이산수학(Discrete Mathematics)

이산수학(Discrete Mathematics)
논리와 증명 (Logic and Proof) 2015년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

명제의 동치(Propositional Equivalence) 술어와 한정기호(Predicates and Quantifiers)
강의 내용 Logic and Proof 논리(Logic) 명제의 동치(Propositional Equivalence) 술어와 한정기호(Predicates and Quantifiers) 중첩된 한정기호(Nested Quantifiers) 증명 방법(Methods of Proof) 가설(Conjectures)

논리(Logic)란? 논리(logic)란 수학적 표현의 의미를 정확하게 기술할 수 있게 함
논리는 회로 설계, 프로그램 작성, 프로그램 정확성 검증 등에 활용

명제(Proposition) 명제의 정의 명제의 예제 명제가 아닌 예제
Logic 명제의 정의 명제란 참(true, T) 또는 거짓(false, F)을 판정할 수 있는 선언적 문장을 말한다. A proposition (p, q, r, s, …) is a declarative statement that is either true (T) or false (F), but not both. 명제의 예제 1 + 1 = 2. (T) 2 + 2 = 5. (F) Seoul is the capital of Korea. 11213 is prime. 명제가 아닌 예제 Who is there? (not declarative, question) Just do it! (command) x + 2 = 5. (non-constant value, variable)

논리 연산자(Logical Operator) (1/2)
논리 연산자 관련 용어 정의 하나 또는 여러 명제를 조합하여 새로운 수학적 명제를 만들 수 있으며, 이를 복합명제(compound proposition)라 한다. 복합명제를 만들 때 사용하는 연산자를 논리 연산자(logical operator) 혹은 접속사(connective)라 한다. 논리 연산자는 명제 연산자(propositional operator) 혹은 불리언 연산자(Boolean operator)라고도 불리며, 피연산자(operand)로서 명제 혹은 진리 값(truth value)을 취한다. ( 본 강의에서는 이들 용어를 동일한 의미로 혼용하여 사용할 예정임)

논리 연산자(Logical Operator) (2/2)
Boolean Operator의 예 명칭(영어) 명칭(한글) Nickname Arity Symbol Negation operator 부정 연산자 NOT Unary Conjunction operator 논리곱 연산자 AND Binary  Disjunction operator 논리합 연산자 OR  Exclusive-OR operator 배타적OR 연산자 XOR  Implication operator 함축 연산자 IMPLIES  Biconditional operator 상호조건 연산자 IFF ↔

부정 명제의 예제 부정(Negation) (1/2) 부정의 정의
Logic 부정의 정의 p가 명제이면, “It is not the case that p” 역시 명제이며, 이를 p의 부정(negation)이라 하며, ¬p(not p)로 표기한다. The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a proposition into its logical negation. 부정 명제의 예제 명제(p) “I have brown hair.”의 부정 명제(¬p)는 “I do NOT have brown hair.”이다. 명제 “Today is Sunday.”의 부정 명제는 “Today is NOT Sunday.”이다.

Negation operator의 truth table
Logic Negation operator의 truth table p ¬p T F Operand column Result column

논리곱(Conjunction) (1/2) 논리곱의 정의 논리곱 사용의 예제
Logic 논리곱의 정의 p와 q가 명제이면, “p and q”도 명제이며, 이를 p와 q의 논리곱(conjunction)이라 하고, pq라 표기한다. 이 명제는 p, q가 모두 참일 때만 참이 되며, 그 외는 모두 거짓이 된다. The binary conjunction operator “” (AND) combines two propositions to form their logical conjunction. 논리곱 사용의 예제 p = “I will have salad for lunch.”, q = “I will have a steak for dinner.” pq = “I will have salad for lunch and I will have steak for dinner.”

Conjunction operator의 truth table
Logic Conjunction operator의 truth table p q pq T F

논리합(Disjunction) (1/2) 논리합의 정의 논리합 사용의 예제
Logic 논리합의 정의 p와 q가 명제이면, “p or q”도 명제이며, 이를 p와 q의 논리합(disjunction)이라 하고, pq라 표기한다. 이 명제는 p, q가 모두 거짓일 때만 거짓이 되며, 그 외는 모두 참이 된다. The binary disjunction operator “” (OR) combines two propositions to form their logical disjunction. 논리합 사용의 예제 p = “My car has a bad engine.”, q = “My car has a bad carburetor.” pq = “My car has a bad engine, or my car has a bad carburetor.”

Disjunction operator의 truth table
Logic Disjunction operator의 truth table p q pq T F

배타적-OR (Exclusive-OR) (1/2)
Logic 배타적-OR의 정의 p와 q가 명제이면, “p exclusive-or q”도 명제이며, 이를 p와 q의 배타적-OR(exclusive-or)라 하고, pq라 표기한다. 이 명제는 p, q 중 어느 하나만이 참일 때만 참이, 그 외는 모두 거짓이 된다. The binary exclusive-or operator “” (XOR) combines two propositions to form their logical “exclusive or”. 배타적-OR 사용의 예제 p = “I will earn an A in this course.”, q = “I will drop this course.” pq = “I will either earn an A for this course, or I will drop it (but not both!).”

배타적-OR (Exclusive-OR) (2/2)
Logic Exclusive-OR operator의 truth table p q pq T F

함축 (Implication) (1/2) 함축의 정의 함축 사용의 예제
Logic 함축의 정의 p와 q가 명제이면, 함축(implication) “pq”도 명제이며, 이 명제는 p가 참이고 q가 거짓일 경우에만 거짓이 되며, 그 외는 모두 참이 된다. 이때, p를 hypothesis, antecedent라 부르고, q를 conclusion, consequent라 부른다. The implication pq states that p implies q. That is, if p is true, then q is true; but p is not true, then q could be either true or false. 함축 사용의 예제 p = “You study hard.”, q = “You will get a good grade.” pq = “If you study hard, then you will get a good grade.” (else it could go either way)

Implication operator의 truth table
Logic Implication operator의 truth table p q pq T F “pq”를 표현하는 영어 문장 p implies q. If p, then q. p only if q. p is sufficient for q. q is necessary for p.

