Maximum Power Transfer

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1 Maximum Power Transfer
- 전원과 부하 사이에 matching network을 삽입해서 부하에 가능한 한 많은 power를 전달하게 한다. - Maximum power transfer의 중요한 응용 예는 cellular phone의 연결이나 wireless radio transmitter에서 cell’s antenna로의 power transfer이다. - 예를 들면, 실제 cellular telephone antenna의 input impedance는 10+j 6.28 W 이 다. - 부하에 maximum power가 전달되도록 network을 설계하라. Design the matching network to transfer maximum power to the load where the load is the model of an antenna of a wireless communication system.

2 Sinusoidal Steady-State Power Calculations
Instantaneous power v i -i -v t + – Average power

3 Power for Purely Resistive Circuits
Current is in the same phase of voltage 전류 전압 p(t) p(t)는 instantaneous real power 이고, real power란 전기적인 파워로부터 다른 형태의 파워로 바꿀 수 있는 파워이다. 순수 저항 회로라면 전기적 에너지가 열 에너지로 변환되고, 회로 내부에 에너지를 저장할 수 없으므로 instantaneous real power는 음이 되는 경우는 없다.

4 Power for Purely Inductive Circuits
전류 전압 p(t) Current lags voltage by 90º 따라서 Average power는 영이므로 에너지의 변환은 없다. Instantaneous power는 reactive power이고 회로에서 부하와 전원사이를 오간다. p > 0 이면 전원  부하. p < 0 이면 전원  부하.

5 Power for Purely Capacitive Circuits
전류 전압 Current leads voltage by 90º 따라서 Average power는 영이므로 에너지의 변환은 없다. Instantaneous power는 reactive power이고 회로에서 부하와 전원사이를 오간다. p > 0 이면 전원  부하. p < 0 이면 전원  부하.

6 Reactive Power (I) Instantaneous power
(1) 단위 P : Watt, Q : VAR (Volt-Amp Reactive) (2) 전류를 기준으로 하면 Inductor는 이므로 Q > 0 이때 Inductor는 magnetizing vars를 흡수한다고 한다. Capacitor는 이므로 Q < 0 이때 Capacitor는 magnetizing vars를 전달한다고 한다.

7 Reactive Power (II) Instantaneous power (3) power factor
reactive factor power factor 값을 알 경우 reactive factor 의 값을 알 수 있어도 부호를 결정할 수 없다. lagging power factor 라 하면 inductive 이므로 Q 는 양이고, leading power factor 라 하면 capacitive 이므로 Q 는 음이 된다.

8 RMS Value + Vm – R Rms value는 dc 와의 비교값. 저항회로에 정현파 전압의 가해질 때 전달되는 파워.
즉, 전압을 Vrms로 나타내면 Vdc일 때 전달되는 에너지와 비교할 수 있다. Vrms = 100 V 이면 Vdc = 100 V 일 때 전달되는 에너지와 같다. 정현파 120 V W 전등에서 저항은 전류는 이다. 전류의 진폭은 이다.

9 Phasor voltage and circuit
Power Calculations 파워를 복소수로 나타낼 수 있다. S 를 정리하면 + – Circuit Phasor voltage and circuit 따라서,

10 Alternate Forms for Complex Power
Z를 사용해서 S를 표현하자. 이므로 따라서, 또한 이므로 + – Z

11 Maximum Power Transfer
Sinusoidal steady state 회로에서 최대 average power를 전달하려면 즉 부하 임피던스는 전원의 (테브난) 임피던스의 complex conjugate가 되어야 최대 전력이 전달된다.

12 Self and Mutual Inductance
Lij ≡ xj xi ii λi + _ λj ij ij (이때 ij외의 전류는 영) Lij에서 i = j 이면 self inductance, i ≠ j 이면 mutual inductance 이다. 즉, self inductance는 자기 코일의 전류에 의해 발생하는 쇄교 자속에 의한 것이고, mutual inductance는 남의 코일의 전류에 의해 발생하는 쇄교 자속에 의한 것이다. 코일이 두개라면 L11 , L22 : self inductance, L12 , L21 : mutual inductance

13 Permeance 이고, 로 쓸 수 있다. P (permeance) : 자속을 잘 통과시키는 정도를 나타내는 계수.
이고, 로 쓸 수 있다. P (permeance) : 자속을 잘 통과시키는 정도를 나타내는 계수. Coil 1을 통과하는 자속 Coil 2를 통과하는 자속 i1 is N1 + v1 - v2 N2 Coil 1을 통과하는 자속 Coil 2를 통과하는 자속 + v2 - i2 is v1

14 Mutual Inductance in terms of Self-Inductance
이고 이며, 이므로 , 여기서 이므로 이고 이라 가정하면 또는 가 된다. 여기서 k : 결합계수이다. (0 ≤ k ≤ 1)

15 Dot Convention i2 i1 Mutual inductance에 의해 발생하는 자속은 코일 전류의 방향 또는 권선을 감아 놓은 방향에 따라 더해질 수도 감해질 수도 있다. 이 때 dot가 있는 쪽으로 전류가 흘러 들어가면 자속은 더해진다고 약속해 두었다. Dot marking 순서 (1) 한 단자에 marking하고 전류를 흘려 flux를 발생시킨다. (2) 다른 코일의 한 단자를 선택하고 전류를 흘려서 flux를 발생시킨다. (3) 두 flux가 더해지면 그 단자에 marking하고 두 flux가 빼지면 다른 단자에 marking 한다. + v1 _ i1 i2 L1 L2 A B C D M + –

16 Dot Convention - Example
Current entering the dotted terminal of one coil produces a voltage that is sensed positively at the dotted terminal of the second coil. Current entering the undotted terminal of one coil produces a voltage that is sensed positively at the undotted terminal of the second coil.

