- 3장 - 동적 시스템의 시간역 모델링.

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1 - 3장 - 동적 시스템의 시간역 모델링

2 Contents 3.1 서론 3.2 동적 시스템: 기계시스템, 유체시스템, 열시스템, 전기시스템 3.3 상태공간모델식
3.1 서론 3.2 동적 시스템: 기계시스템, 유체시스템, 열시스템, 전기시스템 3.3 상태공간모델식 3.4 Lagrange 방정식을 이용한 시스템 모델링: 일반화된 변수, 운동 및 위치 상태함수, Lagrange 방정식 유도 및 적용 3.5 비선형 시스템의 선형화: Taylor 급수를 이용한 선형화, 피드백을 이용한 선형화, 기술함수를 이용한 선형화 3.6 MATLAB을 이용한 동적 시스템의 시간역 모델링

3 3.1 서론 - 동적 시스템의 수학적 모델식 주파수역 모델식: 선형 시불변 시스템에 적용, 전달함수로 표현
- 동적 시스템의 수학적 모델식 주파수역 모델식: 선형 시불변 시스템에 적용, 전달함수로 표현 시간역 모델식: 일반 시스템에 적용, 상태공간모델식(상태방정식 + 출력방정식)으로 표현 - 대표적인 공학적 동적 시스템 병진식 및 회전식 기계시스템, 압축성 및 비압축성 유체시스템, 열시스템, 전기시스템 동적 시스템 간의 유사성 이용  다에너지역 시스템 조직적인 모델링 가능 동적 시스템의 기본요소: 에너지 발생, 저장, 발산, 변환 요소 Lagrange 방정식을 이용한 시스템 모델링: 복잡한 구조를 갖는 시스템 모델링에 적합 - 비선형 시스템의 선형화 기법 소프트(soft) 비선형 시스템: 비선형 요소의 입출력 관계 미분 가능한 시스템 Taylor 급수 이용 (작동범위 작을 때) 피드백 선형화 이용 (작동범위 클 때) 하드(hard) 비선형 시스템: 비선형 요소의 입출력 관계 미분 불가능한 점 존재  기술함수기법 이용

4 3.2 동적 시스템 시스템의 각 요소가 가지고 있는 에너지 특성에 따라 에너지 발생, 저장, 발산, 변환 요소로
3.2 동적 시스템 시스템의 각 요소가 가지고 있는 에너지 특성에 따라 에너지 발생, 저장, 발산, 변환 요소로 구분되며 이 요소들은 서로 접합되어 상호작용을 한다. 그림 3.1 동적 시스템의 에너지 흐름선도

5 파워(에너지)보존법칙 (동적 시스템의 기본 방정식)
(3.1) 여기서 : 모든 에너지 소스(source)로부터 시스템에 가해진 파워(power) : 에너지 저장요소에 저장된 에너지의 시간변화율 : 에너지 발산요소에서 소멸된 파워 또는 (3.2) 여기서 P: 작용력(effort)변수 e와 흐름(flow)변수 f 의 곱으로 정의 (3.3)

6 표 3.1 대표적인 공학 시스템에 대한 작용력변수와 흐름변수

7 에너지변수: 일반화된 운동량 p 와 일반화된 변위 q
- 동적 시스템의 물리변수 파워변수: 작용력변수 e 와 흐름변수 f 에너지변수: 일반화된 운동량 p 와 일반화된 변위 q 그림 3.2 파워변수와 에너지변수 사이의 관계 - 동적 시스템의 기본 방정식 또는 여기서 C: 커패시턴스(위치에너지 저장요소) 여기서 I: 이너턴스(운동에너지 저장요소) 여기서 R: 저항(에너지 발산요소) 또는 또는

8 시스템의 접합구조 - 0-접합: 작용력변수가 같은 경우 (3.8) - 1-접합: 흐름변수가 같은 경우 (3.9)
표 3.2 대표적인 공학 시스템에서 접합구조의 물리적 의미

9 일반화된 커패시턴스 - 작용력변수 e가 일반화된 변위 q의 함수로 표현되는 위치에너지 저장요소 (3.10)
- 위치에너지 저장요소의 예 스프링: 토션바: 어큐뮬레이터: 커패시터: - 일반적인 C 형태의 에너지 저장요소의 파워변수 관계식 또는 (3.12)