역(converse), 이(inverse), 대우(contrapositive)
Logic 역, 이, 대우의 정의 역(converse): q  p 이(inverse): ¬p  ¬q 대우(contrapositive): ¬q  ¬p 역, 이, 대우의 예제 명제: “If it is raining, then the home team wins.” 역: “If the home team wins, then it is raining.” 이: “If it is not raining, then the home team does not win.” 대우: “If the home team does not win, then it is not raining.” Converse/Inverse/Contrapositive의 truth table 동치(equivalent) p q ¬p ¬q pq qp ¬p¬q ¬q¬p T F

상호조건명제 (Biconditional) (1/2)
Logic 상호조건명제의 정의 p와 q가 명제이면, “p↔q”를 상호조건명제(biconditional)라 하고, p와 q가 동일한 진리 값을 가질 때 참이 되며, 다른 진리 값을 가지면 거짓이 된다. The biconditional p↔q states that p is true if and only if (IFF) q is true. p↔q  (pq)(qp)  ¬(pq) 상호조건명제의 사용의 예제 p = “You can take the flight.”, q = “You buy a ticket.” p↔q = “You can take the flight if and only if you buy a ticket.”

상호조건명제 (Biconditional) (2/2)
Logic Biconditional operator의 truth table p q p↔q T F “p↔q”를 표현하는 영어 문장 p if and only if q. p is necessary and sufficient for q. q is necessary and sufficient for p.

논리 연산자의 우선순위(Precedence)
Logic 우선 순위 테이블 Operator Precedence 1  2  3  4 ↔ 5 ¬pq는 (¬p)q를 의미하며, ¬(pq)를 의미하지 않는다. pqr은 (pq)r를 의미하며, p(qr)를 의미하지 않는다. 우선 순위를 명확히 하기 위하여 괄호 “()”를 사용

Some Alternative Notations
Logic

Logic and Bit Operations
비트(bit)란 binary digit(이진수)에서 따온 단어임 비트는 1(true)과 0(false)의 값을 가짐 True 혹은 false를 값으로 갖는 변수(variable)를 Boolean variable이라 함 Bit operator(OR, AND, XOR)의 truth table p q pq pq pq 1 Bit operation의 예제 (refer to bitwise.c) bitwise OR bitwise AND bitwise XOR

항진(Tautology)과 부정(Contradiction)
Propositional Equivalence 항진 명제 복합명제를 구성하는 단위명제의 진리 값이 어떠한 값을 가진다 하여도 해당 복합명제가 항시 참이면 이를 항진(tautology) 명제라 한다. A tautology is a compound proposition that is true no matter what the truth values of its atomic propositions are! 예제: p  ¬p 부정 명제 복합명제를 구성하는 단위명제의 진리 값이 어떠한 값을 가진다 하여도 해당 복합명제가 항시 거짓이면 이를 부정(contradiction) 명제라 한다. A contradiction is a compound proposition that is false no matter what the truth values of its atomic propositions are! 예제: p  ¬p 항진도 부정도 아닌 경우 불확정 명제(contingency)라 함 p ¬p p  ¬p p  ¬p T F

논리적 동치(Logical Equivalence) (1/2)
Propositional Equivalence 동치의 정의 만일 p↔q가 항진이면, p와 q는 논리적으로 동치이며, p  q 혹은 pq라 표기한다. Compound proposition p is logically equivalent to compound proposition q, written pq, IFF the compound proposition p↔q is a tautology. Truth Table을 이용한 동치 판정 방법 예제 1: Prove that ¬(pq)  ¬p¬q [De Morgan’s Law]  2개의 단위 명제로 구성된 경우, 4(=22)개의 행이 필요 p q p  q ¬(p  q) ¬p ¬q ¬p  ¬q T F

논리적 동치(Logical Equivalence) (2/2)
Propositional Equivalence Truth Table을 이용한 동치 판정 방법 (계속) 예제 2: Prove that p(qr)  (pq)  (pr) [Distributive Law]  3개의 단위 명제로 구성된 경우, 8(=23)개의 행이 필요 복합명제가 n개의 단위명제로 구성되는 경우, 동치를 증명하기 위해 2n개의 행이 필요  Too much space!, Too expensive!  동치 법칙(Equivalence Laws)을 활용 p q r q  r p  (q  r) p  q p  r (p  q)  (p  r) T F

동치 법칙 (Equivalence Laws) (1/4)
Propositional Equivalence 기본 법칙 동치 종류 법칙 이름 p  T  p, p  F  p Identity laws p  T  T, p  F  F Domination laws p  p  p, p  p  p Idempotent laws ¬(¬p)  p Double negation law p  q  q  p p  q  q  p Commutative laws (교환 법칙) (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) Associative laws (결합 법칙) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Distributive laws (분배 법칙)

Propositional Equivalence 기본 법칙 동치 종류 법칙 이름 ¬(p  q)  ¬p  ¬q ¬(p  q)  ¬p  ¬q De Morgan’s laws p  (p  q)  p p  (p  q)  p Absorption laws (흡수 법칙) (집합의 Venn Diagram으로 생각하면 쉽게 이해됨) p  ¬p  T p  ¬p  F Negation laws

Propositional Equivalence 함축을 포함한 논리적 동치 p  q  ¬p  q p  q  ¬q  ¬p p  q  ¬p  q p  q  ¬(p  ¬q) [try it!] (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r [try it!] (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r

