전기 수학의 기초 1.1 수와 전기 정확히는 모르겠지만 제로(0) 이 발견 된것은 수의 역사에 비해 오래 되지 않았다고 한다.

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1 전기 수학의 기초 1.1 수와 전기 정확히는 모르겠지만 제로(0) 이 발견 된것은 수의 역사에 비해 오래 되지 않았다고 한다.
전기를 표현하기 위해서는 수학의 도움을 받아야 하고 그 수학의 출발점을 0에서 부터 하기로 하자. 전기회로나 전자 기기에서 말하는 제로란 유한 한 값을 말하고 반드시 무(無)라든가 비어있다는 것이 아니라 전자나 원자핵 이 안정되게 존재하는 상태를 수학적으로는 제로 상태인 것이다. 정수 또는 자연수 모든 수는 한 가닥의 전선으로 비유해서 표현 할 수 있다. 음의 정수 양의 정수 전선 허수: 전선 위에 밀착 되지 않고 공간 위에 떠있는 수

2 전기 수학의 기초 수는 무기적인 것에 반해 전기는 유기적으로 뒤엃힌 실용적인 에너지의 일종 그리고 이 둘 은 전혀 성질을 달리하지만 전기 현상은 수학을 하나의 수단으로서 유용함으로서 그 경과 및 내용을 명확히 표현 할수 있고 그중에서 가장 전기의 성질을 잘 나타내는 것이 바로 복소수 이다. ( 전기의 실체 ) ( 전기에서 위상의 앞섬이나 뒤짐을 +j 나 –j 로 표시) 무리수인 √2 는 교류의 실효값, 최대값을 나타내는데 주로 사용 √3 은 교류인 스타 델타 변환회로의 계산에 자주 사용됨

3 전기 수학의 기초 비례 반비례: a≠0 인 비례 상수를 사용해 다음 과 같은 것을 말할수 있다.
1) X에 비례 : y가 x에 비례할때 y=ax 로 표시한다. y→V, a→R , x → I 이면 V=RI 2) X에 반비례 : y가 x에 반비례 할때 y=a/x 로 표시한다. y→Xc, a→1/ω , x → C 이면 Xc= 1/ ω C 전압 V Xc: 용량 리액턴스 R=0.5(일정) C : 일정 10 Xc=1/2πfC=1/ωC -10 전류 I f :주파수 20 -5 용량 리액턴스는 주파수에 반비례한다 [반비례 그래프] 전압 V는 전류 I 에 비례한다 [비례 그래프]

4 전기 수학의 기초 전류는 화살표 방향으로만 원칙적으로 흐른다 전류는 어느 쪽으로도 흐른다
수의 개념을 나타내는 언어에 벡터량과 스칼라 량 이라는 두 언어가 있다. 수 자체는 평면적 공간적으로 자꾸 증가하려는 성질과 또는 반대로 무한히 작게 축소 하려는 성질을 가진것이 있는데 이러한 증가와 감소 라는 성질과 함께 방향이라는 개념을 부여한 것이 벡터 또는 벡터량이다. 스칼라 또는 스칼라 량은 벡터 처럼 방향을 수반하지 않는 크기만의 개념을 말한다. 여기서는 벡터의 개념을 사용해 전기란 것을 수학 적으로 이해 한다. 벡터를 나타내는 문자는

5 전기 수학의 기초 콘덴서 인덕텉스(코일) 콘덴서는 그림과 같이 평면적으로 전압의 크기와 방향을 기준으로 하면 전류의 크기와 방향이 90° 앞선 전류가 흐른다. 인덕턴스(코일)은 이것과 반대로 전류를 기준으로 하면 전압의 크기와 방향이 90° 앞선다. 전압 V 전류 I 전압 V 전류 I 이와 같이 어떤 도체 속을 전류가 흐른 경우 저항인 경우는 동상의 전류가 콘덴서는 앞선(진상) 전류가 코일의 경우에는 뒤진(지상) 전류가 흐르는데 그 들의 합성된 전류는 도대체 어떤 방향과 크기를 가지는 가를 벡터라는 수단으로 이해 할수 있다. 합성 벡터를 구하는 방법으로는 삼각형 법과 평행사변 형 법 등이 있다.

