유클리드의 처음 5공리 임의의 점에서 또 다른 임의의 점까지 단 한 개의 직선을 그을 수 있다.

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1 유클리드의 처음 5공리 임의의 점에서 또 다른 임의의 점까지 단 한 개의 직선을 그을 수 있다.
유한한 직선은 한 쪽으로 무한히 연장할 수 있다. 임의의 점을 중심으로 하고, 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. 모든 직각은 서로 같다.

2 평행선공리 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 한없이 연장하면 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다. 과학사에 있어서 가장 유명한 단 하나의 발언( 케이저 Cassius J, Keyser)

3 사케리(Girolamo Saccheri, 1667-1733)
그는 AC = BD이고 점 A와 점 B에서 각이 직각인 사변형 ABDC에서, 점 C와 점 D에서의 각이 같음을 알 수 있다. 이 두 각은 모두 직각이거나, 모두 둔각이거나 아니면, 모두 예각일 것이다. 사케리는 이 세 가지 가능한 경우를 각각 “직각의 전제”, “둔각의 전제”, 그리고 “예각의 전제” 등으로 이름지었다.

4 평행선 공리 직선 밖의 주어진 점을 통과하면서, 그 직선과 평행한 선은 꼭 하나 존재한다(플레이페어(John Playfair, )의 공리) ( 하나도 없거나 또는 둘 이상 존재한다)

5 칸트 공간은 인간의 마음에 직관적으로 이미 존재하는 체제이고, 유클리드 기하학의 공준들은 인간 마음에 부과된 선험적 판단이며, 그리고 이 공준들 없이는 공간에 대한 모순이 없는 어떠한 추론도 불가능하다.

6 로바쳅스키 직선 밖의 한 점을 지나면서, 그 직선과 만나지 않는 직선을 무수히 그을 수 있다
벨트라미가 로바쳅스키 기하학을 유클리드 공간 속의 특별한 형태로서 구체화한다.

7 리만 “하나도 없거나”에 해당하는 리만 기하학을 완성.
아인슈타인은 그의 일반상대성이론의 연구에서 물리적인 공간을 묘사하기 위해서 비유클리드 기하학을 적용해야만 한다는 사실을 발견했다. 그 기하학은 바로 리만 기하학이었다. 리만 공간의 특징은 중력장이 강한 곳일수록 뚜렷이 나타난다.

8 측지선 구의 중심을 지나는 평면과 구의 경계와의 교집합을 대원이라 부른다.
구면상의 점A에서 점B로 구면을 따라서 가려고 할 때, 두 점 A와 B 그리고 구의 중심을 지나는 평면에 의하여 만들어진 대원은 이 두 점 사이의 최단거리가 된다. 이처럼 최단 거리를 제공하는 선을 측지선이라고 부른다. 평면에서의 측지선은 직선이고, 구면에서의 측지선은 대원의 호이다.

9 둔각의 전제의 예 지구가 구처럼 둥글다고 가정하고, 적도 위의 두 점 A, B와 북극점 N을 잇는 두 측지선을 생각하자.
대원의 호로 둘러싸인 이등변삼각형NAB의 등변을 한 개의 측지선으로 끊어 이 횡단선과 적도 사이에 낀 두 변이 같도록 한다. 여기서 등각사다리꼴의 사변형 AXYB의 밑면 두 각은 직각이고, 서로 마주보는 변 AX와 BY의 길이는 같다. 그러나 점 X와 Y에서 생긴 등각은 어느 것이나 직각보다 크다.

10 일반상대성이론 우주는 비유클리드 기하학인 리만기하학에 의해서만 분석 가능한 휜 공간

11 시간과 공간 뉴턴 : 시간과 공간은 외부의 어떠한 것과도 무관하며 서로 독립적으로 존재하는 개념
아인슈타인의 특수상대성 이론 : 시간·공간의 절대성을 부정하고, 시공의 상대성을 적극적으로 밝힘. 시간과 공간은 서로 깊은 관련을 맺고 있는 상대적인 개념.

12 시공간 종래의 3차원적 공간 대신 시간을 또 하나의 좌표로 포함한 4차원의 공간을 시공간이라고 부른다.
상대성이론에서 복소수가 유용하게 사용되는데, 공간 삼차원은 실수로서 간주되고 시간 차원은 허수로서 간주된다.

13 상대성이론 아인슈타인의 이론은 공간의 3차원과 시간의 1차원을 일체로 하는 4차원 공간이 물리적 존재라는 사실을 밝혀준다.
공간 삼차원은 실수로서 간주되고 시간 차원은 허수로서 간주된다. 이러한 4차원 좌표를 사용하면, 자연을 수학적으로 더욱 잘 표현할 수 있다.

