안 자기장이 0에서 0.50T로 일정하게 변한다면, (a) 자기장이 변할 때 코일에 유도되는 기전력의 크기를 구하라. (b) 코일과 회로의 전체 저항이 이라고 할 때, 자기장이 변하는 동안 코일에 유도되는 전류의 크기를 구하라. 풀이 (a) (b)

8 지수적으로 감소하는 자기장 예제 23.2 넓이 A인 닫힌 회로가 회로면에 대해 수직으로 지나가는 자기장 내에 놓여 있다. 자기장 B의 크기는 시간에 따라 B=Bmax e-at로 변한다(a는 상수). 즉, t=0 일 때는 자기장이 Bmax이고, t>0 일 때는 자기장이 지수적으로 감소한다. 닫힌 회로에서 유도 기전력을 시간에 대한 함수로 구하라. 풀이

9 23.2 운동 기전력(Motional emf) 일정한 자기장 내에서 움직이는 도체에 유도되는 기전력(운동 기전력)에 대해 생각하자. 면을 향해 들어가는 균일한 자기장 내에서 길이 ℓ인 직선 도체가 운동하고 있다. 도체가 어떤 외력을 받아 등속도로 자기장에 대해 수직한 방향으로 움직인다면, 도체 내의 전자는 아래 방향으로 자기력을 받는다. 전자들은 도체의 아래쪽으로 이동하여 쌓이고, 위쪽에는 알짜 양(+)전하가 남게 된다. 이 전하 분리로 인해 전기장 E가 도체 내부에 발생한다. 평형 상태에서는 다음을 만족한다. 따라서 도체 양단에 전위차 가 생긴다. 도체가 균일한 자기장 내를 움직이는 동안, 도체 양끝의 전위차는 계속 유지된다. 만약 운동 방향이 반대로 되면 전위차의 극성도 반대로 된다.

10 [ 운동하는 도체가 폐회로의 일부로 구성될 경우 ]
; 운동기전력 에너지 관점에서 살펴보면, 외력이 도체 막대에 일을 하고 있으므로 에너지의 근원을 제공한다. 계의 에너지 변화는 일에 의해 계에 공급된 에너지와 같아야 한다. 막대가 등속 운동하려면 막대에 흐르는 전류에 의한 자기력과 외력이 같아야 하므로,

11 회전하고 있는 막대에 유도되는 운동 기전력 예제 23.3 풀이 제23장 패러데이 법칙, 유도계수 및 교류회로
풀이 제23장 패러데이 법칙, 유도계수 및 교류회로

12 미끄러지고 있는 막대에 작용하는 자기력 예제 23.4 풀이 (왼쪽방향 -) (감속)
그림과 같이 도체 막대가 마찰이 없는 두 평행 레일 위를 움직이고, 균일한 자기장이 그림의 면 안쪽 방향으로 향하고 있다. 막대의 질량은 m이고 길이는 ℓ 이다. t=0 일 때, 막대의 처음 속도는 오른쪽 방향으로 vi 이다. (A) 뉴턴의 법칙을 이용하여 막대의 속도를 시간에 대한 함수로 구하라. 풀이 (왼쪽방향 -) (감속)

13 풀이 (B) 같은 결과를 에너지로 접근하여 얻을 수 있음을 보여라.
고립계로 모형화하면, 막대가 잃는 운동에너지가 저항기에서의 내부 에너지 변화와 같게 된다. (A)에서 얻은 결과와 같다.

14 *** 발전기와 전동기(Generators and Motors) ***
교류 발전기(alternating-current(AC) generator) 도선 고리가 자기장 내에서 회전하면, 도선 고리로 둘러싸인 면을 통과하는 자기선속은 시간에 따라 변하며, 이 변화가 패러데이의 법칙에 따라 도선 고리에 기전력과 전류를 유도한다.