Propositional Equivalence 상호조건을 포함한 논리적 동치 p ↔ q  (p  q)  (q  p) p ↔ q  ¬p ↔ ¬q [try it!] (대우 활용) p ↔ q  (p  q)  (¬p  ¬q)

An Example Problem Prove that ¬(p  (¬p  q))  ¬p  ¬q
Propositional Equivalence Prove that ¬(p  (¬p  q))  ¬p  ¬q ¬(p  (¬p  q))  ¬p  ¬(¬p  q)) De Morgan’s laws  ¬p  (¬(¬p)  ¬q) De Morgan’s laws optional  ¬p  (p  ¬q) Double negation law  (¬p  p)  (¬p  ¬q) Distributive laws  F  (¬p  ¬q) Negation laws  (¬p  ¬q)  F Commutative laws optional  ¬p  ¬q Identity laws

“x is greater than 3.” 술어(Predicate), 명제 함수(Propositional Function)
Predicates and Quantifiers “x is greater than 3.” 변수(variable) = x 술어(predicate) = P 명제 함수 (propositional function) P(x) = “x is greater than 3.” Q(x, y) = “x = y + 3” R(x, y, z) = “x + y = z” 일반적으로 n개의 변수 x1, x2, x3, …, xn을 포함하는 명제 함수는 P(x1, x2, x3, …, xn) 으로 표기한다.

한정기호(Quantifiers) 명제 함수를 명제로 만드는 방법 (1) 변수에 특정 값을 할당하는 방법
Predicates and Quantifiers 명제 함수를 명제로 만드는 방법 1. 변수에 특정 값을 할당하는 방법 2. 한정(quantification)을 적용하는 방법 (1) 변수에 특정 값을 할당하는 방법 P(x) = “x > 3” 만일 x = 4라면 P(x)는 true가 되고, x = 2라면 P(x)는 false가 된다. (2) Quantification을 적용하는 방법 x의 정의역(domain)이 “4 이상인 모든 실수”라면, P(x)는 true가 된다. The collection of values that a variable x can take is called x’s domain or universal of discourse.

Universal Quantifier  (1/3)
Predicates and Quantifiers 정의 P(x)의 Universal Quantifier란 “정의역(domain)에 속하는 모든 값 x에 대하여 P(x)가 참이다.”라는 명제이다. Universal Quantifier의 표기 및 읽기 표기: xP(x) 읽기: “for all x in P(x)” 혹은 “for every x in P(x)”

Predicates and Quantifiers Universal Quantifier의 개념적 이해 Domain의 모든 값을 x1, x2, …, xn으로 나열할 수 있다면, xP(x)는 다음과 동일하다. P(x1)  P(x2)  ....  P(xn) Universal Quantifier의 사용 예 예 1: P(x)가 “x < 2”이고 domain이 모든 실수라 할 때, xP(x)의 진리 값은?  거짓 예 2: Q(x)가 “x2  0”이고 domain이 모든 실수라 할 때, xQ(x)의 진리 값은?  참

Predicates and Quantifiers 반례(counterexample) P(x)가 명제 함수라 할 때, xP(x)가 거짓임을 보이기 위해서는 domain에 속하는 값 중 단지 하나의 값이라도 P(x)를 거짓으로 만드는 예를 보이면 된다. 이와 같이 P(x)를 거짓으로 만드는 예를 반례(counterexample)이라 한다. Counterexample 사용의 예 P(x)가 “x2 > 0”이고 domain이 모든 실수라 할 때, xP(x)의 counterexample은? x = 0이면 x2 = 0이 되어, x2 > 0를 만족하지 않는다. 따라서, xP(x)는 거짓이 되고, 이때 x = 0을 counterexample이라 한다.

Existential Quantifier  (1/2)
Predicates and Quantifiers 정의 P(x)의 Existential Quantifier란 “Domain에 속하는 적어도 하나의 값 x에 대하여 P(x)가 참이다.”라는 명제이다. Existential Quantifier의 표기 및 읽기 표기: xP(x) 읽기: “for some x in P(x)” 혹은 “there is an x such that P(x)”

Existential Quantifier  (2/2)
Predicates and Quantifiers Existential Quantifier의 개념적 이해 Domain의 모든 값을 x1, x2, …, xn으로 나열할 수 있다면, xP(x)는 다음과 동일하다. P(x1)  P(x2)  ....  P(xn) Existential Quantifier의 사용 예 예 1: P(x)가 “x > 3”이고 domain이 모든 실수라 할 때, xP(x)의 진리 값은?  참 예 2: Q(x)가 “x = x+1”이고 domain이 모든 실수라 할 때, xQ(x)의 진리 값은?  거짓

Quantifier 개념 요약 Statement When true? When false? xP(x)
Predicates and Quantifiers Statement When true? When false? xP(x) P(x) is true for every x. There is an x for which P(x) is false. xP(x) There is an x for which P(x) is true. P(x) is false for every x.

x(P(x)Q(x))  xR(x)
Binding Variables Predicates and Quantifiers Binding Variables vs. Free Variables 변수 x에 quantifier가 적용되거나 특정 값이 할당되면, x를 binding variable이라 한다. 변수 x에 quantifier가 적용되지 않거나 특정 값이 할당되지 않았으면, x를 free variable이라 한다. Quantifier가 적용되는 부분을 quantifier의 범위(scope)라 한다. binding variable xP(x, y) free variable x(P(x)Q(x))  xR(x) scope of x scope of x

Negation with Quantifiers (1/2)
Predicates and Quantifiers Negation 예제 x = student, P(x) = “x in the class has taken a course in calculus.” xP(x) = “Every student in the class has taken a course in calculus.” ¬xP(x) = “It is not the case that every student in the class has taken a course in calculus.” = “There is a student in the class who has not taken a course in calculus.” = x¬P(x)

