9장 가중치 그래프.

9장 가중치 그래프

순서 9.1 최소 비용 신장 트리 9.2 최단 경로 9.3 위상 순서 9.4 임계 경로

9.1 최소 비용 신장 트리 최소 비용 신장 트리(minimum cost spanning tree)
트리를 구성하는 간선들의 가중치를 합한 것이 최소가 되는 신장 트리 Kruskal, Prim, Sollin 알고리즘 갈망 기법(greedy method) 최적의 해를 단계별로 구함 각 단계에서 생성되는 중간 해법이 그 단계까지의 최적 신장 트리의 제한조건 전제 : 가중치가 부여된 무방향 그래프 n – 1 (n= |V| )개의 간선만 사용 사이클을 생성하는 간선 사용 금지

9.1.1 Kruskal 알고리즘(1) 방법 핵심 구현 한번에 하나의 간선을 선택하여, 최소 비용 신장 트리 T에 추가
비용이 같은 간선들은 임의의 순서로 하나씩 추가 핵심 구현 최소 비용 간선 선택 가중치에 따라 오름차순으로 정렬한 간선의 순차 리스트 유지 사이클 방지 검사 T에 추가로 포함될 정점들을 연결요소별로 정점 그룹을 만들어 유지 간선 (i, j)가 T에 포함되기 위해서는 정점 i와 j가 각각 상이한 정점 그룹에 속해 있어야 사이클이 형성되지 않음

9.1.1 Kruskal 알고리즘(2) 7 1 3 1 3 1 3 5 8 6 2 3 5 2 5 2 3 5 4 11 2 4 8 2 4 2 4 G=(V, E) T={ } S={{0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}} (a) T={(1,2) } S={{0}, {1,2}, {3}, {4}, {5}} (b) T={(1,2), (3,4) } S={{0}, {1,2}, {3,4}, {5}} (c) 1 3 1 3 1 3 8 6 6 2 3 5 2 3 5 2 3 5 4 4 4 2 4 2 4 2 4 T={(1,2), (3,4), (0,2) } S={{0,1,2}, {3,4}, {5}} (d) T={(1,2), (3,4), (0,2), (2,3) } S={{0,1,2,3,4}, {5}} 간선 (0,1)은 첨가 거절 (e) T={(1,2), (3,4), (0,2), (2,3), (3,5) } S={{0,1,2,3,4,5}} 간선 (1,3)은 첨가 거절 (f) Kruskal 알고리즘 수행 단계

9.1.1 Kruskal 알고리즘(3) Kruskal(G,n) //G=(E,V)이고 n=|V|, |V|는 정점 수 T  ;
edgelist  E(G); // 그래프 G의 간선 리스트 S0  {0}, S1  {1} , ... ,Sn-1 {n-1}; while (|E(T)|<n-1 and |edgeList|>0) do { // |E(T)|는 T에 포함된 간선 수, |edgeList|는 검사할 간선 수 select least-cost (i, j) from edgeList; edgeList  edgeList - {(i, j)}; // 간선 (i, j)를 edgeList에서 삭제 if ({i, j} ⊈ Sk for any k) then { T  T ∪ {(i, j)}; // 간선 (i, j)를 T에 첨가 Si  Si ∪ Sj; // 간선이 부속된 두 정점 그룹을 합병 } if (|E(T)|<n-1) then { print ('no spanning tree'); return T; end Kruskal()

9.1.2 Prim 알고리즘(1) 방법 구축 단계 한번에 하나의 간선을 선택하여, 최소 비용 신장 트리 T에 추가
Kruskal 알고리즘과는 달리 구축 전 과정을 통해 하나의 트리만을 계속 확장 구축 단계 하나의 정점 u를 트리의 정점 집합 V(T)에 추가 V(T)의 정점들과 인접한 정점들 중 최소 비용 간선 (u, v)를 선택하여 T에 추가, 정점은 V(T)에 추가 T가 n-1개의 간선을 포함할 때까지, 즉 모든 정점이 V(T)에 포함될 때까지 반복 사이클이 형성되지 않도록 간선 (u, v) 중에서 u 또는 v 하나만 T에 속하는 간선을 선택