15 직류 발전기(direct-current(DC) generator)
회전하는 코일의 접점에 정류자로 불리는 분할링이 사용되는 차이점만 제외하면, 교류 발전기와 기본적으로 같은 부품으로 되어 있다. 전동기(motor) 코일이 자기장 내에서 회전하면, 변하는 자기선속이 코일에 기전력을 유도한다. 이 유도 기전력(역기전력)은 항상 코일에 흐르는 전류를 감소시키는 작용을 한다. 전동기의 전원이 켜지는 처음에는 역기전력이 없으므로, 코일의 저항에만 제한받게 되어 전류는 매우 많이 흐르게 된다. 전동기가 작동할 때의 전력 수요는 작은 부하일 때보다 큰 부하일 때 더 크다.

16 발전기에 유도되는 기전력 예제 교류 발전기의 코일이 각각 넓이 A=0.0900m2인 도선으로 8번 감겨 있고, 도선의 전체 저항은 12.0 이다. 이 도선 고리는 0.500T의 자기장 내에서 60.0Hz의 일정한 진동수로 회전한다. 코일의 최대 유도 기전력을 구하라. 발전기의 출력 단자에 작은 저항의 도체가 연결되어 있다면, 최대 유도 전류의 크기는 얼마인가? 풀이

17 23.3 렌츠의 법칙(Lenz’s Law) 막대가 받는 자기력은 오른쪽 방향 막대는 가속, 속도 증가, 유도 전류 증가
폐회로에서 유도 전류는 폐회로로 둘러싸인 부분을 통과하는 자기선속 변화를 방해하는 방향으로 자기장을 발생시킨다. 렌츠의 법칙(Lenz’s law) => 에너지 보존 법칙 막대를 오른쪽으로 살짝 밀면 시계 반대 방향의 유도 전류가 발생한다. 만약, 전류의 방향이 반대, 즉 시계 방향이라면? 막대가 받는 자기력은 오른쪽 방향 막대는 가속, 속도 증가, 유도 전류 증가 계의 에너지는 무한대로 증가!  불가능

18 23.4 유도 기전력과 전기장(Induced emf and Electric Fields)
변화하는 자기선속이 도선 고리에 기전력과 전류를 유도한다. 결국, 변화하는 자기선속의 결과로서 도체에 전기장이 발생된다. 정전하들이 만드는 정전기장과 달리, 이 유도 전기장은 비보존적이다. 고리 면과 수직하고 균일한 자기장 내에 놓여진 반지름 r 인 도선 고리를 생각할 때, 자기장의 크기가 변하면 유도 기전력이 고리에 유도된다. 시험 전하 q 가 고리를 한 바퀴 도는 동안 기전력이 한 일은 qE 이다. 또 고리를 한 바퀴 도는 동안 이 전하를 움직이는 데 전기장이 한 일은 qE(2πr) 이다.

19 ;패러데이 법칙의 일반화 즉, 자기장이 시간에 따라 변화하면 유도 전기장이 생긴다(유도 전기장을 계산할 수 있다).
또, 임의의 폐경로에 대한 기전력은 그 경로를 따라 E·ds 로 선적분하여 구할 수 있다. ;패러데이 법칙의 일반화 ; 유도 전기장 E는 변하는 자기장에 의해서 발생되는 비보존 전기장이다.

20 변하는 자기장에 의해 솔레노이드에 유도되는 전기장 예제 23.5
반지름 R 인 긴 솔레노이드가 단위 길이당 n 회씩 도선으로 감겨 있고 시간에 따라 변하는 전류 I=Imax cosωt 가 흐르고 있다. Imax 는 최대 전류이며 ω 는 교류 전원의 각 진동수이다. (A) 긴 중심축으로 부터 거리 r > R 만큼 떨어진 솔레노이드 바깥 지점에서의 유도 전기장 크기를 구하라. 풀이

