Second –order RLC filter

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1 Second –order RLC filter
Filter Circuits - 앞에서는 회로를 해석해서 방법을 학습했고, 전달함수를 정할 수 있다. - 16 장에서는 특정한 전달함수를 갖는 회로를 설계하는 방법을 학습할 것이다. - 회로를 설계하는 방법은 유일한 해를 갖는 것이 아니고, 여러 회로를 설계할 수 있다. - 주로 많이 사용하는 전략은 2차 필터를 직렬 연결(cascade connection)한 회로이다. - 특정한 전달함수를 갖는 회로를 설계하는 것을 필터 설계라고 한다. - 16장에서는 필터 설계를 학습하고, 2차 필터 스테이지를 기술한다. - 또한, 특정 전달함수를 갖는 회로를 얻기 위하여 이런 필터스테이지들을 연결하는 방법을 학습한다. Second –order RLC filter Sallen-Key filter

2 Anti-Aliasing Filter - DSP (digital signal processing)은 전압을 샘플링해서 이것을 디지털 신호로 변환시키는 것을 의미한다. - 디지털 신호가 처리된 후 출력 전압은 다시 아날로그 전압으로 변환된다. - 불행히도 디지털 신호 처리 중 에일러싱(aliasing, 위신호(僞信號) (화상의 들쭉날쭉, 흔들림 또는 소리의 고르지 못한 것 등)) 이라 불리는 현상이 에러를 야기한다. - 에일러싱은 입력 전압이 샘플링 주파수의 ½ 보다 큰 주파수에서 성분이 있을 때마다 일어날 수 있다. - 에일러싱은 이런 성분들이 낮은 주파수에서 성분으로 잘못 인식될 때 일어난다. -안티에일러싱(anti-aliasing) 필터는 샘플링 주파수의 ½ 보다 높은 주파수를 갖는 입력 성분을 제거해서 이런 에러를 피하려고 사용된다. - 안티에일러싱 필터는 DSP 응용에 필수적이다. - 필터 설계 사양은 다음과 같다. - 필터는 4차 버터워쓰(Butterworth) 저주파통과 필터이어야 하며, cutoff 주파수가 500 Hz 이고, dc 이득이 1 이어야 한다. - 또한 RC 연산증폭기를 사용한 회로로 구현해야 한다.

3 Electric Filter 년에 전기적인 필터가 George Campbell (미국)과 K. W. Wager (독일)에 의해 각각 발명되었다. – 1920년에 라디오가 증가하면서, 라디오 수신기의 static noise 의 영향을 줄일 필요성이 대두되었다. - 1920년대에 정규 라디오 방송이 개시됨에 따라 Campbell 과 다른 이들은 RLC 필터를 개발했다. 이 필터는 수동소자만으로 구성되었으므로 수동필터(passive filter)라고 불린다. - 1930년대에 수동필터를 설계하는 데 필요한 이론이 S. Darlington, S. Butterworth, E. A. Guillemin 에 의해 발전되었다. - 1930년 Wireless Engineering 에 Butterworth (버트워쓰) low pass filter가 발표되었다. - 능동소자 (대표적인 것이 연산증폭기)가 전기적인 필터에 도입될 때, 이것을 능동필터 (active filter)라고 부른다. - 인덕터는 다른 소자에 비하여 상대적으로 크고 무겁기 때문에 인덕터를 제외하고 연산증폭기, 저항, 캐패시터 만을 이용하여 능동필터를 구성한다. - 첫 능동 RC 필터가 2차세계대전 중에 개발되었고 R. P. Sallen 과 E. L. Key (1955)에 의해 보고되었다.

4 Filters Filter : frequency - selective circuits Input signal Filter
Output signal 원하는 영역 밖 주파수의 입력 신호를 소멸시킨다. 예) Equalizer of audio system Key word - pass band - stop band - frequency response plot - phase angle plot - cut off frequency - passive filters, active filters a) low-pass b) high-pass c) bandpass d) bandreject

5 Denominators of Butterworth Low-Pass Filter
- Butterworth low-pass transfer functions

6 Butterworth LPF – Fourth and Eighth Order
- 고차로 갈수록 이상적인 필터의 주파수 응답을 갖게 되지만, 필터 회로가 복잡하게 된다. - 4차에서 8차로 설계를 하면 성능은 좋아지지만, 부품 수, 소비 전력, 조립 비용, 회로 차지 면적이 두 배가 되는 것을 고려해야 한다. A comparison of the frequency responses of fourth-order and eighth-order Butterworth low-pass filters with c = 1 rad/s.

