5 장 비 틀 림 ► 비틀림 하중의 효과 단면: 원형, 사각 등 재료: 선형, 비선형 ► 응력분포와 비틀림 각

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1 5 장 비 틀 림 ► 비틀림 하중의 효과 단면: 원형, 사각 등 재료: 선형, 비선형 ► 응력분포와 비틀림 각
5 장 비 틀 림 ► 비틀림 하중의 효과 단면: 원형, 사각 등 재료: 선형, 비선형 ► 응력분포와 비틀림 각 ► 응력집중과 잔류응력

2 5.1 원형 단면 축의 비틀림 변형 ► 토크(torque): 부재의 길이방향 축을 중심으로 작용하는 비틀림 모멘트
5.1 원형 단면 축의 비틀림 변형 ► 토크(torque): 부재의 길이방향 축을 중심으로 작용하는 비틀림 모멘트 ex) 동력축에서는 토크를 통해 동력이 전달된다. Fig. 5-1 ► 변형의 관찰: 횡단면→평면유지, 단면반경→직선유지. 조건(가정): 소회전각→축 길이, 반경 길이 불변

3 비틀림각 (x): x에 선형적 비례 전단 변형률: 요소의 변형: Fig. 5-2 Fig. 5-4
Fig. 5-4 Fig. 5-2 비틀림각 (x): x에 선형적 비례 전단 변형률: 요소의 변형:

4 위 식은 모든 축대칭 축 (예: 원형 튜브)에 적용된다.
는 에 선형적으로 비례 다른 전단 변형률 성분 = 0 모든 수직 변형률 성분 = 0 위 식은 모든 축대칭 축 (예: 원형 튜브)에 적용된다.

5 5.2 비틀림 공식(torsion formula)
5.2 비틀림 공식(torsion formula) 선형 탄성구간에서 Hooke의 법칙, =G (순수전단)를 적용 Fig. 5-5 모멘트 평형을 고려하면, 비틀림 공식 위 식은 원형 단면이고 재료가 homogeneous & linear-elastic일 때 성립

6 중실축(solid shaft) 중실축의 J 값: 단위는 mm4, in4, 양의 값 목재의 쪼개지는 현상
중실축(solid shaft) 중실축의 J 값: 단위는 mm4, in4, 양의 값 Fig. 5-6 Fig. 5-7 목재의 쪼개지는 현상 ∵ 섬유방향(축방향)의 전단저항 << 섬유와 수직인 방향의 전단저항 Fig. 5-8

7 중공축(hollow or tubular shaft)
중공축(hollow or tubular shaft) 의 값은 에 선형적 비례 Fig. 5-9 중공축의 J 값: 중공축: 재료 절약

8 절대 최대 비틀림 응력(T, c, J 등이 축 방향으로 변할 때):
절대 최대 비틀림 응력(T, c, J 등이 축 방향으로 변할 때): 토크선도 T(x)를 그린 후, max =Tc/J 값이 최대가 되는 위치를 결정 (T(x)의 부호규약: T의 화살표가 단면의 바깥방향을 향할 때 (+)) 해석과정 선형탄성의 균질재료로 된 원형 단면의 중실축 또는 중공축에 발생하는 전단응력의 분포를 구한다. 상베낭(Saint Venant)원리 적용. 내부하중 절단한 후에 자유물체도를 완성하고 평형조건을 적용. 단면의 성질 극관성 모멘트를 구한다. 중실축: J=c4 /2, 중공축: J=(co4 - ci4)/2 전단응력 비틀림 공식  =T/J 적용. 최대 전단응력: max =Tc/J

9 예제 5.1 그림과 같이 중실축의 응력분포가 되어 있을 때, 내부 합토크는? 풀이 I: 단면의 극관성모멘트: 합토크:
그림과 같이 중실축의 응력분포가 되어 있을 때, 내부 합토크는? 풀이 I: 단면의 극관성모멘트: 합토크: max =8 ksi이므로, Fig. 5-10 풀이 II:  =f() 관계식: 미소 링 요소에 작용하는 전단응력에 의한 토크: 합토크:

10 예제 5.2 중실축에 토크 T가 작용할 때, 반경 c/2와 c 사이의 바깥쪽 재료가 받고있는 토크의 분율(fraction)은?
중실축에 토크 T가 작용할 때, 반경 c/2와 c 사이의 바깥쪽 재료가 받고있는 토크의 분율(fraction)은? 미소 링 요소에 작용하는 전단응력에 의한 토크: 고려 영역의 토크: Fig. 5-11 토크 T에 의한 최대 전단응력 max: 두 식을 연립하면, T의 약 94% 따라서 중공축이 경량화를 위해서 사용됨.