9.1.2 Prim 알고리즘(2) 7 1 3 1 5 8 6 2 3 5 2 4 11 2 4 8 4 4 2 2 G=(V, E) (a) T={ } V(T)={0} (b) T={(0,2)} V(T)={0,2} (c) T={(0,2), (2,1)} V(T)={0,2,1} (d) 1 3 1 3 1 3 8 6 6 6 2 2 3 2 3 5 4 4 4 2 2 4 2 4 T={(0,2), (2,1), (2,3)} V(T)={0,2,1,3} (e) T={(0,2), (2,1), (2,3), (3,4)} V(T)={0,2,1,3,4} (f) T={(0,2), (2,1), (2,3), (3,4), (3,5)} V(T)={0,2,1,3,4,5} (g) Prim 알고리즘의 수행 단계

9.1.2 Prim 알고리즘(3) Prim(G, i) // i는 시작 정점 T  ; // 최소 비용 신장 트리
V(T) = { i }; // 신장 트리의 정점 while (|T| < n-1) do { if (select least-cost (u, v) such that u ∈ V(T) and v ∉ V(T) then { T  T ∪ {(u, v)}; V(T)  V(T) ∪ {v}; } else { print(“no spanning tree”); return T; end Prim()

9.1.3 Sollin 알고리즘(1) 방법 구축 단계 각 단계에서 여러 개의 간선을 선택하여, 최소 비용 신장 트리를 구축
구축 과정 중에 두 개의 트리가 하나의 동일한 간선을 중복으로 선정할 경우, 하나의 간선만 사용 구축 단계 그래프의 각 정점 하나만을 포함하는 n개의 트리로 구성된 신장 포리스트에서부터 시작 매번 포리스트에 있는 각 트리마다 하나의 간선을 선택 선정된 간선들은 각각 두 개의 트리를 하나로 결합시켜 신장 트리로 확장 n-1개의 간선으로 된 하나의 트리가 만들어지거나, 더 이상 선정할 간선이 없을 때 종료

9.1.3 Sollin 알고리즘(2) 7 1 3 1 2 3 4 5 5 8 6 2 3 5 4 11 2 4 8 G=(V, E) (a) 1 3 1 3 8 8 6 2 3 5 2 3 5 4 4 2 4 2 4 T={(0,2), (1,2), (3,4), (3,5)} S0=S1=S2={0,1,2}, S3=S4=S5={3,4,5} (b) T={(0,2), (1,2), (3,4), (3,5),(2,3)} S0=S1=S2=S3=S4=S5={0,1,2,3,4,5} (c) Sollin 알고리즘의 수행 단계

9.1.3 Sollin 알고리즘(3) Sollin(G, n) // G = (V, E), n = |V|
S0  {0}; S1  {1}; , ... , Sn-1  {n-1}; // n개의 노드 그룹으로 초기화 T  ; // 최소 비용 신장 트리 List  ; // 연산 단계에서 선정된 간선 while (|T| < n-1 and Edges ≠  ) do { for (each Si) do { select least-cost (u, v) from Edges such that uSi and vSi; if ((u, v)List) then List ← List ∪ {(u, v)}; // 중복 간선은 제거 } while (List  ) do { // List가 공백이 될 때까지 remove (u, v) from List; if ({u, v} ⊈ Su or {u, v} ⊈ Sv) then { // Su와 Sv는 각각 정점 u와 v가 포함된 트리 T  T ∪ {(u, v)}; Su  Su ∪ Sv; Edges  Edges – {(u, v)}; if ((|T| < n-1) then print(“no spaning tree”); return T; end Sollin()

9.2 최단 경로 하나의 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로 음의 가중치가 허용된 최단 경로 모든 정점 쌍의 최단 경로
시작점 v에서 목표점 t까지의 경로 중 최단 경로 0 이상의 가중치, 방향 그래프 음의 가중치가 허용된 최단 경로 음의 가중치 허용, 방향 그래프 모든 정점 쌍의 최단 경로 모든 정점을 시작점으로 하는 최단 경로 이행적 폐쇄 행렬 (transitive closure matrix) 경로의 존재 유무 가중치 없음, 방향 그래프

9.2.1 하나의 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단경로(1)
시작점 v에서 G의 나머지 모든 정점까지의 최단 경로 시작점 v와 목표점 t까지의 경로 중, 경로를 구성하는 간선들의 가중치 합이 최소가 되는 경로 방향 그래프 G=(V, E), weight[i, j] ≥ 0 2 5 경로 거리 0, 1 2 0, 4 3 0, 4, 2 4 0, 4, 3 5 3 1 2 10 6 4 1 2 2 3 4 (a) G = (V, E) (b) 최단 경로 방향 그래프와 최단 경로