7 Frequency Scaling - 차단 주파수가 500 rad/s 일 때 3차 버트워쓰 저주파필터를 정하라.
- 차단 주파수가 1 이 아니면 s 대신에 s/wc 를 대신 삽입한다.

8 Second-Order Filters - 2차 필터는 이상적인 필터를 값싸게 구현할 수 있다는 점과 고차 필터의 단위 모듈로서 활용될 수 있다는 점에서 중요하게 다루어진다. A second-order low-pass filter’s transfer function - 2차 필터의 중요한 세 가지 요소: (1) 이득 (gain) : k (2) 모서리 주파수 (corner frequency) : w0 (3) Q 값 (quality factor) : Q A second-order low-pass filter’s network function Frequency responses of second-order low-pass filters with four values of Q (c = 1 rad/s). Q = 이면 버터워쓰 low pass 필터에 해당.

9 Second-Order RLC Filters – Low-Pass Filter

10 Second-Order RLC Filters
High-pass Band-pass Band-stop (notch)

11 Sallen-Key Filters – Low-Pass Filter

12 Sallen-Key Filters – High-Pass Filter

13 Sallen-Key Filters – Band-Pass Filter

14 Sallen-Key Filters – Band-Stop Filter

15 Sallen-Key Filters – Band-Pass Filter :Example
- center frequency : f0 =500 Hz, bandwidth = 100 Hz.

16 Tow-Thomas Band-Pass or Low-Pass Filter
- v1(t) : 저주파통과 필터, v2(t) : 대역통과 필터. The Tow-Thomas filter. Band-pass filter Low-pass filter Band-pass filter Low-pass filter

17 Butterworth Tow-Thomas Low-Pass Filter
- 버터워쓰 토우토마스 저주파통과 필터를 설계하라. dc 이득 : 5, 차단주파수 1,250 Hz. - dc 이득 : 5 - 버터워쓰 저주파통과 필터가 되려면 Q = 이어야 한다. Low-pass filter Band-pass filter Butterworth Tow-Thomas low-pass filter.

18 Butterworth Tow-Thomas High-Pass Filter (I)
- 버터워쓰 토우토마스 고주파통과 필터를 설계하라. dc 이득 : 5, 차단주파수 1,250 Hz. Constant gain High-pass filter Low-pass filter Band-pass filter

19 Butterworth Tow-Thomas High-Pass Filter (II)
- 버터워쓰 저주파통과 필터와 대역 필터로 고주파통과 필터를 구현한다. Constant gain Band-pass filter Low-pass filter High-pass filter Butterworth Tow-Thomas high-pass filter.

20 Butterworth Tow-Thomas High-Pass Filter (III)
2546 R2 9003 R3 12732 R4 R5 R6 W C1 0.01mF C2 U1 OPAMP_3T_VIRTUAL U2 3 2 U3 1 5 V1 1 V 1kHz 0Deg 10 kW R8 50 R9 R10 U4 8 9 6 4 7 0.01mF kW kW 1250 Hz - Multisim simulation.

21 Higher-Order Filters - 고차 필터는 2차 필터를 연이어 연결해서 구성할 수 있다.
A cascade circuit of n stages. - 연이은 연결 (cascade connection)에서는 필터 스테이지의 출력이 다음 필터 스테이지의 입력이 되어야 한다. - 이런 경우 부하 효과 (loading effect)가 일어날 수 있다. - 필터 스테이지를 입력 임피던스, 출력 임피던스, 전달함수로 표현할 수 있다. A model of one filter stage.

22 Cascade Connection of Two Filter Stages
- 전달함수를 구해보자. - Zo2(s) 에는 전류가 흐르지 않는다. - 전달함수 - Zo1(s) = 0,즉, 1차 스테이지의 출력 임피던스가 영이거나 Zi2(s) = ∞ 2차 스테이지의 입력 임피던스가 무한대이면 - 따라서, 출력 전압 V3(s) 는 다음과 같다. - Sallen-Key 필터는 부하효과가 없다. - RLC 필터는 부하효과가 있다.