10 일반화된 이너턴스 - 흐름변수 f 가 일반화된 운동량 p의 함수로 표현되는 운동에너지 저장요소 (3.13)
- 운동에너지 저장요소의 예 질량: 회전관성: 유체관성: 인덕턴스: - 일반적인 I 형태의 에너지 저장요소의 파워변수 관계식 또는 (3.15)

11 일반화된 저항 - 작용력변수 e가 흐름변수 f의 함수로 표현되는 에너지 발산요소 (3.16)
- 선형 시스템에서의 에너지 발산요소 (3.17) - 에너지 발산요소의 예 감쇠 : 마찰 : 저항 :

12 에너지 변환요소 - 에너지 손실이 없다고 가정하면 에너지 변환요소의 입력파워 Pi 와 출력파워 Po 는 같다. (3.18)
- 에너지 변환방법에 따른 에너지 변환 요소의 분류 트랜스포머(transformer): (3.19) 여기서 Kt : 트랜스포머계수 자이레이터(gyrator): (3.20) 여기서 Kg : 자이레이터계수

13 표 3.3 대표적인 공학 시스템에 대한 에너지 발생, 저장 및 발산요소

14 표 3.4 대표적인 공학 시스템에 대한 에너지 변환요소

15 상사(similarity) 시스템 개념 기계, 유체, 열, 전기 시스템 등 플랜트의 종류가 다르더라도 각 시스템이 상사 시스템이면 수학적 모델식이 전적으로 같다. 사용하는 물리변수 및 파라미터 등의 용어만 다르다. 예) 기계시스템: 힘, 속도, 변위, 운동량, 스프링상수, 질량, 감쇠계수 전기시스템: 전압, 전류, 전하, 자속쇄교, 커패시턴스, 인덕턴스, 저항 상사 시스템 개념을 적용하면 다에너지역 동적 시스템의 상태공간모델식 또는 전달함수를 구하는 과정을 체계적으로 수행할 수 있다. 시스템 각 요소간의 접합조건 및 파워보존법칙 적용 (2) 시스템의 각 요소방정식 정리

16 3.2.1 기계시스템 기계적(mechanical): 고체 물체에 작용하는 힘이나 토크 그리고 물체의 운동을 해석함을 의미함
표 3.5 기계시스템의 기본적인 물리변수

17 표 3.6 대표적인 위치에너지 저장요소들에 대한 스프링상수

18 표 3.7 집중-질량 등가 기계시스템 표 3.8 대표적인 물체의 회전관성

19 표 3.9 대표적인 기계적 에너지 발산요소들에 대한 감쇠마찰계수

20 질량-스프링-댐퍼 시스템의 동적 방정식 유도
예제 3.2 질량-스프링-댐퍼 시스템의 동적 방정식 유도 그림 3.11 질량-스프링-댐퍼 시스템 - 접합구조를 고려한 파워보존법칙 - 에너지 저장요소들의 동적 방정식 또는 - 에너지 발산요소의 요소방정식 - 3차 시스템(상태변수: 질량의 속도 , , 그리고 스프링 힘 )

21 3.2.2 유체시스템 - 유체시스템의 분류 유공압시스템: 정적 압력만 고려함
일반적인 유체시스템: 정적 및 동적 압력 모두 고려 유압시스템 견고하고 고속이며 큰 동력을 발생시킬 수 있음 공작기계, 굴삭기, 동력전달장치, 그리고 항공기 제어용 서보기구 등에 이용 공압시스템 전기 모터보다 큰 파워를 얻을 수 있음 화재로부터 위험이 없음 응답속도가 유압시스템보다 느림 작동유체의 압축성 때문에 모델링이 복잡함 그림 3.12 일반적인 유압시스템

22 표 3.10 유공압시스템의 기본적인 물리변수

23 (1) 위치에너지 저장요소 일정면적 유체 탱크의 유체 커패시터 - 일정면적 유체 탱크의 기본 방정식 (3.40) (3.41a)
(3.41b) 여기서 P : 유체 탱크 바닥에서의 압력 V : 유체 탱크의 체적 (3.42) 여기서 g : 중력가속도상수 A : 유체 탱크의 단면적 그림 3.13(a) 일정면적 유체 탱크의 유체 커패시터 - 유체 탱크의 커패시턴스 C (3.42)

