Final Examination, 2008 Fluid Mechanics

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1 Final Examination, 2008 Fluid Mechanics
환경공학과 오 하늘

2 IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics)

3 4.1 Search the database from the Internet for the information of the governing equation for the fluid analysis such as follows 1) Derivation of General Conservation Rule 일반적인 보존법칙이란 물리현상에서 상태가 변화함에도 불구하고 물리량은 변하지 않고 보존된다는 법칙. 에너지, 운동량, 각운동량, 전하, 바리온수 등이 보존법칙을 만족. 보존법칙이란 수학적으로 표현하면 일정한 변환에 대한 불변량으로 기술할 수 있는 법칙이며, 에너지보존법칙은 역학의 정준변환의 불변 량으로서 나타나는 것이라 할 수 있음. 고전역학에 따르면 처음 속도 u를 가진 질점이 속도 v로 변하였을 때 운동에너지의 변화= (m은 질점의 질량)은 외부에서 그 질점에 작용하는 힘이 하는 일과 같음.

4 2) Continuity Equation for the Mass Balance Rule
어떤 반응조에 유량Qi 가 농도 Ci 로 들어가서 분해되고 정화되어 반응 조에서 나올 때는 Qout 의 유량으로 Cout 의 농도를 지닌채 방류. 반응조에 들어간 총 유량 및 응집제를 섞어주기 위해서 들어간 물량과, 반응조 밖으로 배출되는 물량은 같아야 함. 그냥 유출입만 있다고 본다면, Qi = Qout 이 되어야 하며, 중간에 응집 제 주입을 위해서 투입된 유량이 있다면, Qi + Q(응집제) = Qout 이 되어야 함. 만약, 슬러지 배출을 위해서, 일정량의 유량을 반응조 내에서 빼게 된다면(Qw), Qi + Q(응집제) = Qout + Qw 즉, 일차방정식이 되고 농도도 같음. 즉, 물질수지는 식이 여러 개로 늘어날 뿐, 1차 방정식. 반응조 내에서 미생물의 증식속도 등등은 물질수지와는 관계없는 식이 며, 이는 2차 혹은 3차 방정식이 될 수 있음.

5 3) Equation of Motion for the Force Balance Rule
물체의 운동을 기술하기 위해서 변위, 속도, 운동량 등의 물리량을 사 용. 이러한 물리량들의 시간에 따른 변화를 나타내는 관계식이 운동방 정식. 뉴턴역학에서 질량이 변하지 않는 경우 F=ma로 표현되는 운동 제2법칙에 의해 운동방정식을 세울 수 있음. 위의 운동방정식은 시간 에 따른 변위와 힘(F)의 관계식  또는 시간에 따른 속도(v)와 힘(F)의 관계식 으로 볼 수 있음. 질량이 변하는 경우에는 로 운동량(p=mv)을 이용한 보다 일반 적인 뉴턴의 운동의 제2법칙을 사용. 자유낙하의 경우 로 운동방정식을 쓸 수 있음. 이로부터 이라는 시간에 따른 물체의 경로 관계식을 얻음.

6 4) Energy Equation for the Energy Balance Rule
계에 적용한 열역학 제 1법칙을 방정식으로 표현하면 단위질량당의 내부에너지를 e로 표기하고 대입하면, N=E 및 를 적용하면 계가 외부에 행한 일은 압력이 이동경계면에 대하여 행하는 유동 일 와 회전축에 발생하는 회전력과 같이 전단력에 의하여 행하 여지는 축일 Ws이 있음. δt시간 동안 압력에 의해서 행해지는 유동일은

7 일의 정의를 이용해 다시 정리하면 단위 질량당의 고유에너지 μ는 분자간격과 분자간의 인력에 기인 하는 에너지.(p, ρ및 T에 의존함)