6 전기 수학의 기초 교류 회로와 벡터 VR VL VC R L C
RLC 직렬회로에 흐르는 전류를 I 를 기준으로 해서 RLC 각 양단에 걸리는 전압을 벡터도로 표시하면 그림과 같다 저항에 걸리는 전압은 동상 , 코일에는 앞선, 콘덴서 에는 뒤진 전압이 걸린다. VL > Vc 라면 합성 전압은 아래와 같다. Vc > VL 이면 : 제 2상한 Vc = VL 이면 : I 와 동일 직선 위에 VR을 구할수 있다.

7 전기 수학의 기초 저항 R 유도 리액턴스 XL , 용량 리액턴스 Xc 인 직렬회로의 벡터 임피던스 에 착안해서 임피던스 Z 를 작도로 표시하해 보면 그림과 같다. 단 XL > Xc이다. θ 이와 같이 크기와 방향을 가진 임피던스 Z를 벡터 임피던스라 하고 벡터 임피던스는 다음 식으로 표시된다. 1)코일의 벡터 임피던스 코일의 리액턴스 XL에 전류 I 를 흘리면 코일에 생기는 전압은 전류 보다 90° 앞서고 전압의 크기는 XL.I 가 된다

8 전기 수학의 기초 2) 콘덴서의 벡터 임피던스 콘덴서의 리액턴스 Xc를 가지는 회로에 전류 I를 흘리면 콘덴서에 생기는 전위의 위상 은 전류 보다 90° 뒤지고 전압의 크기는 Xc.I 가 된다.

9 전기 수학의 기초 y (e) 교류식의 일반식 발전기의 회전계자 회전에 의해 유기된 교류 전원의 크기와 일치 하는 수학적 표현이 도체의 출발점 0° 를 기준으로 한 도체의 기전력은 각도 θ 를 변수로 한 sin 의 기본 함수 e = sin θ 로 표현 할수 있다. 1 Em 3π/2 ωt 2π π/2 π -1

10 전기 수학의 기초 일반적으로 교류의 전압이나 전류를 코일 이나 콘덴서에 가하면 그 전압 , 전류에
시간적인 오차가 생긴다. 이 시간차를 각도로 표시한 것이 위상차이다. y (e) 1 Em=√2E 3π/2 ωt θ 2π π/2 π -1 + 방향 허수측 : 90°앞선 j 복소수와 사인파의 관계 +j = +90° = π/2 로 약속 함으로써 단위기호 j 라는 것을 사용해서 위상의 앞섬과 뒤짐을 표현하는 관계를 성립 시킨것이 허수 단위다. 어떤수의 2제곱을 -1로 해서 그 어떤 수를 j 로 표시 함으로서 전기현상과 복소수의 개념이 전개되는 것이다. 90° j2=-1 j4=+1 + 방향 실수측: 기준벡터 j3=-j

11 전기 수학의 기초 y (e) 1 Em 3π/2 ωt 2π π/2 π -1

12 전기 수학의 기초 복소수는 사인파라는 교류를 취급하는데 있어서 다음 4가지에 대해 상호 관계가 성립한다.
복소수는 사인파라는 교류를 취급하는데 있어서 다음 4가지에 대해 상호 관계가 성립한다. 복소수의 직교표시 및 그식 2)복소수의 극좌표 표시 및 그식 3) 삼각함수의 교류 표시식 ) 사인파 곡선의 특성도 자체 e b c √2C θ ωt a θ