Negation with Quantifiers (2/2)
Predicates and Quantifiers Negation 관련 법칙 Negation 관련 예제 x(x2 > x)의 부정  ¬x(x2 > x)  x¬(x2 > x)  x(x2  x) x(x2 = 2)의 부정  ¬x(x2 = 2)  x¬(x2 = 2)  x(x2  2) ¬xP(x)  x¬P(x) ¬xP(x)  x¬P(x)

Nested Quantifiers  Statements (1/3)
Variable x와 y의 domain이 실수(all real numbers)라 했을 때, xy(x + y = y + x)를 번역하면, “For every real number x and for every real number y, x + y = y + x.”이고, 이는 실수의 덧셈에 있어서 교환법칙을 의미한다. xy(x + y = 0)를 번역하면, “For every real number x, there is a real number y such that x + y = 0.” (항등원과 역원을 의미한다.) xyz(x + (y + z) = (x + y) + z)를 번역하면, “For every real number x, for every real number y, and for every real number z, x + (y + z) = (x + y) + z.”이고, 이는 실수의 덧셈에 있어서 결합법칙을 나타낸다.

예제 Variable의 domain이 모두 실수일 때, 다음을 번역하라. xy((x > 0)  (y < 0)  (xy < 0)) 풀이: “For every real number x and for every real number y, if x > 0 and y < 0, then xy < 0.”

예제 C(x) = “x has a computer.”, F(x, y) = “x and y are friends.”이고, x와 y의 domain이 “all students in your school.”일 때, 다음을 번역하라. x(C(x)  y((C(y)  F(x, y))) 풀이: “For every student x in your school, x has a computer, or there is a student y (in your school) such that y has a computer and x and y are friends.”

Statements  Nested Quantifiers (1/2)
예제 “If a person is female and is a parent, this person is someone’s mother.”를 predicate, domain = “all people”인 quantifier, logic operator로 표현하라. 풀이 상기 문장은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. “For every person x, if person x is female and person x is a parent, then there exists a person y such that person x is the mother of person y.” 명제 함수로 표현: F(x) = “x is female.” P(x) = “x is a parent.” M(x, y) = “x is the mother of y.” 상기 명제 함수를 사용하여 표현하면 다음과 같다. x((F(x)  P(x))  yM(x, y))

Statements  Nested Quantifiers (2/2)
예제 “Everyone has exactly one best friend.”를 predicate, domain = “all people”인 quantifier, logic operator로 표현하라. 풀이 상기 문장은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. “For every person x, person x has exactly one best friend.” = “x(person x has exactly one best friend)” 명제 함수로 표현: B(x, y) = “y is the best friend of x.” “person x has exactly one best friend.”를 명제 함수를 사용하여 표현: y(B(x, y)  z((z  y)  ¬B(x, z)))  상기 명제 함수를 사용하여 표현하면 다음과 같다. xy(B(x, y)  z((z  y)  ¬B(x, z)))

Negating Nested Quantifiers
예제 다음 식의 부정을 표현하라. xy(xy = 1) 풀이 Negation of xy(xy = 1) “모든 x에 대해서 xy = 1을 만족하는 y가 존재한다.” T or F?  ¬(xy(xy = 1))  ¬xy(xy = 1)  x¬y(xy = 1)  xy¬(xy = 1) xy(xy  1) “어떤 x에 대해서 모든 y가 xy  1을 만족하는 x가 존재한다.” T or F? (x = 0) x와 y의 domain에 따라서 진리 값이 달라질 수 있다.

Order of Quantifiers (1/3)
Nested Quantifiers 예제 술어 P(x, y) = “x+y = y+x”이고 x와 y의 domain이 실수일 때, xyP(x, y)의 진리 값은? 그리고, yxP(x, y)의 진리 값은? 풀이 모든 실수에 대하여 덧셈의 교환법칙이 성립하므로, xyP(x, y)의 진리 값은 true이다. 마찬가지로, yxP(x, y)의 진리 값 역시 참이다. xy와 yx에 있어서, x와 y의 순서는 진리 값에 영향을 주지 않는다.

Nested Quantifiers 예제 술어 Q(x, y) = “x + y = 0”이고 x와 y의 domain이 실수일 때, yxQ(x, y)와xyQ(x, y)의 진리 값은? 풀이 yxQ(x, y): 어떤 y에 대해 모든 x가 “x + y = 0”을 만족하는 y가 존재한다.  false (모든 x에 대해 x + y = 0를 만족하는 그러한 y는 없다.) 만일 Q(x,y) = “xy = 0” 이라면? xyQ(x, y): 모든 x에 대해 “x + y = 0”을 만족하는 y가 존재한다.  true  yx와 xy에 있어서, x와 y의 순서는 진리 값에 영향을 준다.

Nested Quantifiers 변수가 두 개인 경우의 Quantifier 순서의 영향 Statement When true? xyP(x, y) yxP(x, y) P(x, y) is true for every pair x and y. xyP(x, y) For every x, there is a y for which P(x, y) is true. xyP(x, y) There is an x for which P(x, y) is true for every y. xyP(x, y) yxP(x, y) There is a pair x and y for which P(x, y) is true. 모든 x에 대해서 적어도 P(x, y)를 true로 하는 y가 존재하면, 해당 식은 true가 된다. 어떤 x에 대해 모든 y가 P(x, y)를 true로 하면, 해당 식은 true가 된다.