21 이므로 (B) 중심축에서 거리 r 만큼 떨어진 솔레노이드 내부에서 유도 전기장의 크기를 구하라. 풀이

22 23.5 유도 계수(Inductance) 회로의 전류가 시간에 따라 변하면, 원래 전류 흐름을 일으킨 기전력과 반대 방향의 유도 기전력이 발생하는 현상을 자체 유도(self induction)라고 한다. 그림에서 스위치를 닫으면 전류는 0에서 즉시 최대값 ε/R 값에 도달하지 못한다. 페러데이의 전자기 유도 법칙 에 의하면 전류의 증가는 회로 내부를 통과하는 자기 선속을 증가시키는데 이 때 이를 방해하는 기전력(역기전력)이 생긴다. 따라서 유도된 기전력의 방향은 전원의 기전력 방향과 반대이며, 전류의 증가를 억제하여 전류는 순간적으로 변화하는 것이 아니라 점진적으로 증가하여 나중 평형 값에 도달한다. … “자체 유도, 자체 유도 기전력( )” 자기선속의 크기는 자기장의 세기에 비례하고 자기장의 세기는 회로에 흐르는 전류에 비례하므로, 자체 유도 기전력은 항상 전류의 시간 변화율에 비례하게 된다.

23 L (자체 유도 계수 또는 인덕턴스) : 회로의 기하학적인 모양과 물리적인 특성에 따라 정해진다. L 의 단위 : 조밀하게 N 회 감긴 코일(토로이드 또는 솔레노이드)에 전류 I 가 흐르는 경우, 저항 ; 전류에 대한 방해 정도의 척도 자체 유도계수 ; 전류 변화에 대한 방해 정도의 척도

24 솔레노이드의 자체 유도 계수 예제 23.6 길이 l 인 원통에 도선이 균일하게 N 번 감긴 솔레노이드가 있다. l 은 솔레노이드의 반지름보다 대단히 크며 솔레노이드 내부는 비어 있다. 솔레노이드의 자체 유도 계수를 구하라. 단면적이 4.00 cm2 이고, 길이가 25.0 cm인 원통에 300회 코일이 감긴 솔레노이드의 자체 유도 계수를 구하라. 50.0 A/s의 비율로 전류가 감소할 때 솔레노이드의 자체 유도 기전력을 구하라. 풀이

25 23.6 RL 회로(RL Circuits) 솔레노이드와 같이 코일을 포함한 회로는 전류의 순간적인 증가나 감소를 방해하는 자체 유도 계수를 갖는다. 자체 유도 계수가 큰 회로 소자를 인덕터(inductor)라 한다. 인덕터의 자체 유도 계수는 역기전력을 발생시키기 때문에 회로 내의 인덕터는 전류의 변화를 억제한다. 처음에 회로에는 전류가 흐르지 않으며, S2 스위치가 a점에 연결되어 있는 상태에서 S1 스위치를 닫는 경우, 키르히호프의 법칙을 적용하면

26 : RL 회로의 시간상수(time constant)
… 전류가 0에서부터 최종값의 약 63.2%가 되는 데까지 걸리는 시간

27 전류가 나중 평형값이 되도록 스위치 S2가 충분히 오랜 시간 동안 점 a 에 놓여 있었다고 하자
전류가 나중 평형값이 되도록 스위치 S2가 충분히 오랜 시간 동안 점 a 에 놓여 있었다고 하자. 스위치가 a 에서 b 로 옮겨지면 전지가 연결되지 않은 오른쪽의 닫힌 회로가 된다. 이 미분 방정식의 해 : “만일 인덕터가 없으면 전류는 전지가 제거될 때 즉시 ‘0’으로 감소한다. 인덕터가 존재하면 전류의 감소를 방해하여 전류가 지수적으로 감소한다. 회로에서 시간 대 전류 그래프는 전류가 시간에 따라 지수적으로 감소함을 보여준다.”