13 전기 수학의 기초 <미. 적분> 전기 전자 현상은 지나가는 시간과 함께 시시각각 으로 변화하고 있다. 그러한 현상에 미분을 이용함으로서 어떤 시각의 변화의 비율을 정지한 관점에서 파악하려는 것이다. 즉 시간 또는 어떠한 요소의 미소 변화량에 전기적인 현상의 변화율을 파악하려는 것이다. dx2 xdx dx 예를 들어 왼쪽의 가로 세로 10m 인 정사각형의 면적을 구하면 면적 y=가로 )x 세로 이므로 y=x2=100m2 이 될것이다. 이 정사각형의 가로 세로 길이를 미소 변화량 dx=0.1m만큼 증가 시키면 총 면적은 y= x2 + 2xdx + dx2 =100+2(10x0.1) = 이 되어 x의 길이 가 0.1m 증가 될때 면적 y= 2.01m2 변화가 된다. 하지만 1보다 작은 값의 제곱은 제곱에 반비례 하므로 즉 dx의 값을 m 로 아주 작게 한다면 dx2 값은 로 아주 작은 값이 되어 무시할정도로 작아 진다. 그러므로 dx의 값을 무한히 작게 한다면 dx2 값은 무시해도 관계가 없다. 이를 근거로 x길이 변화 에 따른 면적 y의 변화율을 구해보면 다음과 같다. X=10 xdx x2 dx X=10

14 전기 수학의 기초 y=x2 y=2x 미분 적분

15 전기 수학의 기초 미. 적분의 관계 무엇인가 변환을 하면 그 내용 자체도 변한것 같은 착각이 들어 본래의 내용을 알수 없을것 같은 착각이 든다 하지만 전기나 수학에서는 아무리 변환을 해도 역 변환을 통해 원래의 형태를 꺼낼수 있다 본질이 변하지 않는다는 것이 없으면 반대로 변환하는 의미가 없기 때문이다. y=x2 y=2x 미분 적분 우리가 사용하는 핸드폰 디카 TV의 예를 들면 소리나 영상 신호를 전기 신호나 디지털 신호로 변환해서 수많은 전자 소자를 경과해도 다시 본래의 소리나 영상으로 재현할수 있는 것과 마찬가지이다. 미분과 적분은 서로 역변환 될수 있어서 y=x2 이라는 원 함수를 미분하여 y’=2x 가 되었어도 이 미분함수를 적분하면 원 함수 y=x2을 구할수 있는 것이다. 즉 적분은 미분하여 y’=2x가 되는 원래의 함수 y=x2을 구하는 것이다.

16 전기 수학의 기초 왼쪽의 그래프에서 x=2일때 y=x2 에 의해 둘러싸인 삼각형의 면적을 구해 보자 y=2x
우선 삼각형의 면적=1/2 x 밑변 x 높이=1/2 x 2 x 4= 4m2 이다. y=2x y=4m 이번에는 다르게 생각해서 x의 길이가 dx 로 아주 작고 빨간색의 직사각형의 중심점의 높이가 y 인 무수히 많은 직사각형으로 아주 잘게 잘라 보기로 하자. X=2m y=2x에 둘러싸인 면적은 이 무수히 많은 이 직사각형의 면적을 모두 더하면 구할수 있을 것이다. 직사각형의 면적을 dY 라면 dY= ydx + dxdy 이고 dxdy 는 아주 작은 값이므로 무시할수있다. dy y y=2x dx

17 전기 수학의 기초

18 삼각함수 덧셈정리 <삼각함수 덧셈정리>
세 가지 법칙으로 구성 되며 삼각함수의 중심적인 존재 이므로 암기할 필요가 있음

19 삼각함수 덧셈정리 P α C 1 D β α+β α A B

20 ε= 미분을 해도 그 값이 변하지 않는 수가 ε인데 이 수는 다음과 같이 구할수 있고 계산의 편리함으로 인해 미적분 분야에서 많이 사용된다. 1 45° tanθ=1/1=1

21 매클로린의 정리

22 매클로린의 정리

23 매클로린의 정리

24 오일러의 공식 이와 같이 지수 형태가 삼각함수와 복소수로 표시된다. 이를 오일러의 공식이라 한다.

25 실효값 과 최대값 실효값과 최대값 교류의 실효값은 같은 저항에 직류를 흘려서 발열한 발열량과 교류를 흘려서 발열한 열량이 같은 교류의 크기라 정의 되고 있다 이를 식으로 표현하면

26 실효값 과 최대값 최대값과 실효값의 관계