24 강체 파이프의 유체 커패시터 dP : 유체 체적 V가 dV 만큼 증가할 때의 - 강체 파이프 내의 유체의 기본 방정식
(3.44) 여기서 B: 체적탄성계수(bulk modulus) dP : 유체 체적 V가 dV 만큼 증가할 때의 압력변화 또는 (3.45) 여기서 : 원래의 유체 체적 ( ) 그림 3.13(b) 강체 파이프의 유체 커패시터 - 강체 파이프의 유체 커패시턴스 C (3.47)

25 유연 파이프의 유체 커패시터 - 압력변화 P에 의해 파이프에서 발생되는 응력 (3.48) - 원주 방향의 스트레인 (3.49)
여기서 E : 탄성계수 - 반지름 증가에 의한 체적변화량 V (3.50) - 미소 스트레인 그림 3.13(c) 유연 파이프의 유체 커패시터 (3.51) - 유연 파이프의 커패시턴스 → (3.52) (3.59) 여기서 공칭체적

26 압축가스 어큐뮬레이터 - 등엔트로피 과정으로 가정 일정 (3.60)
여기서 첨자 o : 초기값, Υ : 일정한 체적에서의 비열 에 대한 일정한 압력에서의 비열 의 비, 즉 (3.61) 여기서 → , → 로 치환하면 그림 3.14 압축가스 어큐뮬레이터 (3.62) - 압축가스의 커패시턴스 (3.63)

27 (2) 운동에너지 저장요소 - 유체관성: 유체시스템에서 운동에너지를 저장하는 요소
- 유체관성 I는 작용력변수 P와 흐름변수 Q 사이의 관계식으로부터 유도 (3.68) (3.69) (3.70) - 유체관성 I 계산 (3.71) 여기서 : 유체의 가속도 그림 3.16 일정면적 파이프 (3.72) (3.73)

28 (3) 에너지 발산요소 - 유체저항식 층류(laminar) 유체 경우( ) (3.75) 여기서 (3.77)
난류(turbulent) 유체 경우( ) (3.79) 여기서 그림 3.17 유체저항: (a) 다공성 마개, (b) 모세관 튜브, (c) 긴 파이프, (d) 오리피스, (e) 밸브 (3.80)

29 (4) 에너지 변환요소 - 용적형(positive-displacement type) 펌프 (3.90)
- 출력 체적 와 축의 각변위 사이의 관계식 (3.94) → (3.95) - 파워보존법칙 (3.96) → (3.97) → 트랜스포머 형태의 에너지 변환요소 그림 3.22 흐름소스로 모델링된 일정변위 펌프

30 → 2차 시스템 (상태변수: 펌프에서 공급되는 유량 Q1 , 유체저항 통과 후의 압력 P3 )
예제 3.3 유압시스템의 동적 방정식 유도 그림 3.24 유연하고 긴 파이프를 갖는 유압시스템 유체관성 I와 유체커패시터 C에 대한 동적 방정식 유체저항 R과 부하저항 RL에 대한 요소방정식 → 2차 시스템 (상태변수: 펌프에서 공급되는 유량 Q1 , 유체저항 통과 후의 압력 P3 )

31 3.2.3 열시스템 - 열시스템의 특징 열 에너지와 온도효과를 고려해야 함 운동에너지 저장요소가 필요 없음
- 열 시스템의 기본 방정식(Gibbs 방정식) (3.98) 여기서 u, s, v: 각각 단위 질량당 내부에너지, 엔트로피, 그리고 체적 표 3.11 열시스템의 물리적인 기본변수

32 열전달 시스템 - 엔트로피 개념은 추상적이므로 흐름변수로 엔트로피유량 대신 열(에너지)유량 Q를 사용
- 열역학적 온도는 절대온도뿐만 아니라 섭씨, 화씨 온도도 사용 - 표 3.12는 물리적 보다는 수학적인 유사성(analogy)을 갖는다. 표 3.12 열전달 시스템의 기본적인 물리변수

33 열전도에 의한 열저항 열대류에 의한 열저항 (3.101) 여기서 k : 열전도도, A : 열전달 면적, l : 두께
(3.102) 여기서 h : 대류 열전달계수, A : 열전달 면적, T1, T2 : 벽과 유체의 온도 → 전도 열저항 Rk와 대류 열저항 Rc (3.104) (3.105) 그림 3.26 열전달 및 대류에 의한 열저항 요소