28 RL 회로의 시간 상수(time constant ) 예제 23.7
그림 23.22와 같이 30.0mH의 인덕터와 6.00Ω 의 저항기 그리고 12.0V의 전지가 직렬로 연결된 회로가 있다. 회로의 시간 상수를 구하라. 스위치 S2는 a의 위치에 있고 t=0 에서 스위치 S1을 닫는다. t=2.00ms 에서 회로에 흐르는 전류의 크기를 계산하라. 인덕터 양단의 전위차와 저항기 양단의 전위차를 비교하라. 풀이

29 23.7 자기장 내의 에너지(Energy in a Magnetic Field)
인덕터를 포함하고 있는 회로의 전지는 인덕터가 없는 회로에서보다 더 많은 에너지를 제공해야 한다. 전지가 공급하는 에너지의 일부는 저항기에서 내부 에너지로 소모되며, 나머지 에너지는 인덕터의 자기장 내에 저장된다. 전지에서 공급되는 에너지 공급률 저항에서 손실되는 에너지 손실률(줄열) 인덕터에 주입되는 에너지 주입률 어느 순간에 인덕터에 저장된 에너지를 U라고 하면 (축전기)

30 에너지 밀도를 구하기 위해 솔레노이드의 경우를 고려하면
(예제 32-1) (30-4, 솔레노이드의 자기장) 따라서, 인덕터의 자기장 에너지 밀도 또는 단위 부피당 저장되어 있는 에너지 (26-13)식

31 인덕터의 에너지 예제 23.8 그림 23.22의 RL 회로에서 스위치 S2 는 a 의 위치에 있고 전류는 평형 상태 값을 갖고 있다. 스위치 S2가 b 의 위치로 움직이면 오른쪽 회로의 전류는 시간에 따라 지수적으로 감소한다. 처음에 인덕터의 자기장 내에 저장된 모든 에너지는 전류가 영으로 감소함에 따라 저항기의 내부 에너지로 소비됨을 보여라. 오른쪽 회로를 고립계로 보고 풀어라. 풀이 어느 순간에 저항기의 내부 에너지를 Eint 라 하자. 이 식을 t=0 에서 t= ∞ 까지 시간에 대해 정적분하라. (좌변을 적분하면 전체 내부 에너지 변화량이 된다.)

32 동축 도선 예제 23.9 동축 도선은 스테레오 시스템과 같은 전기 장치를 연결하거나 TV 케이블 시스템에서 신호를 수신하기 위해 쓰인다. 그림과 같이 길이 ℓ, 반지름 a 인 내부 원통과 반지름 b인 외부 원통으로 이루어진 동축 도선이 있다. 두 원통은 얇은 도체 막으로 이루어져 있다. 각각의 도체에는 같은 크기의 전류 I 가 흐르나, 외부 도체를 흐르는 전류는 내부 전류와 반대 방향이다. 이 도선의 유도 계수를 구하라. 풀이 두 도체 사이 공간에서의 자기장은 얇게 금색을 칠한 직사각형을 통과하는 자기선속은

33 23.8 교류 전원(AC Sources) 전원의 극성과 크기가 주기적으로 변하는 전원을 교류 전원이라고 한다.
: 전원의 최대 출력 전압 혹은 전압 진폭(voltage Amplitude) 교류 전압의 각진동수 : 한국과 미국의 발전소는 60.0Hz의 진동수를 사용한다. 이 값은 377rad/s의 각진동수에 해당한다.

34 23.9 교류 회로에서의 저항기(Resistors in an AC Circuit)
키르히호프의 법칙에 따라 저항기에 흐르는 최대 전류; 저항기 양단의 순간 전압;

35 전류와 전압은 시간에 따라 똑같이 변하기 때문에
서로 일치한다. 오른쪽 그림에서 보듯이 iR 과 vR 모두 sinωt 로 변하고, 같은 시간에 최대값에 도달하기 때문에 위상이 같다(in phase)라고 한다. 두 개 혹은 그 이상의 구성 요소를 가진 회로의 분석을 간단히 하기 위해 위상자 도표라 하는 그림 표현을 사용한다. 위상자(phasor)는 벡터이고, 그 길이는 나타내고자 하는 변수의 최대값에 비례한다. 위상자는 그 변수에 관계되는 각진동수와 같은 각속력으로 시계 반대 방향으로 회전한다. 위상자를 수직축에 투영하면 위상이 나타내는 순간 값을 얻게 된다.