유용한 Equivalence Laws xP(x)  ¬x¬P(x) xP(x)  ¬x¬P(x)
Nested Quantifiers xP(x)  ¬x¬P(x) xP(x)  ¬x¬P(x) 상기 두 표현 식은 노트03에서 소개한 Quantifier 정의를 이용해 증명이 가능하다.(try it!) (Remind) Quantifier의 정의: xP(x)  P(x1)  P(x2)  ....  P(xn) xP(x)  P(x1)  P(x2)  ....  P(xn) x(P(x)  Q(x))  (xP(x))  (xQ(x)) x(P(x)  Q(x))  (xP(x))  (xQ(x)) 상기 표현 식 역시 Quantifier 정의를 이용해 증명이 가능하다.(try it!)

증명의 중요성 수학에서 증명이란 증명에서의 기본적 사항
Methods of Proof 수학에서 증명이란 수학적 문장의 진실성을 정밀하고 부정할 수 없도록 설명하는 정확(correct)하고 완전(complete)한 기술이다. A correct (well-reasoned, logically valid) and complete (clear, detailed) argument that rigorously and undeniably establishes the truth of a mathematical statement 증명에서의 기본적 사항 정확성: Correctness prevents us from fooling ourselves. 완전성: Completeness allows anyone to verify the result.

증명의 응용 분야 학문의 많은 분야에서, 논리적이고 정확한 의사 교환(clear communication)을 위해 사용한다.
Methods of Proof 학문의 많은 분야에서, 논리적이고 정확한 의사 교환(clear communication)을 위해 사용한다. 수학 분야의 기본적인 행동(연구)은 흥미롭고 밝혀지지 않은 많은 정리(theorem)를 증명을 통해 발견하는 것이다. 정리의 증명은 프로그램 검증(program verification), 컴퓨터 보안, 자동화된 추론 시스템(automated reasoning system) 등에서 사용된다. . . .

추론 규칙(rules of inference)
용어(Terminology) (1/3) Methods of Proof 정리(theorem) 정리란 참(true)으로 밝혀진 명제이다. A statement that has been proven to be true. 공리(axiom, postulates) 증명된 정리 혹은 증명하고자 하는 정리의 가정/명제이다. (증명이 불필요한) Assumptions (often unproven) defining the structures about which we are reasoning. (예: n이 짝수라면 n = 2k라 나타낼 수 있다.) 추론 규칙(rules of inference) 논리적으로 유효한 주장(logically valid deductions)을 사용하여, 가정을 결론으로 이끌어가는 증명의 과정이다. Patterns of logically valid deductions from hypotheses to conclusions.

용어(Terminology) (2/3) 보조정리(lemma) 따름정리(corollary)
Methods of Proof 보조정리(lemma) 다른 정리를 증명하는데 사용하는 간단한 정리이다. A minor theorem used as a stepping-stone to proving a major theorem. “복잡한 내용이 정리이고, 간단한 내용이 보조정리”를 의미하는 것은 아님에 유의! 따름정리(corollary) 어떤 정리가 증명되면, 이에 의하여 자연스럽게 증명되는 정리이다. A minor theorem proved as an easy consequence of a major theorem.

용어(Terminology) (3/3) 가설(conjecture) 이론(theory)
Methods of Proof 가설(conjecture) 증명되지는 않았지만 참으로 믿어지는 명제이다. A statement whose truth values has not been proven. (A conjecture may be widely believed to be true, regardless.) 이론(theory) 주어진 공리(axiom)로부터 증명이 가능한 모든 정리(theorem)의 집합이다. The set of all theorems that can be proven from a given set of axioms.

추론 규칙 (Inference Rules) (1/2)
Methods of Proof 추론 규칙의 의미 주어진 가정(antecedent)이 참(true)일 때, 결론(consequent)이 참이라는 패턴 “x = 3”(= p)이면, “x + 1 = 4”(= q)이다. 상기 예에서 p(가정)가 참이면, q(결론)은 참이 된다. 추론 규칙의 표기 antecedent 1 antecedent 2 … 가정  consequent 결론 “”은 “therefore”를 의미한다.

추론 규칙 (Inference Rules) (2/2)
Methods of Proof 각 추론 규칙은 “항진 명제인 함축(implication)”에 해당한다. ant.1 ant.2 …  con. 에 해당하는 tautology는 “((ant.1  ant.2  … )  con.”이다.

추론 규칙 예제 (1/2) Methods of Proof 예제 “It is below freezing now. Therefore, it is either below freezing or raining now.”가 참인 것은 어떤 추론 규칙에 근거하는가? 풀이 p = “It is below freezing now.”, q = “It is raining now.” 주어진 문장은 다음과 같은 추론 규칙에 근거하며, 이를 addition rule이라 한다. p  p  q

Hypothetical syllogism
추론 규칙 예제 (2/2) Methods of Proof 예제 “If it rains today, then we will not have a barbecue today. If we do not have a barbecue today, then we will have a barbecue tomorrow. Therefore, if it rains today, then we will have a barbecue tomorrow.”의 추론 근거는? 풀이 p = “It is raining today.” q = “We will not have a barbecue today” r = “We will have a barbecue tomorrow.” p  q q  r  p  r Hypothetical syllogism (삼단논법)

추론 규칙 종류 (1/2) p  p  q p  (p  q) Addition p  q  p (p  q)  p
Methods of Proof Rule of inference Tautology Name p  p  q p  (p  q) Addition p  q  p (p  q)  p Simplification q  p  q ((p)  (q))  (p  q) Conjunction p  q  q (p  (p  q))  q Modus ponens (긍정 논법) (the mode of affirming) ¬q  ¬p (¬q  (p  q))  ¬p Modus tollens (부정 논법) (the mode of denying) p  q가 true이면, 당연히 p와 q 모두 true이다. p가 true인 상태에서 p  q가 true이면, 당연히 q는 true이다.