Dijkstra 최단 경로 알고리즘의 원리 S : 최단 경로가 발견된 정점들의 집합 weight[i, j] : 아크 <i, j>의 가중치. Dist[i] : S에 속하지 않은 i에 대해서, v에서 시작하여 S에 있는 정점만을 거쳐 정점 i에 이르는 최단 경로의 길이 1. 처음 S에는 시작점 v만 포함, Dist[v]=0 2. 가장 최근에 S에 첨가한 정점을 u로 설정 3. u의 모든 인접 정점 중에서 S에 포함 되지 않은 w에 대해 Dist[w]를 다시 계산 Dist[w]=min{Dist[w], Dist[u] + weight[u, w]} 4. S에 포함되지 않은 모든 정점 w중에서 dist[w]가 가장 작은 정점 w를 S에 첨가 5. 모든 정점에 대한 최단 경로가 결정될 때까지 단계 2~4 를 반복

Dijkstra의 최단 경로 알고리즘 G의 n개의 정점을 0에서 n-1까지 번호를 붙임 S[] : 정점 i 가 S에 포함되어 있으면 S[i] = true, 아니면 S[i]=false로 표현하는 불리언 배열 weight[n, n] : 가중치 인접행렬 weight[i, j] : 아크 < i, j>의 가중치. 아크 <i, j>가 그래프에 포함되어 있지 않은 경우에는 아주 큰 값으로 표현 2 1 999 [4] [3] 6 [2] 10 4 [1] 3 5 [0] weight[5, 5] 2 5 3 1 2 10 6 4 1 2 2 3 4 G = (V, E) 그래프 G와 가중치 인접 행렬

2 1 999 [4] [3] 6 [2] 10 4 [1] 3 5 [0] weight[5, 5] 2 5 3 1 2 10 6 4 1 2 2 3 4 G = (V, E) 초기화: 시작 정점[0], Dist[0]  0; [0] [1] [2] [3] [4] S T F Dist 2 5 999 3

* Dist=0 for 루프 1 : 정점[1]을 선정 2 5 Dist[2]min{Dist[2], Dist[1]+weight[1,2]} Dist[3]min{Dist[3], Dist[1]+weight[1,3]} Dist[4]min{Dist[4], Dist[1]+weight[1,4]} 3 1 Dist=2 2 Dist=5 [0] [1] [2] [3] [4] S T F Dist 2 5 6 3 Dist=999 Dist=3 3 4 (a) s={0}, 정점 1 선정 Dist=0 2 5 for 루프 2 : 정점[4]를 선정 Dist[2]min{Dist[2], Dist[4]+weight[4,2]} Dist[3]min{Dist[3], Dist[4]+weight[4,3]} * 3 1 Dist=2 2 10 Dist=5 [0] [1] [2] [3] [4] S T F Dist 2 4 5 3 4 Dist=6 Dist=3 3 4 (b) s={0,1}, 정점 4 선정

for 루프 3 : 정점[2]를 선정 Dist=0 2 5 Dist[3]min{Dist[3], Dist[2]+weight[2,3]} Dist=4 3 [0] [1] [2] [3] [4] S T F Dist 2 4 5 3 1 2 Dist=2 4 1 Dist=5 * 2 Dist=3 3 4 (c) s={0,1,4}, 정점 2 선정 Dist=0 for 루프 4 : 정점[3]를 선정, 최단거리임 2 Dist=4 * 3 [0] [1] [2] [3] [4] S T Dist 2 4 5 3 1 Dist=2 2 6 4 1 Dist=5 2 Dist=3 3 4 (d) s={0,1,4,2}, 정점 3 선정

1 2 4 3 5 10 6 G = (V, E) Dist=0 2 Dist=4 3 1 2 Dist=2 1 Dist=5 2 Dist=3 3 4 (e) s={0,1,4,2,3} 3 5 4 2 [0],[1],[4],[2] [2] [0],[1],[4] [4] 6 [0],[1] [1] 1 999 [0] 초기화 [3] Dist[i] S=true인 정점 선택된정점 for 루프 그래프 G에 대한 shortestPath 수행 내용