34 복사에 의한 열저항 - Stefan-Boltzmann 법칙 (3.107) 여기서 (Stefan-Boltzmann 상수)
유효 방사율(emissivity) 형상계수 열전달 면적 - 식 (3.107)을 작동점 근처에서 선형화 (3.109) 여기서 (3.110)

35 열 커패시턴스 - 열 커패시턴스의 기본 방정식 여기서 c: 비열(specific heat)
그림 3.27 열 커패시턴스 - 비열 c는 온도에 따라 변하지만, 온도의 변화량 T가 작다고 가정 또는 (3.114) (3.115) (3.116) 여기서 (3.117)

36 - 열 커패시턴스 C와 열저항 R을 고려한 열시스템에 대한 동적 모델식
예제 3.4 열시스템에 대한 동적 모델식 유도 그림 3.28 기본적인 열시스템의 예 - 단열재와 재료 블록 사이의 열저항 그리고 단열재와 주변의 대기온도 T0 사이의 열저항을 합한 등가 열저항을 R로 나타냄 - 대기온도는 T0 로 일정하다고 가정 - 열 커패시턴스 C와 열저항 R을 고려한 열시스템에 대한 동적 모델식 또는 - 1차 시스템(상태변수: 온도 T)

37 3.2.4 전기시스템 표 3.13 전기시스템의 기본적인 물리변수

38 (1) 위치에너지 저장요소 - 위치에너지 저장요소의 기본 방정식 (3.118) 또는 (3.119)
- 커패시턴스 C의 단위: F(farad) = 쿨롱/전압(C/V) 그림 3.29 커패시턴스 C에 대한 기호

39 (2) 운동에너지 저장요소 - 운동에너지 저장요소의 기본 방정식 (3.120) 또는 (3.121)
- 유도 효과는 자기 인덕턴스와 상호 인덕턴스로 구분 인덕턴스: 단일 코일이 코일전류에 의하여 만들어진 자기장이 코일 자체와 관련될 때 발생 인덕턴스: 두 인덕터가 한 전기회로 안에 포함되어 있을 때, 서로 미치는 자기장의 영향 인덕턴스의 단위: H(henry) = 웨버(weber)/전류(Wb/A) 자기 상호 그림 3.30 인덕턴스 L에 대한 회로 기호 그림 3.31 상호 연성을 갖는 인덕터

40 (3) 에너지 발산요소 (4) 에너지 발생 및 변환요소 - 에너지 발산요소의 기본 방정식 (3.126) - 저항 R의 단위:
- 전류 소스: 시간의 함수로 전류를 발생시키는 에너지 발생요소 - 전압 소스: 시간의 함수로 전압을 발생시키는 에너지 발생요소 그림 3.35 전류 및 전압소스에 대한 회로 기호

41 - 전기적 에너지 변환요소 트랜스포머 형태의 에너지 변환식 (3.127) 여기서 n은 트랜스포머계수
자이레이터 형태의 에너지 변환식 (3.128) 여기서 r은 자이레이터계수 그림 3.36 전기적 에너지 변환요소

42 - 2차 시스템(상태변수: 커패시터에 걸리는 전압 Vc, 인덕터 L에 흐르는 전류 iL)
예제 3.5 전기시스템에 대한 동적 모델식 유도 그림 3.43 직렬 및 병렬로 연결된 전기시스템 에너지 저장요소인 커패시터 C 와 인덕터 L 에 대한 동적 방정식 저항 R1과 R2의 요소방정식 - 2차 시스템(상태변수: 커패시터에 걸리는 전압 Vc, 인덕터 L에 흐르는 전류 iL)

43 3.3 상태공간모델식 - 상태공간: 어떤 지정된 시간에서 시스템의 상태를 완전하게 서술하는 데 필요한 임의의 최소 변수의 집합
- 상태변수: 시스템의 상태를 정의할 수 있는 임의의 최소 변수 - 상태벡터: 상태변수를 벡터 형태로 표현 - 상태공간모델식: 상태방정식과 출력방정식(선형 시불변 다변수 시스템의 경우) (3.140) (3.141) 여기서 는 상태벡터, 는 제어입력벡터, 는 출력벡터 - 상태변수 선정 시스템 내에 있는 독립된 에너지 저장요소의 파워변수[위치에너지 저장요소의 작용력 변수 e 와 운동에너지 저장요소의 흐름변수 f ] 또는 Lagrange 변수[위치에너지 저장 요소의 일반화된 변위변수 와 운동에너지 저장요소의 일반화된 속도 ] 시스템 내에 관심 있는 변수, 즉 시스템의 출력으로 운동에너지 저장요소의 흐름변수 를 적분한 일반화된 변수 가 포함되어 있을 때, 이를 상태변수로 추가