36 교류 관련 계측기는 대부분 rms 값을 표시한다.
간단한 저항 회로의 경우 한 주기에 대한 전류의 평균값은 ‘0’ 이다. 에너지가 저항기에 전달되는 비율인 전력을 고려하자. 시간에 대한 평균을 계산하면 이므로 … “rms(root mean square) 전류” … “rms(root mean square) 전압” 교류 관련 계측기는 대부분 rms 값을 표시한다.

37 rms 전류는 얼마인가? 예제 23.10 교류 전원의 전압 출력이 로 주어진다. 이 전원에 100 Ω 의 저항기가 연결되어 있을 때 회로 내에 흐르는 rms 전류를 구하라. 풀이

38 23.10 교류 회로에서의 인덕터(Inductors in an AC Circuit)
;인덕터에 흐르는 전류 인덕터에 흐르는 순간 전류와 인덕터 양단에 걸린 순간 전압은 위상이 90도 만큼 차이가 난다. (늦다)

39 : 유도 리액턴스(inductive reactance) XL
(단위: Ω) : 유도 리액턴스(inductive reactance) XL 인덕터 양단에 걸린 순간 전압은 ;인덕터 양단에 걸린 전압

40 순수한 유도성 교류 회로 예제 23.11 순수한 유도성 교류 회로에서 L = 25.0mH이고 rms 전압이 150V이다. 주파수가 60.0Hz일 때 유도 리액턴스와 회로에 흐르는 rms 전류를 계산하라. 풀이 제23장 패러데이 법칙, 유도계수 및 교류회로

41 23.11 교류 회로에서의 축전기(Capacitors in an AC Circuit)
사인모양 전압에 대해 전류는 항상 축전기 양단의 전압보다 90°앞선다.

42 용량 리액턴스(capacitive reactance) XC
(단위: Ω) 축전기 양단에 걸린 순간 전압은

43 순수한 용량성 교류 회로 예제 23.12 제23장 패러데이 법칙, 유도계수 및 교류회로

44 23.12 RLC 직렬 회로(The RLC Series Circuit)
순간 전압 : 순간 전류 : ; 전류와 전압 사이의 위상각 (phase angle)

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46 위상자 활용 ! ◀ 임피던스(impedance) Z (단위: Ω)

47 전류와 전압 사이의 위상각 : (고진동수에서 발생) 위상각은 양수이고, 전류는 걸린 전압에 뒤짐을 의미한다. …”유도성 회로”
: (고진동수에서 발생) 위상각은 양수이고, 전류는 걸린 전압에 뒤짐을 의미한다. …”유도성 회로” : 위상각은 음수이고, 전류가 전압보다 앞선다. … “용량성 회로” : 위상각은 ‘0’ 이고, 회로는 순수하게 저항만 있다.

48 직렬 RLC 회로 분석 예제 23.13 직렬 RLC 회로가 R=425 Ω, L=1.25H, C〓3.50㎌, f=60.0Hz 그리고 Vmax=150V 를 가진다. 유도 리액턴스와 용량 리액턴스 그리고 회로의 임피던스를 구하라. 회로에 흐르는 최대 전류를 구하라. 전류와 전압 사이의 위상각을 구하라. 풀이

49 (D) 각 회로 요소 양단의 최대 전압을 구하라. (E) 이 회로를 분석하는 기술자가 어떠한 L 을 선정하면, 전류가 걸린 전압보다 30° 앞서는지 찾아 보아라. 단, 이 회로의 다른 모든 변수는 동일하다고 하자.

50 과제5. 23장 연습 문제 중 주관식 1, 7, 14, 19, 22, 23, 28, 30, 38, 41, 44번 11문제 제19장 전기력과 전기장