Dijkstra의 최단 경로 알고리즘 shortestPath(v, weight, n) // v는 시작점, weight는 가중치 인접 행렬, n은 정점수 // create S[n], Dist[n] for (i0; i<n; ii+1) do { S[i]  false; // S를 초기화 Dist[i]  weight[v, i]; // Dist를 초기화 } S[v]  true; Dist[v]  0; for (i0; i<n-2; ii+1) do { // n-2번 반복 select u such that // 새로운 최단 경로를 선정 Dist[u] = min{Dist[j] | S[j] = false and 0≤j<n}; S[u]  true; for (w0; w<n; ww+1) do // 확정이 안된 경로들에 대해 다시 계산 if (S[w] = false) then { if (Dist[w] > (Dist[u] + weight[u, w]) then Dist[w]  Dist[u] + weight[u, w]; end shortestPath

9.2.2 음의 가중치가 허용된 최단 경로(1) 음의 가중치를 가진 방향 그래프
Dijkstra 알고리즘으로 최단 경로를 구할 수 없음 음의 길이값을 갖는 사이클은 허용하지 않음 사이클이 없는 최단 경로가 가질 수 있는 최대 간선 수 (n-1)를 이용하여 알고리즘 작성 6 1 2 8 -5 음의 가중치를 가진 방향 그래프 (최단경로 알고리즘에 적합치 않음) -2 1 2 1 1 길이가 음인 사이클을 가진 방향 그래프

9.2.2 음의 가중치가 허용된 최단 경로(2) Bellman and Ford 알고리즘의 원리
Distk[u] : 시작점 v에서 정점 u까지 최대 k개의 아크를 갖는 최단 경로의 길이 Dist1[u] = weight[v, u] Distn-1[u] : 시작점 v에서 정점 u까지의 최단 경로의 길이 만일 시작점 v에서 어떤 정점 u까지의 최단 경로가 최대 k개 (k>1)의 간선을 포함할 수 있는 경우에서 k-1개 이하의 간선만 포함 : Distk[u] = Distk-1[u] k개 간선을 포함 : 시작점 v에서 정점 u에 인접한 어떤 정점 i까지의 최단 경로를 포함하므로, Distk[u] = min{Distk-1[i]+weight[i, u]} Distk[u] ← min{Distk-1[u], min{Distk-1[i] + weight[i, u]} (k = 2, 3,…, n-1)

9.2.2 음의 가중치가 허용된 최단 경로(3) 1 4 2 5 3 ∞ [5] 3 [4] -1 -3 [3] 1 -2 [2]
∞ [5] 3 [4] -1 -3 [3] 1 -2 [2] [1] 5 6 [0] 1 -1 6 -2 4 5 1 2 3 -3 5 5 -1 3 (b) weight[6, 6] (a) 방향 그래프(시작점 0)

9.2.2 음의 가중치가 허용된 최단 경로(4) ∞ [5] 3 [4] -1 -3 [3] 1 -2 [2] [1] 5 6 [0]
∞ [5] 3 [4] -1 -3 [3] 1 -2 [2] [1] 5 6 [0] 2 -1 5 Disk5 4 Disk4 Disk3 3 Disk2 ∞ 6 Disk1 [5] [4] [3] [2] [1] [0] Dist[6] Diskk (b) weight[6, 6] (c) Dist5 계산 단계 Distk[u] ← min{Distk-1[u], min{Distk-1[i] + weight[i, u]} Dist2[1] ← min{Dist1[1] , min{ Dist1[0]+weight[0,1] , Dist1[2]+weight[2,1] } Dist2[2] ← min{Dist1[2] , min{ Dist1[0]+weight[0,2] , Dist1[3]+weight[3,2] } Dist2[3] ← min{Dist1[3] , min{ Dist1[0]+weight[0,3] } Dist2[4] ← min{Dist1[4] , min{ Dist1[1]+weight[1,4] , Dist1[2]+weight[2,4] } Dist2[5] ← min{Dist1[5] , min{ Dist1[3]+weight[3,5] , Dist1[4]+weight[4,5] }

9.2.2 음의 가중치가 허용된 최단 경로(5) Bellman and Ford 알고리즘
negativeWeightPath(v, n) // 음의 가중치가 허용된 방향 그래프 G=(V, E)에서 단일 시작점 v로부터 // 모든 종점까지의 최단 경로 탐색 // 음의 길이를 갖는 사이클은 허용되지 않음 // n은 정점의 수 (0, 1, …, n-1) for (i0; i<n; i  i+1) do { Dist[i]  weight[v, i]; // Dist를 초기화 for (k  2; k< n-1; k  k+1) do { for (each u such that u≠v and indegree(u)>0) do { for (each <i, u>  E) do { // 진입차수가 0보다 큰 모든 정점에 대해 if (Dist[u] > Dist[i] + weight[i,u]) then Dist[u]  Dist[i] + weight[i, u]; } end negativeWeightPath()