44 - 질량-스프링-댐퍼 기계시스템의 상태공간모델식 유도
그림 3.45 질량-스프링-댐퍼 기계시스템 - Newton의 제 2법칙 적용 (3.142) - 상태변수 선정: ① Lagrange변수: 위치에너지 저장요소인 스프링의 변위 x(t)와 운동에너지 저장요소인 질량의 속도 v(t) ② 파워변수: 위치에너지 저장요소인 스프링의 작용력 Fs(t)와 운동에너지

45 - 상태방정식 및 출력방정식 유도 ① Lagrange 상태변수를 사용한 경우 상태방정식 (3.145) 또는 (3.146) 여기서 출력방정식 (3.147) 여기서

46 ② 파워 상태변수를 사용한 경우 상태방정식 (3.150) 또는 (3.151) 여기서 출력방정식 (3.152) 여기서

47 상태공간모델식으로부터 전달함수 유도 - 상태공간모델식에 대해 Laplace 변환 수행 (3.156) 여기서 (3.157)
- 파워변수에 의한 상태공간모델식으로부터 전달함수 유도 (3.159) - 기계시스템의 동적 방정식 (3.42)에 대해 Laplace 변환 수행 (3.160) → 상태변수의 선정이 다르더라도 전달함수는 동일하게 유도되고, 시스템행렬 A의 고유값은 동일함

48 발전기: 자이레이터 형태의 에너지 변환요소 Kg
종합문제 3.1 수력발전시스템의 상태공간모델식 유도 - 입력: 비에 의해 공급되는 유량 Q - 출력: 저수량 VR, V - 수력발전시스템의 구성요소 저수지: 위치에너지 저장요소 C 밸브: 저항요소 Rv 터빈: 트랜스포머 형태의 에너지 변환요소 Kt 축: 운동에너지 저장요소 J, 저항요소 R 발전기: 자이레이터 형태의 에너지 변환요소 Kg 그림 수력발전시스템 에너지 변환: 유체의 위치에너지  기계에너지(회전)  전기에너지 터빈 발전기 ① 저수지와 축의 동적 방정식 여기서 P : 저수지 수압, : 축의 각속도, Q : 수로에서의 유량, TJ : 축토크

49 ② 에너지 발산요소(밸브저항 Rv, 축의 점성저항 cT, 전기저항 R)의 요소방정식
여기서 Pt : 터빈 측 수압, Tt : 터빈 측 토크, Tg : 발전기 측 토크, V : 발전기 전압, i: 전기저항에 흐르는 전류 ③ 에너지 변환요소(터빈 Kt, 발전기 Kg)의 요소방정식 여기서 Kt : 터빈의 트랜스포머계수, Kg: 발전기의 자이레이터계수

50 ④ 각 요소방정식들을 정리하여 상태방정식 유도
또는 여기서 ⑤ 출력방정식 유도 여기서

51 3.4 Lagrange 방정식을 이용한 시스템 모델링
역학을 이용한 시스템의 운동방정식 유도 방법 - Newtonian 또는 벡터 접근법 힘 및 모멘트 벡터 이용 시스템의 개별적인 각 요소에 대한 운동에 관심 - Lagrangian 또는 변분(variation) 접근법 위치 및 운동 에너지 이용 시스템 전체에 대한 운동에 관심 - 시스템 동역학적 측면에서는 Lagrangian 접근법이 유용함 - 변분 개념 수학적으로 미분 개념과 전적으로 동일 미분 개념은 시간의 문제를 다루고, 변분 개념은 공간의 문제를 다룸

52 3.4.1 일반화된 변수 - 기하학적 허용 가능성 조사  독립적인 기하학적 변수들의 집합 사용
- 일반화된 좌표: 기준점에 대한 동적 시스템의 위치를 완전(complete)하고 독립적(independent)으로 정하는데 사용 그림 3.47 평면 상에서 운동하는 강체막대의 일반화된 좌표 그림 3.48 수평 및 진자 운동을 하는 시스템의 일반화된 좌표 - 일반화된 좌표 선정 - 일반화된 좌표 선정 m1과 m2의 변위 x1과 x2 진자 팔이 수직축과 이루는 각 θ 막대중심 C의 x 및 y 좌표 막대와 x축과의 각 θ