8 4.2 Classify the fluid flow and describe the characteristics of the classified flows such as the equation of shear stress in the case of turbulent flow, etc. 난류운동에서 유체입자는 매우 불규칙한 행로를 따라 움직이면서 유체 의 한 부분으로부터 다른 부분으로 운동량을 수송. 유동이 난류운동을 하느냐 층류운동을 하느냐에 따라 난류유동을 하면 층류운동에 비하여 더 많은 전단응력이 발생되고 비가역적 특성이 높아져 손실에너지가 증가함. 또한 난류에서 손실은 속도의 1.7내지 2.0제곱에 비례하여 변 하나 층류에서는 속도에 비례하여 변함. 낮은 점성계수, 빠른 속도, 긴 유로가 조합이 되는 상태에서 층류는 불안정하게 되어 난류로 변해 버 림. 난류에 적용되는 방정식은 다음과 같음. 이상유체는 마찰이 없는 비압축성유체.이상유체의 가정은 항공기나 잠 수함 처럼 광활한 공간 속에서 유체유동을 해석할 경우에 유용. 마찰이 없는 유체는 점성이 없기 때문에 그 유동과정은 가역적.

9 정상유동은 유체내의 임의점에서 유동조건이 시간에 따라 변하지
않을때 일어남. 예컨대, 정상유동을 하는 유체의 어느 점에서 속도 가 +x방향으로 3m/s 이면 그 점에서의 속도의 크기와 방향은 시 간이 경과하더라도 정확히 같은 값을 유지. 비정상유동이란 임의점에서의 유동조건이 시간에 따라 변하는 유동. 등속도유동은 임의의 주어진 순간에 대하여 모든 점에서 속도벡터가 동일(크기 및 방향)한 유동 전유로에 걸쳐 유로단면적이 균일하고 각 단면에서의 평균속도가 주어진 임의 순간에 동일한 경우 등속도유동이라고 정의. 임의 순간에 속도벡터가 위치에 따라 변하는 유동 ( )을 비등속도유동이라 함.

10 4.3 Explain the stream equation.
검사체적으로 택하여 해석하는 것. 이 경우에는 선형운동방정식과 연속방정식을 적용하여 미분방정식을 얻게 됨. 그림과 같이 단면적이 ΔA, 길이가 Δs인 매우 작은 원통형 검사체 적을 택하여 s방향에 대한 운동방정식을 적용하면, 임. 검사체적에 작용하는 힘s의 성분은

11 가 됨. 이 식에서 독립변수는 s뿐이므로 운동량의 s성분의 정미유출속도를 구하면, 가 됨.
값은 앞의 그림 (d)에 연속방정식을 통해 두 식에서 를 소거하고 정리하면 앞에 식들에 대입하면, ρδAρδs로 양변을 나눈 다음 δA와 δs를 0으로 접근할 때의 극한값을 취하면 방정식은 가 됨. 여기서 2개의 가정이 전개됨. (1) 유동은 유선을 따름. (2) 유동은 마찰이 없는 유동. 만일 유동이 정류라면, 위의 식은 가 됨. 이 식에서 독립변수는 s뿐이므로 편미분을 전미분으로 바꾸면,

12 4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 질량보존의 법칙에 의하여 계안에서의 질량은 시간에 관계없이 일정 하게 보존됨(상대성 효과는 무시함). 이것을 방정식의 형태로 표시하면 이 됨. 계에 Newton의 제 2 운동법칙을 적용하면 일반적으로 가 됨. 여기서, m은 계의 일정질량임을 명심해야 한다. 또 ΣF는 중력과 같은 힘을 포함하여 계에 작용하는 모든 외력의 합력이고 v는 속도이다.