23 Measuring Parameters of Filter Stage

24 Output Impedance of Sallen-Key Band-Pass Filter

25 Third-Order Butterworth Low-Pass Filter (I)
- 3차 버터워쓰 저주파통과 필터를 설계하라. - 차단주파수= 500 rad/s, 직류이득=1. - 2차 필터와 1차 필터를 연이어 연결하여 구성. Sallen-Key low-pass filter First-order low-pass filter Sallen-Key high-pass filter

26 Third-Order Butterworth Low-Pass Filter (II)
(b) a first-order filter stage (a) A Sallen-Key filter stage (c) a third-order Butterworth low-pass filter

27 Anti-Aliasing Filter (I)
- DSP (digital signal processing)은 전압을 샘플링해서 이것을 디지털 신호로 변환시키는 것을 의미한다. - 디지털 신호가 처리된 후 출력 전압은 다시 아날로그 전압으로 변환된다. - 불행히도 디지털 신호 처리 중 에일러싱(aliasing, 위신호(僞信號) (화상의 들쭉날쭉, 흔들림 또는 소리의 고르지 못한 것 등)) 이라 불리는 현상이 에러를 야기한다. - 에일러싱은 입력 전압이 샘플링 주파수의 ½ 보다 큰 주파수에서 성분이 있을 때마다 일어날 수 있다. - 에일러싱은 이런 성분들이 낮은 주파수에서 성분으로 잘못 인식될 때 일어난다. -안티에일러싱(anti-aliasing) 필터는 샘플링 주파수의 ½ 보다 높은 주파수를 갖는 입력 성분을 제거해서 이런 에러를 피하려고 사용된다. - 안티에일러싱 필터는 DSP 응용에 필수적이다. - 필터 설계 사양은 다음과 같다. - 필터는 4차 버터워쓰(Butterworth) 저주파통과 필터이어야 하며, cutoff 주파수가 500 Hz 이고, dc 이득이 1 이어야 한다. - 또한 RC 연산증폭기를 사용한 회로로 구현해야 한다. - 연산증폭기는 이상적이며, 저항은 2 kW ~ 500 kW, 캐패시터는 1 nF ~ 10 mF 를 사용한다.

28 Anti-Aliasing Filter (II)
- 4차 버터워쓰(Butterworth) 저주파통과 0.1 mF 3183 W 3931 W - C = 0.1 mF 를 선택.

29 Anti-Aliasing Filter (III)
- 4차 버터워쓰(Butterworth) 저주파통과 0.1 mF 3183 W 484 W - C = 0.1 mF 를 선택.

30 Anti-Aliasing Filter (IV)
- 여러 설계가 가능. 20 kW 7.76 kW 10 kW 3.88 kW 2 kW 0.776 kW

31 Anti-Aliasing Filter (V)
- 설계 제약조건 - 저항은 2 kW ~ 500 kW 을 사용. - 표준 저항을 사용. - 연산증폭기 입력단자에서 바라본 저항이 같도록 설계. 20 kW 7.76 kW 0.1 mF 3183 W 3931 W 484 W 저항 추가.

32 Anti-Aliasing Filter (VI)
- 저항은 7.5 kW 사용. - 표준 저항을 사용. 3183 W => 3.3 kW 사용. f0= Hz. 20 kW 7.76 kW 0.1 mF 3183 W 3931 W 484 W 3.3 kW 7.5 kW 15 kW 7.5 kW 12 kW 5.6 kW 51 kW - 연산증폭기 입력단자에서 바라본 저항이 같도록 설계. - 양의 입력단자 : 6.6 kW 저항. - 저항은 2 kW ~ 500 kW 을 사용한다.

33 Anti-Aliasing Filter (VII)
20 kW 7.5 kW 0.1 mF 3.3 kW 12 kW 15 kW 51 kW 5.6 kW Circuit of the anti-aliasing filter. 477 Hz Frequency response of the anti-aliasing filter.

34 Standard Resistors 10 씩 증가하지 않는 이유?
Standard values of commercially available resistors. Boylestad 책 80쪽 표 3.8 Standard values and their tolerances. Boylestad 책 80쪽 표 3.9 10 씩 증가하지 않는 이유? - 회로이론 1의 강의록 2-19 참조