53 일반화된 힘 계산 - 가상일(virtual work) 개념 적용 일반화된 힘 Qj(j = 1, 2, …, n) 
그림 3.49 N개의 질량입자 mi로 구성된 시스템

54 예) 질량-댐퍼 기계시스템의 일반화된 힘 Qj 계산
그림 3.50 질량-댐퍼 기계시스템 (3.167) 따라서 (3.168) (3.169)

55 3.4.2 운동 및 위치 상태함수 운동에너지 T(p): 운동량이 0에서 p로 증가함에 따라 발생된 일의 양 W (3.170)
운동 및 위치 상태함수 운동에너지 T(p): 운동량이 0에서 p로 증가함에 따라 발생된 일의 양 W (3.170) - 운동공액에너지 T*(v): T(p)의 Legendre 변환 입자가 Newtonian(p = mv) 이면, 그림 3.51 운동 상태함수 T 와 T*

56 예제 3.6 원심조속기의 운동공액에너지 T* 계산 - 시스템의 운동공액에너지 T* - O에 대한 P점의 위치벡터 R2
그림 3.52 원심조속기 - 시스템의 운동공액에너지 T* - O에 대한 P점의 위치벡터 R2 (3.175)

57 - xyz 좌표계가 각속도 로 회전하므로 (3.176) - 식 (3.176)을 이용하여 식 (3.175)를 미분 (3.177) 그리고 - 링크들이 대칭으로 놓여있으므로,  (3.178)

58 예제 3.7 막대 시스템의 운동공액에너지 T* 계산 (1) O점에서의 운동공액에너지 T* 여기서 , 따라서
그림 3.53 얇은 막대 시스템

59 (2) C 점에서의 운동공액에너지 T* 여기서 - 평행축 정리 이용  무게중심점 C 에서의 회전관성 Jc 계산 

60 위치 상태함수 V 와 V* - 위치 상태함수 보존적인 변형요소의 경우 보존력이 작용하는 계의 경우
- 보존적인 변형요소 경우의 위치에너지 V(x) 그림 3.54 위치 상태함수 V와 V* - 위치공액에너지 V*(F)  V(x)의 Legendre 변환 (3.180) - 보존력이 작용하는 계의 경우의 위치에너지 V(R) (3.181)

61 예제 3.8 원심조속기의 위치에너지 V 계산 - 원심조속기가 갖는 위치에너지 또는 (3.186)
그림 3.55 (a) 원심조속기, (b) 변형된 스프링 - 원심조속기가 갖는 위치에너지 또는 (3.186)

62 3.4.3 Lagrange 방정식 유도 및 적용 Lagrange 방정식 유도
- 그림 3.49에 표시된 N개의 질량입자 mi 로 구성된 시스템에 Newton의 제 2법칙 적용 (3.187) - 변분지수 V.I. 정의: (3.188) 여기서 Ri 는 질량입자 mi 의 위치벡터, 변분지수에 대하여 부분적분을 수행하고 V.I.' 를 시간 에 관하여 적분한 새로운 변분지수 V.I.' 를 정의 (3.193) - Lagrange L 정의: (3.194) - 부분적분을 이용하여 V.I.' 계산: (3.199) - 임의의 에 대하여 위 식이 0이 되는 필요조건식  Lagrange 방정식 (3.200)

63 Lagrange 방정식을 이용한 시스템 모델링 적용순서
독립적인 일반화된 좌표 qj ( j = 1, 2, …, n)의 완전한 집합 선정 일반화된 비보존력 Qj( j = 1, 2, …, n) 계산 - Lagrangian L(= T* - V) 계산 - 일반화된 좌표 qj( j = 1, 2, …, n)에 대하여 Lagrange 방정식 적용 - Lagrange 상태변수 를 이용하여 운동에너지 저장요소의 흐름변수와 위치에너지 저장요소의 일반화된 변위변수를 상태변수로 선정 만일 시스템에서 관심 있는 변수, 즉 출력변수 중에 운동에너지 저장요소의 흐름변수를 적분한 값인 일반화된 변위변수가 포함되어 있다면 이것도 상태변수로 선정 - 상태변수의 1차 도함수와 출력변수를 각각 상태변수 및 시스템의 입력변수로 표현한 상태방정식과 출력방정식, 즉 상태공간모델식 유도