17 Energy Calculations + v1 v2 - M i1 i2 L1 L2 i2 (I1 , I2) (2) (1) i1 이고
경로 구간(1) 경로 구간(2) i2 i1 (I1 , I2) (2) (1) 다른 경로를 취하면 전류가 flux를 빼는 방향이라면 이 경우, 소자가 모두 수동 소자이므로 이고 이고

18 Linear Transformer - Transformer : Magnetic coupling을 이용하는 대표적인 기기
않으므로 교류만을 분리할 때도 이용 - 선형은 magnetic flux가 전류에 비례한다는 의미 - Sinusoidal steady-state를 해석 + – Zs I1 Vs a b R1 Source ZL R2 d c I2 Load ab 단자에서 본 impedance 1차측 2차측 정리하면 : Reflected impedance : Total self-impedance 전원 단자에서 본 impedance Scale , reactive : 부호 바뀜

19 Exploring Limiting Values(I)
+ – Zs I1 Vs a b R1 Source ZL R2 d c I2 Load 실제 변압기에서 L1, L2는 매우 크고 k는 거의 1 에 가깝다. 이럴 때의 Zab를 구해보자. 여기서 이면 여기서

20 Exploring Limiting Values (II)
에서 은 를 의미 이므로 이다. 따라서, 이고 L1 , L2가 매우 크면 ab 단자에서 2차 코일을 보았을 때 2차 코일 저항 R2와 부하 임피던스 ZL 은 배가 된다.

21 Ideal Transformer 이상적인 변압기의 성질 (1) k = 1 , (2) L1 = L2 =  , (3) coil losses = 0 , R1 = R2 = 0 + – open + – + – short ideal 이상적인 변압기의 기호. 자기회로는 규소강을 사용하며, 변압기의 효율은 95%가 넘는다.

22 Polarity of Voltage and Current Ratio (I)
전압 부호 결정 : 2차 측 open, 전류 부호 결정 : 2차 측 short. + – A B C D E F 다음의 조합으로 회로를 결정할 수 있다. dot :A, B 전압: C, D 전류: E, F Case study (1) dot : B, 전압: D, 전류: E open : short : + – 1 : a

23 Polarity of Voltage and Current Ratio (II)
전압 부호 결정 : 2차 측 open, 전류 부호 결정 : 2차 측 short. + – A B C D E F 다음의 조합으로 회로를 결정할 수 있다. dot :A, B 전압: C, D 전류: E, F Case study (2) dot : B, 전압 : C, 전류 : F open : short : + – 1 : a

24 Impedance Matching 전원 쪽에서 본 임피던스 1 : a 전압, 전류의 관계 Zs + – ZL ideal 따라서,
최대 전력을 수송하기 위하여 변압기를 삽입하는 경우도 있음.

25 T-Equivalent Circuit + – + – + – + – M a c
b, d를 연결해서 원래의 전압과 전류에 영향을 주지 않는다고 가정. X1, X2 를 구하자. 식들을 비교. b d + – + – M M L2 -M L1 -M

26 Equivalent Circuit for the Nonideal Transf. (I)
M M a b m n b’ a’ a’ a + – m n + – b b b’ b’ - Analysis of Electric Circuits, E. Brenner, McGraw-Hill, 1967 (pp ). T형 등가회로의 두 가지 문제점. (1) L1-M 또는 L2-M 이 음수가 될 수 있음. 계산 시에는 문제가 없으나 물리적으로 negative inductance는 없음. (2) 변압기의 성질인 분리가 안됨.

27 Equiv. Circuit for the Nonideal Trans. (II)
두 가지 문제점을 이상적인 변압기를 도입해서 해결. L1-M < 0 이라고 가정. 그리고, L1-aM > 0 이 되는 1 보다 작은 a가 있다고 가정하자. L1-M < 0 이면 L2-M > 0 (왜냐하면 이므로)  a a” + – + – aM a”, b” 단자에 이상적인 변압기를 연결. 이 회로에서 a는 (1) 등가회로 안의 모든 계수가 물리적으로 의미가 있도록, (2) 변압기의 isolating property가 유지되도록 결정한다. b b” a:1 a + – + – + – aM b ideal

28 Applications – Speaker Systems
- 음을 충실히 재생하기 위하여 주파수 대역별로 스피커를 사용. - Woofer: 20 Hz ~ 300 Hz. - Midrange: 100Hz ~ 5 kHz. - Tweeter: 2 kHz ~ 25 kHz. - Crossover speaker system : parallel network with speakers. - 예를 들어, 1.4 kHz 에서 midrange speaker 는 4.5 W, woofer 는 1 W, tweeter 는 1.3 W 정도를 소모한다. Crossover speaker system

29 Maximum Power Transfer (I)
- 실제 cellular telephone antenna의 입력 임피던스는 10+j 6.28 W 이다. - 부하에 최대 전력이 전달되도록 회로망을 설계하라. - 최대 전력이 전달되는 임피던스는 입력 단에서 보았을 때

30 Maximum Power Transfer (II)
- 변압기를 사용하여 전체적인 계수를 조정 - n2이 10 이면 실수부는 최대 전력 전달 조건에 만족이 되나 허수부는 만족이 안된다. - 캐패시터를 삽입.