11 예제 5.3 단면 a-a상의 점 A와 B에서 발생하는 전단응력은? 내부 토크: 단면의 성질: 전단응력: Fig. 5-12
단면 a-a상의 점 A와 B에서 발생하는 전단응력은? 내부 토크: 단면의 성질: Fig. 5-12 전단응력: 자유물체도

12 예제 5.4 내경 ci=80 mm, co=100 mm인 파이프를 80 N의 힘으로 조이고 있다. 점 C에서 내벽과 외벽의 전단응력은? 내부 토크: 단면의 성질: 전단응력: Fig. 5-13

13 5.3 동력 전달 동력(power): 단위시간당의 일
5.3 동력 전달 동력(power): 단위시간당의 일 토크 T가 시간 dt 동안에 동력축을 d 만큼 회전시킬 때의 전달동력 P: 또는 P=2fT 직선운동의 경우: P = F v f : 회전 진동수[Hz] or [cycle/s] : 각속도[rad/s] v : 선 속도 SI 단위: N·m/s = W (1 kW=102 kgf·m/sec) FPS 단위: ft·lb/s or hp (1 hp = 550 ft·lb/s) 동력 전달 축의 설계 과정: INPUT: P, (또는 f)  계산: T(토크)  OUTPUT: 중실축: cmin , 중공축: ci or co 주의: I와 J의 차이

14 예제 5.5 강재 중실축이 모터로부터 5 hp를 전달하는데 이용된다. =175 rpm, allow=145 ksi 일 때, 축경을 1/8 in 단위로 구하라. 단위 통일: Fig. 5-14 전달 토크: 비틀림 공식:

15 예제 5.6 내경 ci=30 mm, co=42 mm인 중공축이 90 kWN의 동력을 전달할 때,전단응력이 50 MPa를 초과하지 않는 축의 회전진동수는? 비틀림 공식: 회전진동수: Drive shaft of cutting machine

16 5.4 비틀림각 기하학적 관계: 비틀림 공식: 비틀림 각:
5.4 비틀림각 Fig. 5-15 기하학적 관계: 비틀림 공식: 비틀림 각: 하중 점에서의 국부적 변화에 의한 영향을 무시(Saint-Venant's principle)

17 일정 토크 및 단면적: T(x)=const., J(x)=const.
일정 토크 및 단면적: T(x)=const., J(x)=const. Fig. 5-16 부호 규약 torsion testing machine Fig. 5-18

18 구간별로 토크, 탄성계수 및 단면적이 일정할 때:
구간별로 토크, 탄성계수 및 단면적이 일정할 때: Fig. 5-19

19 해석과정 내부토크 절단법과 자유물체도의 평형조건으로부터 T(x)를 구한다. 비틀림각 를 이용하여 구한다.
해석과정 내부토크 절단법과 자유물체도의 평형조건으로부터 T(x)를 구한다. 비틀림각 를 이용하여 구한다.

20 예제 5.7 기어 A의 점 P의 변위는? 단, G=80 GPa,축경 d=14 mm이다. 내부토크: 극관성모멘트: 비틀림각:
기어 A의 점 P의 변위는? 단, G=80 GPa,축경 d=14 mm이다. 내부토크: 극관성모멘트: Fig. 5-2 비틀림각: 점 P의 변위: 이 해석은 응력상태가 재료의 비례한도를 초과하지 않을 때 타당하다.

21 예제 5.8 기어 A의 점 P의 변위는? 단, G=80 GPa,축경 d=14 mm이다. 내부토크:
기어 A의 점 P의 변위는? 단, G=80 GPa,축경 d=14 mm이다. 내부토크: 토크 TCD에 의한 구간 CD의 비틀림각: Fig. 5-21 비틀림각 C/D에 의한 기어 B의 회전각 B: 토크 TAB에 의한 구간 AB의 비틀림각: 점 A의 비틀림각:

22 예제 5.9 2 in인 주철재 중실 기둥이 24 in 만큼 흙 속에 묻혀있다. 흙의 저항은 t lb-in/in로 균일하고, G=55(103) ksi이다. max와 는? 내부토크: 최대 전단응력: Fig. 5-22 비틀림각:

23 예제 5.10 전단탄성계수 G인 테이퍼 축의 토크 T에 의한 점 B의 비틀림각은? 내부토크: 모든 점에서 T.
전단탄성계수 G인 테이퍼 축의 토크 T에 의한 점 B의 비틀림각은? 내부토크: 모든 점에서 T. 반지름 c(x): 극관성모멘트 J(x): 비틀림각: Fig. 5-23 적분표를 이용하여 적분:

24 5.5 부정정 토크가 작용하는 부재 평형조건(Equilibrium): (미지수: 2개, 식: 1개 → 부정정)
5.5 부정정 토크가 작용하는 부재 평형조건(Equilibrium): (미지수: 2개, 식: 1개 → 부정정) Fig. 5-24 기하학적 적합조건(Geometic compatibility): 힘-변위 관계식(Force-displacement relation): L=LAC+ LBC관계와 함께 위 식을 풀면,

25 해석과정 평형조건과 적합조건, 그리고 토크-변위관계를 만족. 평형: 자유물체도의 평형조건 적용.
해석과정 평형조건과 적합조건, 그리고 토크-변위관계를 만족. 평형: 자유물체도의 평형조건 적용. 적합성: 축의 비틀림이나 지지 점들의 구속조건을 고찰.

26 예제 5.11 20 mm인 강재 중실축의 고정단 A와 B에서의 반력토크는? 평형: 적합성: 비틀림각:
20 mm인 강재 중실축의 고정단 A와 B에서의 반력토크는? 평형: 적합성: 비틀림각: Fig. 5-25 위 식을 연립하여 풀면,

27 예제 5.12 강재 중공축과 황동재 중실축이 접합된 축에 T=250 lb-ft의 토크가 작용할 때, 전단응력분포는? Gst=11.4(103) ksi, Gbr=5.20(103) ksi. 평형: 적합성: 비틀림각: Fig. 5-26 연립하여 풀면, 전단응력: 응력: 불연속 변형률: 연속

28 5.6 비원형 단면 중실축 단면이 평면으로 남지 않고 불룩해지거나 뒤틀린다. Fig. 5-27 Fig. 5-28
5.6 비원형 단면 중실축 Fig. 5-27 Fig. 5-28 단면이 평면으로 남지 않고 불룩해지거나 뒤틀린다.

29 예제 5.13 정삼각형 단면의 6061-T6 알루미늄 축의 최대 허용토크는? 단, allow =8 ksi, allow =0.02 rad이다. 같은 양의 원형 단면 축의 허용 토크는? 전단응력: 비틀림각: Fig. 5-29 원형 단면일 때 동일 면적: 전단응력: 비틀림각: Tallow)O > Tallow) 1.37배 크다.

30 5.7 폐단면을 갖는 박판 튜브 가정: 전단응력이 벽의 두께에 걸쳐 일정하다. 즉, 전단응력을 avg로 일정하다고 가정.
5.7 폐단면을 갖는 박판 튜브 가정: 전단응력이 벽의 두께에 걸쳐 일정하다. 즉, 전단응력을 avg로 일정하다고 가정. 미소요소의 축방향 힘 평형조건을 쓰면, Fig. 5-30 전단류 (shear flow): q 의 물리적 의미: 횡단면에서 단위길이당의 힘 dA=t ds

31 평균 전단응력 미소 면적 dA(구간 ds)에 작용하는 평균전단응력에 의한 튜브 내의 한 점 O에 대한 모멘트는, h는 팔 거리
평균 전단응력 dA=t ds 미소 면적 dA(구간 ds)에 작용하는 평균전단응력에 의한 튜브 내의 한 점 O에 대한 모멘트는, h는 팔 거리 전체 단면에 대한 적분은 내력의 합이 된다. 즉, 비틀림각: 식 유도는 에너지 법 Am은 두께의 중앙을 지나는 선에 의한 도형의 면적

32 예제 5.14 평균 반경 rm 이고 두께 t인 원형 단면 박판 튜브가 토크 T를 받을 때, 평균 전단응력은? 길이가 L일 때 비틀림각은? 평균 전단응력: 극관성모멘트: Fig. 5-31 비틀림 공식에 의한 전단응력: 비틀림각: 전단응력의 분포는 두께가 얇아질수록 균일해진다.

33 예제 5.15 점 A와 B에서의 평균 전단응력은? 평균 전단응력: tA=5 mm tB=3 mm 비틀림각:
점 A와 B에서의 평균 전단응력은? TDE=35 N-m, TCD= 60 N-m 평균 전단응력: tA=5 mm Fig. 5-32 tB=3 mm 비틀림각:

34 예제 5.16 T=85 lb-ft에의한 점 A에서의 평균 전단응력은? 단, G=3.8(103) ksi. 평균전단응력:
T=85 lb-ft에의한 점 A에서의 평균 전단응력은? 단, G=3.8(103) ksi. T=85 lb-ft 평균전단응력: 비틀림각: ft  in로 통일

35 예제 5.17 두께 5mm의 A-36 강판 튜브의 최대 허용 토크는? 단, 허용 전단응력 allow=90 MPa, 허용 비틀림각 allow=2(10-3) rad 이다. 평균 전단응력: 비틀림각: 두 값 중 작은 값이 허용 토크