64 예) Newtonian 및 Lagrangian 접근법에 의한 기계시스템의 운동방정식 유도
그림 3.45 질량-스프링-댐퍼 기계시스템 (1) Newtonian 접근법 (2) Lagrangian 접근법 - 기계시스템의 자유물체도 - 일반화된 좌표 선정: - 일반화된 비보존력 계산: - Lagrangian L 계산: 여기서 - Lagrange 방정식 적용 - 힘의 평형식 적용  또는

65 Lagrangian 및 Newtonian 접근법에 의한 원심조속기의 운동방정식 유도
예제 3.9 Lagrangian 및 Newtonian 접근법에 의한 원심조속기의 운동방정식 유도 (1) Lagrangian 접근법 - 일반화된 좌표 선정: - 일반화된 힘 계산: - Lagrangian L 계산 - Lagrange 방정식 적용 그림 3.56 xz 평면에서 원심조속기에 대한 힘 분석 또는

66 - 미끄럼 이음 고리에서의 힘의 평형조건으로부터 스프링 Fs 계산
(2) Newtonian 접근법 그림 3.56 xz 평면에서 원심조속기에 대한 힘 분석 - 시스템의 대칭성 이용 - 미끄럼 이음 고리에서의 힘의 평형조건으로부터 스프링 Fs 계산 (3.206)

67 - 스프링 힘 Fs에 대한 접합조건으로부터 (3.207) - 자유물체도로부터 P에 있는 질량에 작용하는 xz 평면에서의 순수 힘 Fm 계산 (3.208) - 식 (3.177)  질량의 운동량 p - Newton의 제 2법칙 ( ) 적용 (3.209)

68 - 식 (3.208)과 식 (3.209)로부터 (3.210) (3.211) - F1, F2, 그리고 Fs를 소거하면 ※ 복잡한 동적 시스템의 운동방정식을 유도하고자 할 때 일반적으로 Newtonian 접근법 보다는 Lagrangian 접근법을 적용하는 것이 바람직

69 3.5 비선형 시스템의 선형화 선형화 기법 - 선형 시스템 중첩 및 동차성의 원리를 만족함
시스템의 특성을 파악할 때 시스템 입력의 크기를 고려할 필요 없음 - 비선형 시스템 중첩 및 동차성의 원리를 만족하지 않음 시스템 특성이 시스템 입력의 크기에 따라 변함 해석 및 설계기법이 어렵고 사용범위가 제한됨  비선형 시스템에 대해서도 가능하면 선형화하여 조직적인 선형 제어기법 적용 선형화 기법 Taylor 급수를 이용한 선형화 기법 피드백을 이용한 선형화 기법 또는 입출력 선형화 기법 기술함수를 이용한 선형화 기법

70 3.5.1 Taylor 급수를 이용한 선형화 - 입출력 관계에서 미분 불가능한 점이 존재하지 않는 비선형 시스템에 적용
(3.212) 여기서 는 가 의 비선형 함수 - 작동점 근처에서 Taylor 급수 이용 (3.213) - 편차 가 작다고 가정, 여기서 , , 그림 비선형 요소에 대한 입출력 관계

71 작동점 vo근처에서 선형화한 상태방정식을 이용한 전달함수 G(s)=v(s)/f(s) 구하기
예제 3.10 (3.218) - 평형상태에서의 입력 fo (3.219) - 상태변수 v(t)와 입력 f(t)에 작은 섭동(perturbation)을 가했다고 가정 (3.220) - 식 (3.220)으로부터 - 식 (3.220)과 식 (3.221)을 식 (3.218)에 대입 (3.221) 또는 (3.222)

72 - 식 (3.219)를 식 (3.222)에 대입 - 시스템이 작동점 근처에서 운동한다고 가정하면 항은 무시 가능 (3.223) - 초기조건이 0인 가정 아래서 식 (3.223)에 Laplace 변환 수행 여기서 f(s): 입력 f(t)에 대한 Laplace 변환함수 v(s): 출력 v(t)에 대한 Laplace 변환함수 - 선형화된 시스템의 전달함수 G(s)