14 라파엘로 봄벨리 "1의 제곱근은 1과 -1 두 개다. 음수를 두 번 곱하면 양수가 되어 이것은 문제가 되지 않는다. 그런데 -1의 제곱근은 얼마인가?"

15 해밀턴( 1805 -1865) 복소수를 실수의 순서쌍 (a, b) 로 표현
사원수는 a + bi + c j + d k를 만들다.

16 복소수이론의 활용1 스타인메츠(Charles Steinmetz)는 교류와 관련된 계산을 효과적으로 수행하기 위해서 복소수가 필수적인 것을 발견 러시아의 수학자 조우코프스키(N.Y. Joukowski, )는 비행기 날개 주위에서의 공기 흐름의 양식을 연구하면서 복소해석학을 이용 현재 복소수 이론은 유체 흐름의 모든 양식에 대한 묘사, 차량과 선박의 설계에서 매우 중요한 역할

17 복소수이론의 활용2 1920년에 미국 벨연구소의 과학자들은 장거리 통화를 가능하게 만드는 여파기와 고출력 증폭기의 설계에 복소수 이론을 사용 전자공학에서 귀환 증폭기의 안정성에 대한 나이퀴스트(Nyquist) 기준은 복소해석학의 직접적인 응용

18 득점의 문제 똑 같은 정도의 기술을 가진 두 경기자 A와 B가 시합을 하고 있다. 시합을 하던 중에 어쩔 수 없는 상황으로 경기가 중단되었다. A가 승리하기 위해서는 2득점이 더 필요하고, B가 승리하기 위해서는 3득점이 더 필요하다. 이 경우에 A와 B는 판돈을 어떻게 분배하면 적절한가?

19 페르마의 방법 aaaa aaab abba bbab baaa bbaa abab babb abaa baba aabb abbb
aaba baab bbba bbbb a가 두 번 이상 나타나는 경우는 열한 번 나타난다. 또 b가 세 번 나타나는 경우는 다섯 번 나타난다. 따라서 판돈은 11: 5의 비율로 분배하면 된다고 주장.

20 파스칼의 방법 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 A와 B의 각각의 승리 가능성의 비는
A와 B의 각각의 승리 가능성의 비는 [C(4, 4) + C(4, 3) + C(4, 2)] : [C(4, 1) + C(4, 0)] = (1+4+6) : (4+1) = 11 : 5 여기서, C(4, 3)은 세 개의 a를 얻은 경우의 수

21 확률론 순수한 우연이 가지는 표면상의 불규칙성과는 다르게, 본질적으로 내재하는 질서와 규칙성을 찾아내어 이를 표현하려고 노력하는 과정에서 확률론이라는 새로운 수학의 분야가 탄생한다.

22 불확정성원리 전자의 위치와 운동량은 같은 시간에 완전히 정확하게 측정할 수 없는 양이며, 시간과 에너지도 마찬가지로 동시에 정확하게 측정할 수 없는 물리량이다. 이 원리에 의하면 원자의 세계에서는 확률만이 통용된다. 양자론은 기본적으로 복소수라고 하는 수를 사용하며, 뉴턴이나 아인슈타인의 이론처럼 결과를 정확히 예언할 수는 없다. 다만 확률로서만 말할 수 있다.

23 양자론 1920년대에 어윈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger, )와 베르너 하이젠베르크(Werner Heisenberg, )가 원자나 소립자와 같은 대단히 작은 계의 움직임을 설명하기 위해 고안한 것 전자 에너지 재료 등에 관련된 많은 현대 산업기술의 바탕이 되고 있으며, 반도체는 양자역학적 효과를 응용한 산업기술이 피어낸 꽃이다.

24 경로적분법 물리학자인 파인만은 입자의 이미지를 살려가며 확률을 계산할 수 있는 방법을 생각해냈다.
그의 발상은 최초의 출발점에서 도착하는 곳의 확률을 계산하는 것이다. 이것은 경로적분법이라고 진다.

25 하이젠베르크 (Werner Heisenberg 1901-1976)
“ 수학 전체는 무섭도록 복잡합니다. 오랜 생각 끝에도 문제는 항상 불분명해 집니다. 모든 것은 추측일 뿐입니다.”

26 하이젠베르크 괴팅겐은 두 개의 진영으로 나누어져 있습니다. 하나는 힐버트처럼 행렬을 물리학에 도입함으로써 성취한 대성공에 관하여 관심을 갖는 사람들이고, 또 하나는 프랑크처럼 사람들이 행렬을 결코 이해할 수 없을 것이라고 말하는 사람들입니다.