36 5.8 응력집중(급격한 단면 변화) K=f(r/d, D/d) 취성 재료: 피로 하중의 경우 중요 D/d
5.8 응력집중(급격한 단면 변화) K=f(r/d, D/d) shoulder fillet keyway coupling D/d 취성 재료: 피로 하중의 경우 중요

37 예제 5.18 점 A와 B에서 베어링 지지 된 다단축의 최대 응력은? 단, 연결부의 필렛 반경은 r=6 mm 이다.
점 A와 B에서 베어링 지지 된 다단축의 최대 응력은? 단, 연결부의 필렛 반경은 r=6 mm 이다. 내부토크: (b)의 자유물체도로부터 최대 전단응력: 기하학적 형상 비: 응력집중계수: 비틀림 공식에 의한 응력분포: 선형 실제응력분포: 비선형(응력집중으로)

38 5.9 비탄성 비틀림 는 항상 선형적 분포(∴기하학적 조건) 축에 가해진 토크 T:

39 최대탄성 토크 TY: max= Y 일 때 탄성식 성립

40 탄소성 토크: 단면이 소성 원환과 탄성코어로 구성됨
탄소성 토크: 단면이 소성 원환과 탄성코어로 구성됨 =y

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42 소성 토크: (전 영역의 응력이 =Y일 때)
소성 토크: (전 영역의 응력이 =Y일 때) 는 하나의 값으로 정해지지 않는다(∵  > Y 일 때 하나의 값이 아님) 그러나, 는 계속 선형적으로 분포한다.

43 극한 토크(ultimate torque): 실제 재료의 거동탄성-완전소성(∵ 변형경화)
극한 토크(ultimate torque): 실제 재료의 거동탄성-완전소성(∵ 변형경화) 전단응력의 최대값이 극한응력이 될 때의 변형률 및 응력 분포

44 예제 5.19 a) 항복이 발생하지 않고 축에 가할 수 있는 최대토크는? b) 축의 최대토크(소성토크)는? 이 때의 축 바깥면의 전단 변형률 최소값은? 최대 탄성토크 최대 탄성토크: 소성토크: TP>TY 약 20%

45 중공축의 내벽에서 전단 변형률이 0.286(10-3) rad일 때, 완전 소성임.
소성 토크 바깥면의 전단 변형률: 중공축의 내벽에서 전단 변형률이 0.286(10-3) rad일 때, 완전 소성임. 외벽의 변형률은 비례적으로 구함.

46 예제 5.20 반경 20mm, 길이 1.5m인 원형 단면 중실축을 =0.6 rad 만큼 비틀기 위한 토크는?
반경 20mm, 길이 1.5m인 원형 단면 중실축을 =0.6 rad 만큼 비틀기 위한 토크는? 최대 전단 변형률: Y는 비례관계로 구함(max > Y= rad ) 토크:

47 5.10 잔류응력 잔류응력은 항복응력이상으로 하중을 가했다가 제거할 때 발생. 점 C에서 하중을 제거하면,
5.10 잔류응력 잔류응력은 항복응력이상으로 하중을 가했다가 제거할 때 발생. 탄성재료거동 역방향 탄성재료거동 최대 탄성회복 전단응력-변형률 선도: 탄성-완전 소성 점 C에서 하중을 제거하면, 선분 CD를 따라 회복. 하중의 제거= 가해준 하중과 크기가 같고 방향이 반대인 하중을 추가. 이 때 거동은 탄성적(선형거동)임.

48 r <2Y 이므로 점 D를 지나지 않아 옳은 결과임을 알 수 있다.
하중의 제거:  역방향 토크 Tp의 중첩과 동일 r <2Y 이므로 점 D를 지나지 않아 옳은 결과임을 알 수 있다. 중첩된 결과: 축 중심(r= 0)에서  = Y 축 중심에서 재료가 변형. 실제: 축 중심에서 변형이 없음 비현실적.

49 탄소성 토크 작용 후 하중 제거

50 예제 5.21 길이 5 ft인 황동 합금 중공축에 소성 토크 Tp를 가한 후 제거하면, 잔류 전단응력과 영구 비틀림 양은?
길이 5 ft인 황동 합금 중공축에 소성 토크 Tp를 가한 후 제거하면, 잔류 전단응력과 영구 비틀림 양은? 소성 토크: ci=1에서 Y =0.002 rad일 때, 완전 소성이 됨. 비틂각: 하중 제거:

51 전단 탄성계수: 역방향 비틂각: 영구 비틂각:

52 5장 끝 질문 및 의견은? 시험준비는 잘 되었는지?