13 아래 그림은 적분 방법에 의한 계와 검사체적. Δt시간 동안 계가 가지는 특성 N의 증가는 다음과 같음. 우변의 를 가감시킨 후 Δt로 나누면 극한 값은

14 4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method.
1) 적분방법에 의한 연속방정식 유도 2) 미분방법에 의한 연속방정식 유도 이 관계를 개략적으로 나타내면,

15 그림에서 검사체적내의 질량은 ρΔxΔyΔz
시간에 대한 질량 변화율은 질량이 축적되는 속도이며, 임. 질량의 유출, 유입속도는 두 식을 질량평형식에 대입하여 양변을 ΔxΔyΔz로 나누면 다음과 같음. 이 식은 직교좌표에서의 연속방정식. 좌표계에 무관한 벡터형은 전미분의 수학적 표현은 연속방정식을 전미분 형태로 바꾸면

16 4.6 Derive the equation of Q=AV from the continuity equation of the integral method.
적분법의 연속방정식은 다음과 같음. 정류조건에서는 위 식의 우변의 1항은 0. 따라서, 다음과 같이 검사체적의 표면에서의 유입 유출 속도만 남음. 평균 유속을 사용하여 다시 정리하면, 만약 밀도가 변하지 않는 다면 위의 식은 다음과 같이 유량의 식으 로 정리.

17 4.7 Derive the Navier Stokes' Equation.
1) 적분법에 의한 운동량 방정식 2) 외부 힘의 합

18 3) 검사체적을 통과하는 선형운동량의 유출속도
검사체적을 통과하는 운동량 유출속도를 표현한 그림.

19 4) 검사체적내의 선형 운동량 변화 속도 5) 종합된 결과와 Navier-Stokes 방정식

20 성분별로 정리하면 다음과 같음. 위의 식은 응력-변형률 관계에 상관없이 모든 유체에 적용할 수 있으며, Stokes의 점성법칙으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있음.

21 4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this.
오일러 방정식을 유도할 수 있음. ds/dt는 입자의 시간에 대한 이동율, 즉 유속 v를 의미. as를 s 방향의 오일러방정식에 대입하고 정리하면

22 밀도가 일정할 경우 를 적분하면, 비압축성유동 에 대한 Bernoulli방정식을 얻음. 위 식은 단위질량당의 에너지를 나타냄. 양변을 g로 나누면 이 식은 단위 중량당의 에너지 즉, 를 나타 냄. 위에서 두번째 식에 ρ를 곱하면 유선상의 두 점에 를 적용하면

23 4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 적분방법에 의한 범용적인 보존의 법칙은 다음과 같음. 범용적보전식으로 부터 유도된 선형운동량방정식은 다음과 같음. 1) 운동 에너지 보정 계수 전체 유동을 각 단면에서 평균유속 V를 갖는 하나의 커다란 유관이 라고 생각. V2/2g로 주어지는 단위중량당의 운동에너지는 전단면에 걸쳐 취한 υ2/2g의 평균값이 아님. 한 단면을 흐르는 유체의 단위 중량당의 평균 운동에너지를 V2/2g의 항으로 나타내기 위해 그 단 면을 흐르는 단위중량당의 운동에너지와 같도록 만드는 운동에너지 보정계수 α를 계산할 필요가 있음.

24 단면에서의 유속분포와 평균 유속 그림을 보면

25 2) 운동량 보정계수 운동량는 힘*시간, 즉, 질량*유속으로 정의. 범용적 보전식의 단위질량당 운동량은 유속이다. 따라서, 적분 방식의 선형운동량방정식은 즉, 위의 운동량 방정식 중 경계면에서의 단면을 통과하는 운동 량만 남음.

26 4.10 The velocity profile in the turbulent flow is given by the equation of from the law of Prandt. Derive the kinetic energy correction factor for this. 운동에너지 보정계수는 임. 이 식에 를 대입. 따라서,

27 4. 11 What is the flow rate the of the venturi meter as shown below
4.11 What is the flow rate the of the venturi meter as shown below? (S=0.90, p1-p2=20kPa)

28 4.12 Find the force exerted on a fixed vane when a jet discharging 60 L/s water at 50 m/s is deflected through 135˚. 그림을 참조하며 식을 x,y방향에 적용 하면, 고정날개에 작용하는 힘의 성분은 각각 Fx, Fy 와 크기가 같고 방향이 반대.

29 4.13 Apply the continuity, momentum, and energy equation to the hydraulic jump and derive the relative equation to solve the problem of depth after jump by using the figures as shown below.