추론 규칙 종류 (2/2) p  q q  r  p  r ((p  q)  (q  r))  (p  r)
Methods of Proof Rule of inference Tautology Name p  q q  r  p  r ((p  q)  (q  r))  (p  r) Hypothetical syllogism (삼단 논법) p  q ¬p  q ((p  q)  ¬p)  q Disjunctive syllogism ¬p  r  q  r ((p  q)  (¬p  r))  (q  r) Resolution (분해) p가 false이고 p  q이 true이면, 당연히 q는 true이다.

Formal Proofs (1/2) Formal Proof의 정의
Methods of Proof Formal Proof의 정의 Formal proof란 주어진 가정(antecedent)에 기반하여 추론 규칙을 적용한 일련의 단계(step)를 거쳐서 결론(consequent)을 도출하는 과정이다. A formal proof of a conclusion C, given antecedents p1, p2, …, pn consists of a sequence of steps, each of which applies some inference rule to antecedents or to previously proven statements to yield a new true statement (the consequent). 증명(proof)은 주어진 모든 가정이 true일 때 결론이 true임을 보이는 과정이다. A proof demonstrates that if the antecedents are true, then the conclusion is true.

Formal Proofs (2/2) Methods of Proof 예제 다음 가정이 “We will be home by sunset.”이라는 결론을 도출함을 보여라. “It is not sunny this afternoon and it is colder than yesterday.” “We will go swimming only if it is sunny.” ( If we will go swimming, then it is sunny this …) “If we do not go swimming, then we will take a canoe trip.” “If we take a canoe trip, then we will be home by sunset.” 풀이 p = “It is sunny this afternoon.” q = “It is colder than yesterday.” r = “We will go swimming.” s = “We will take a canoe trip.” t = “We will be home by sunset.” 단계 과정 이유 1 ¬p  q 가정 2 ¬p 단계 1의 simplification 3 r  p 4 ¬r 단계 2, 3 기반의 Modus tollens 5 ¬r  s 6 s 단계 4, 5 기반의 Modus ponens 7 s  t 8 t 단계 6, 7 기반의 Modus ponens p p  q q Modus ponens ¬q  ¬p Modus tollens

Inference Rules for Quantifiers (1/3)
Methods of Proof Quantifier를 포함하는 추론 규칙 Universal instantiation xP(x)가 주어졌을 때, xP(x)이 true라면, domain에 속하는 임의의 값(요소) c에 대해서 P(c)가 true임을 보이는데 사용되는 추론 규칙이다. Universal generalization xP(x)가 주어졌을 때, domain에 속하는 모든 값(요소) c에 대해서 P(c)가 true이면, xP(x)가 true임을 보일 때 사용되는 추론 규칙이다. Existential instantiation xP(x)가 주어졌을 때, xP(x)가 true라면, domain안에 P(c)를 true로 하는 값(요소) c가 적어도 하나 이상 있다는 것을 나타내는 추론 규칙이다. Existential generalization xP(x)가 주어졌을 때, 특정 값(요소) c에 대해서 P(c)가 true이면, xP(x)이 true라는 추론 규칙이다.

Methods of Proof Quantifier 사용 명제의 추론 규칙 정리 Rule of inference Tautology Name xP(x)  P(c) xP(x)  P(c) Universal instantiation P(c) for an arbitrary c P(c) for an arbitrary c  xP(x) Universal generalization xP(x)  P(c) for some c xP(x)  P(c) for some c Existential instantiation P(c) for some c P(c) for an some c  xP(x) Existential generalization

Methods of Proof 예제 다음 가정이 “Maria has taken a course in computer science.”이라는 결론을 도출함을 보여라. “Everyone in this discrete mathematics class has taken a course in computer science.” “Maria is a student in this class.” 풀이 D(x) = “x is in this discrete mathematics class.” C(x) = “x has taken a course in computer science.” 가정: x(D(x)  C(x)), D(Maria) 결론: C(Maria) 추론 과정 단계 과정 이유 1 x(D(x)  C(x)) 가정 2 D(Maria)  C(Maria) 단계 1의 universal instantiation 3 D(Maria) 4 C(Maria) 단계 2, 3 기반의 Modus ponens

Summary of Proof Methods
Methods of Proof 함축(implication) p  q의 증명을 위하여, 다음 방법들을 사용한다. Direct proof: Assume p is true, and prove q. Indirect proof: Assume ¬q, and prove ¬p. (대우의 증명에 해당) Vacuous proof: Prove ¬p by itself. (가정이 false임을 증명하면, pq는 true) Trivial proof: Prove q by itself. (결론이 항시 true임을 증명) Proof by cases: To prove (p1  p2  ....  pn)  q, prove ((p1  q)  (p2  q)  ....  (pn  q))

Direct Proof (직접 증명) Methods of Proof Implication p  q의 증명을 위하여, p가 true라 가정하고 여러 규칙과 기존에 true로 증명된 정리를 사용하여 q가 true임을 증명한다. 예제 Definition: An integer n is called odd iff n=2k+1 for some integer k; n is even iff n=2k for some k. Axiom: Every integer is either odd or even. Theorem: (For all numbers n) If n is an odd integer, then n2 is an odd integer. Proof: If n is odd, then n = 2k+1 for some integer k. Thus, n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Therefore, n2 is of the form 2j + 1 (with j the integer 2k2 + 2k), thus n2 is odd. □

Indirect Proof (간접 증명) Implication p  q 대신 이의 대우인 ¬q  ¬p를 증명한다. 예제
Methods of Proof Implication p  q 대신 이의 대우인 ¬q  ¬p를 증명한다. 예제 Theorem: (For all integers n) If 3n+2 is odd, then n is odd. Proof: Suppose that the conclusion is false, i.e., n is even. Then n=2k for some integer k. Then 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k+2 = 2(3k+1). Thus 3n+2 is even, because it equals 2j for integer j = 3k+1. So 3n+2 is not odd. We have shown that ¬(n is odd)→¬(3n+2 is odd), thus its contra-positive (3n+2 is odd) → (n is odd) is also true. □