73 m: 구의 질량, (x, i): 자기력에 의해 발생되는 부상력, x: 구의 부상높이,
예제 3.11 한 개의 전자석이 구 베어링을 부상시키는 구 부상기의 선형화된 모델 유도 그림 3.58 구 부상기의 모델 및 실험적으로 구한 자기부상력 곡선 - Newton의 제 2법칙을 이용한 구에 대한 비선형 운동방정식 유도 여기서 m: 구의 질량, (x, i): 자기력에 의해 발생되는 부상력, x: 구의 부상높이, i: 코일에 흐르는 전류, 그리고 g: 중력가속도상수 m/sec2

74 - 시스템의 상태변수로 구의 부상높이 x 와 구의 부상속도 선정
- 상태방정식 여기서 제어입력 u: 전자석에 흐르는 전류 i - 평형상태에서의 상태벡터 xo=[x1o x2o]T이고, 제어입력 uo일 때의 평형조건식  평형상태에서의 부상속도 x2o= 0, 자기부상력 = mg - 선형화를 위해 상태변수와 제어입력을 평형값(x1o , x2o , u o)과 섭동량( )으로 표시

75 - 선형화된 상태방정식 - 평형상태에서 x2o = 0 , = mg  고정된 x1 = 2.5 mm에서 전류의 변화량에 따른 자기부상력의 변화량 그림 3.58에 표시된 기울기 K(약 13 N/m) - 선형화된 상태방정식 여기서

76 3.5.2 피드백을 이용한 선형화 예제 3.12 유체 탱크 시스템에서 지정된 수위 hd가 유지되도록 하는 적절한 제어입력 u(t) 선정 그림 3.59 유체 탱크 시스템 (가정) 유체 탱크 및 파이프 단면적은 각각 A와 a로 일정 - 유체 탱크 시스템의 동적 모델식 (3.230) 수위 가 작동점 ho 근처에서 작동 시(즉, 섭동량 δh가 충분히 작을 때) Taylor 급수를 이용하여 선형화 가능 (3.231)

77 h(t)의 크기에 상관없이 항상 선형성 유지 - 수위 h의 작동범위가 클 때: 오차 크게 발생  식 (3.231) 사용 곤란
 피드백 선형화 기법 적용 (3.232) 여기서 v(t): 피드백 선형화된 시스템의 등가 제어입력 - 피드백 선형화된 모델식 (3.233) h(t)의 크기에 상관없이 항상 선형성 유지 그림 3.60 피드백 선형화를 이용한 제어시스템의 구조

78 기술함수를 이용한 선형화 - 쿨롱마찰, 백래시, 포화, 사역대(deadzone) 등과 같은 하드 비선형 요소를 포함하는 시스템의 해석 및 설계에 적용할 수 있는 기법 - 사인파입력 기술함수(SIDF: sinusoidal input describing function) 사인파입력을 갖는 하드 비선형 시스템의 입출력 거동 특성, 특히 한계 사이클 해석과 단일입출력 하드 비선형 시스템에 대한 제어기 설계에 유용하게 사용 - 랜덤입력 기술함수(RIDF: random input describing function) 사인파입력뿐만 아니라 랜덤입력을 포함하는 어떤 형태의 입력에 대해서도 사용할 수 있는 일반적인 접근법이지만 단가(single-valued) 비선형 요소에만 적용 가능

79 사인파입력 기술함수(SIDF) 기법의 기본 개념
그림 3.61 비선형 시스템의 사인파 응답에 대한 Fourier 급수 표현 - Fourier 적분계수 an, bn (3.234) (3.235) 그리고 (3.236) (3.237)

80 - SIDF 게인 N 정의: 사인파입력의 크기에 대한 출력의 1차 조화성분의 크기와 위상
(8.238) 시스템의 비선형성에 의해 발생하는 기본 조화성분을 제외한 나머지 조화성분들을 모두 무시하고 단지 기본 조화성분만을 고려하여 근사적으로 표현된 선형화된 시스템 게인

81 표 3.14 대표적인 비선형 요소에 대한 SIDF 게인

82 3.6 MATLAB을 이용한 동적 시스템의 시간역 모델링
예제 3.13 상태공간모델식을 전달함수로 표현하고, 시스템의 극점 구하기 - 전달함수 - G(s)의 극점

83 예제 3.14 다변수 시스템의 상태공간모델식을 전달함수행렬 G(s)로 표현 - 전달함수행렬

84 예제 3.15 전달함수 G(s)를 상태공간모델식으로 표현 - 상태공간모델식 여기서