Vacuous Proof (무의미한 증명)
Methods of Proof 가정(p)이 false임을 보임으로서, p  q가 true임을 증명한다. 예제 Theorem: (For all n) If n is both odd and even, then n2 = n + n. Proof: The statement “n is both odd and even” is obviously false since no number can be both odd and even. So, the theorem is vacuously true. □

Trivial Proof (자명한 증명) Methods of Proof Implication p  q에서, 결론(q)이 trivial하게 true임을 증명한다. 예제 Theorem: (For integers n) If n is the sum of two prime numbers, then either n is odd or n is even. Proof: Any integer n is either odd or even. So the conclusion of the implication is true regardless of the truth of the antecedent. Thus the implication is true trivially. □

Proof by Contradiction (모순에 의한 증명) (1/2)
Methods of Proof 증명 방법 A method for proving p. (p를 증명하고자 하는 방법이다.) Assume ¬p, and prove some proposition q is contradiction (i.e., q is always false.) (p를 부정하면 항시 거짓이 되는 명제가 있음을 보인다. 즉, ¬pF을 보인다.) Then, ¬pF, which is only true if ¬p=F (¬pF이 참이 되기 위해서는 ¬p가 거짓이어야 한다.) Thus, p is true. (따라서, p는 참이 된다.) 주어진 가정(p)을 부정(false)했을 때 항상 false가 되는 명제 q가 있음을 보이면, p의 가정이 잘못되었으므로 p는 true가 된다. (가정을 부정했을 때, 결론이 항시 거짓이 되면, “가정을 부정”한 것이 잘못된 것이다. 따라서, 가정은 참이다.) * 타임 머신의 예: “우리는 과거로 돌아갈 수 없다.” 왜? 내가 과거로 돌아갈 수 있다 하자. 만일 과거로 돌아가서, 내 부모님이 만나지 못하게 한다면 … 지금의 나는?

Proof by Contradiction (모순에 의한 증명) (2/2)
Methods of Proof 개념적인 다른 예제: n이 정수라 할 때, 2n은 짝수이다. 만일, 2n이 홀수라 하자. 그러면, 2n = 2k+1인 정수 k가 존재한다. 그러면, k = (2n – 1)/2가 되는데, 이는 정수가 아니다. 따라서, 2n은 홀수가 아니고, 이는 가정(2n이 홀수)이 잘못되었음을 의미한다. 따라서, 2n은 짝수이다.

Proof by Cases (사례에 의한 증명) (1/2)
Methods of Proof 가정이 논리합으로 구성된 (p1  p2  ....  pn)  q 형태를 증명하기 위하여, 다음과 같은 tautology를 사용한다 (p1  p2  ....  pn)  q  ((p1  q)  (p2  q)  ....  (pn  q)) 즉, 각각의 (pi  q)를 증명함으로써 전체를 증명하는 방법이다.

Proof by Cases (사례에 의한 증명) (2/2)
Methods of Proof 예제 Theorem: |xy| = |x||y|, where x and y are real numbers. (|x| = x if x  0, |x| = -x if x < 0) Proof: p = x and y are real numbers, q = |xy| = |x||y| p = {x  0, y  0}  {x  0, y < 0}  {x < 0, y  0}  {x < 0, y < 0} {x  0, y  0}  q: |xy| = xy = |x||y| {x  0, y < 0}  q: |xy| = -xy = x(-y) = |x||y| … All the possible cases are proven to true, and thus, the theorem is proven.□

Proof of Equivalence (동치 증명)
Methods of Proof 상호조건 p ↔ q(“p if and only if q”)을 증명하기 위해서는 다음과 같은 tautology를 사용한다. (p ↔ q)  ((p  q)  (q  p)) 즉, (p  q)를 증명하고 (q  p)를 증명함으로써, (p ↔ q)를 증명한다.

Existence Proof (존재 증명) (1/2)
Methods of Proof 증명하고자 하는 문장에 xP(x) 형태의 quantifier/predicate가 포함된 경우를 존재 증명(existence proof)이라 한다. If the proof of a statement of the form xP(x) is called an existence proof.

Existence Proof (존재 증명) (2/2)
Methods of Proof 예제 Theorem: There exists a positive integer n that is the sum of two perfect cubes in two different ways. (두 수의 세제곱의 합을 두 가지 방법으로 나타낼 수 있는 정수가 존재한다.) (In other words, there exists a positive integer n such that n = j3 + k3 = l3 + m3, where j, k, l, and m are positive integers, and {j, k}  {l, m}.) Proof: Consider n = 1729, j = 9, k = 10, l = 1, m = 12. Now just check that the equalities hold. □

Uniqueness Proof (유일성 증명)
Methods of Proof 유일하게 하나의 값(요소)만이 주어진 특성을 만족하는 경우를 유일성이라 하고, 이의 증명을 유일성 증명(uniqueness proof)이라 한다. 유일성의 증명 과정 존재 : x가 주어진 특성을 가짐을 보인다. 유일성 : 만일 y  x이면, y는 주어진 특성을 갖지 않음을 보인다. “P(x)를 만족하는 x가 유일하게 하나 존재함을 증명하는 과정은 다음 표현을 증명하는 것과 동일하다. ( 가장 절친한 친구는 오직 한 명이다.) x(P(x)  y(y  x  ¬P(y)))

Mistakes in Proofs 예제 (mistakes in proof) Theorem: Prove 1 = 2. Proof:
Methods of Proof 예제 (mistakes in proof) Theorem: Prove 1 = 2. Proof: Let a and b be the same positive integers. a = b [주어진 정의] a2 = ab [양변에 a를 곱함] a2 - b2 = ab - b2 [양변에서 b2를 뺌] (a – b)(a + b) = b(a – b) [인수분해] a + b = b [양변을 (a-b)로 나눔] 2b = b [since a = b] 2 = 1. [양변을 b로 나눔] What is wrong?  (a – b) is zero since a = b, and thus, we cannot use (a – b) as a divisor.

가설과 증명 (Conjecture & Proof)
Conjectures 가설의 형식화 가능한 많은 형태의 증거에 기초하여 가설을 형식화한다. 기존 정리나 명제를 사용하여 원하는 가설을 만들어내거나, 직관이나 결과가 성립한다는 믿음에 기초하여 가설을 만들어 낸다. 가설의 증명 가설이 형식화되면 목표는 이를 증명하는 것이다. 증명하게 되면, 가설은 정리가 된다. 증명하지 못하면, 가설은 결국 가설로 남게 된다. 예제 가설: a > 2이고 n이 양의 정수이면, an − 1은 합성수이다. (예: 32 − 1 = 8 = 23) (누군가가 직관(뛰어난 통찰력)을 사용하여 이런 가설을 생각했다 하자.) 증명: an − 1 = (a − 1)(an-1 + … + a + 1) 1 < (a − 1) < an − 1이므로, a − 1은 an − 1의 인수이고, 결국 an − 1은 합성수이다.  결과적으로, 상기 가설은 정리가 된다.

가설과 반례 (Conjecture & Conterexample)
Conjectures 가설에 대한 반례 그럴듯한 가설을 제시하였는데, 이의 증명이 어려운 경우, 반례를 생각하게 된다. 반례를 들 수 있으면, 그 가설은 false가 되어 정리가 되지 못한다. 예제 (Leonhard Euler) 가설: n  3인 모든 정수 n에 대해서, n − 1개의 양의 정수들의 n 제곱의 합은 어떤 수의 n제곱이 될 수 없다. (예: n = 3, a3 + b3을 만족하는 c3은 없다.) 반례 1(n = 4): 95, , ,5604 = 422,4814 (1988, Noam Elkies) 반례 2(n = 5): = 1445 (1966, Lander & Parkin) 나머지는 밝혀진 반례가 없다. 그렇다면, 다른 경우(예: n  6)에 대해서는 가설이 혹시 참이 아닐까?

유명한 가설들 (1/2) 페르마(Fermat)의 마지막 정리 방정식
Conjectures 페르마(Fermat)의 마지막 정리 방정식 가설: xn + yn = zn은 n > 2인 정수일 때, xyz  0인 x, y, z에 대해 해를 갖지 않는다. n = 3인 경우에 대해서는 Euler에 의해 증명됨 n = 4인 경우에 대해서는 Fermat에 의해 증명됨 나머지에 대해서는 타원 곡선 이론이라는 매우 복잡한 정수론 분야에 의해서 1990년대에 Andrew Wiles에 의해 비로소 증명됨 (350년 만에 증명됨) 비로소, 페르마의 마지막 방정식은 가설에서 정리가 되었다.

유명한 가설들 (2/2) 골드바흐(Christian Goldbach) 가설: n > 2인 짝수 n은 두 소수의 합이다.
Conjectures 골드바흐(Christian Goldbach) 가설: n > 2인 짝수 n은 두 소수의 합이다. 예: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 7 + 3, 12 = 7 + 5, … 컴퓨터 이전: 백만 단위까지 증명 (by hand) 컴퓨터 이후: 4∙1014까지 증명(2002년 중반) 아직(?) 증명되지는 않았으나 대부분 수학자는 true라 믿고 있음 유사 가설: n > 2인 짝수 n은 적어도 6개의 소수의 합으로 표현됨 (1995, Ramare 증명)

The Halting Problem (정지 문제) (1/2) - skip
Conjectures Alan Turing discovered in the 1930’s that there are problems unsolvable by any algorithm. (튜링은 “어떠한 알고리즘으로도 풀 수 없는 문제가 있음”을 밝혔다.) The desired function is H(P,I) = the truth value of the statement “Program P, given input I, eventually halts”. (H(P,I) = “프로그램 P와 P의 입력 I가 주어졌을 때, 이 프로그램 P가 정지하는지”의 여부를 판단하는 함수) 튜링은 이러한 함수 H(P,I)가 존재하지 않음을 증명하였다. Implies general impossibility of predictive analysis of arbitrary computer programs. (임의의 프로그램에 대한 예측 분석이 일반적으로 불가능함을 의미한다.)

The Halting Problem (정지 문제) (2/2) - skip
Conjectures 정지 문제의 증명 (by contradiction) H(P,I) = 주어진 Program P와 입력 I에 대해서, 만일 P가 정지하면 “정지”를 출력하고, 그렇지 않으면(만일 P가 무한루프이면) “무한루프”를 출력한다. K(P) = 주어진 Program P에 대해서 H(P,P)가 “정지”를 출력하면, 무한루프를 수행하고, H(P,P)가 “무한루프”를 출력하면, 정지한다. H(K,K) = (H(P,I)의 입력으로 P = K와 I = K를 주는 경우) H(K,K)가 “정지”를 출력하면, K(K)는 무한루프를 수행한다.  모순!  H()는 출력으로 Program K가 정지한다고 하였는데, 실제 K는 무한루프를 수행하므로 모순이다. H(K,K)가 “무한루프”를 출력하면, K(K)는 정지한다.  모순!  H()는 출력으로 Program K가 무한루프를 수행한다 하였는데, 실제 K는 정지하므로 모순이다. 결국, 정지 문제를 해결하는 H(P,I)는 존재하지 않는다!

Homework #1 Logic and Proof

이산수학(Discrete Mathematics)

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