9.2.3 모든 정점 쌍의 최단 경로(1) 모든 정점 쌍의 최단 경로 하나가 아닌 모든 정점을 시작점으로 하는 최단 경로
각 정점을 시작점으로 n번 shortestpath 알고리즘 사용 음이 아닌 가중치 : O(n3), 음의 가중치 : O(n4) 인접리스트 : O(n2 · e) 음의 가중치를 가진 그래프의 모든 쌍에 대한 최단 경로를 O(n3)에 찾을 수 있는 알고리즘 그래프 G를 가중치 인접 행렬 D로 표현 Dk[i, j] : 정점 i에서 j까지의 최단 경로로, 정점 인덱스가 0에서 k까지인 정점만 중간 정점으로 이용할 수 있음 Dn-1[i, j] : 최단 경로(∵ n-1보다 큰 인덱스를 가진 정점이 없음) D-1[i, j] : 중간 정점 없는 행렬(= weight[i, j]) 행렬 D-1에서부터 시작하여, 계속 최단 거리 행렬 Dn-1까지 생성 Dk[i, j] ← min{Dk-1[i, j], Dk-1[i, k]+ Dk-1[k, j]}, k≥0

9.2.3 모든 정점 쌍의 최단 경로 (2) Dk[i, j] ← min{Dk-1[i, j], Dk-1[i, k]+ Dk-1[k, j]}, k≥0 1.정점 i에서 j까지의 최단경로 탐색에서 인덱스가 k인 정점까지 이용할 수 있는 환경에서 정점k가 최단경로에 포함되지 않는다면 그 최단 경로 Dk[i, j]는 Dk-1[i, j]와 같다. 2. 정점 i에서 j까지의 최단경로 탐색의 인덱스가 k인 정점까지 이용할 수 있는 환경에서 정점 k가 최단경로에 포함되어야 한다면 (i,k)와 (k,j)모두 최단 거리이어야 하고 그 경로상에 있는 정점의 인덱스는 모두 k-1이하이다. 따라서 이때 Dk[i, j]는 Dk-1[i, k]+ Dk-1[k, j]가 된다.

9.2.3 모든 정점 쌍의 최단 경로(2) allShortestPath 알고리즘 allShortestPath(G, n)
// G=(V, E), |V|=n for (i0; i<n; ii+1) do { for (j0; j<n; jj+1) do { D[i, j]  weight[i, j]; // 가중치 인접 행렬을 복사 } for (k0; k<n; kk+1) do { // 중간 정점으로 0에서 k까지 사용하는 경로 for (i0; i<n; ii+1) do { // 모든 가능한 시작점 for (j0; j<n; jj+1) do { // 모든 가능한 종점 if (D[i, j] > (D[i, k]+D[k, j])) then // 보다 짧은 경로가 발견되었는지를 검사 D[i, j]  D[i, k]+D[k, j]; end allShortestPath()

9.2.3 모든 정점 쌍의 최단 경로(3) 2 1 3 그래프 G에 대한 allShortestPath 알고리즘의 수행 내용 7
7 1 ∞ [3] 4 -1 [2] 3 5 [1] 9 2 [0] D-1 7 1 ∞ [3] 4 -1 [2] 3 5 [1] 9 2 [0] D0 2 -1 2 5 4 7 4 1 1 3 3 (a) G=(V, E) (b) D-1(weight[4,4]) (c) D0 5 1 6 [3] 4 -1 [2] 3 [1] 2 [0] D1 D0[2,1] = min{D-1[2,1], D-1[2,0]+D-1[0,1]} = min{∞, -1+2} = 1 D1[3,2] = min{D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2]} = min{7, 1+4} = 5 (d) D1 그래프 G에 대한 allShortestPath 알고리즘의 수행 내용

9.2.3 모든 정점 쌍의 최단 경로(4) 2 1 3 그래프 G에 대한 allShortestPath 알고리즘의 수행 내용 7
7 1 ∞ [3] 4 -1 [2] 3 5 [1] 9 2 [0] D-1 7 1 ∞ [3] 4 -1 [2] 3 5 [1] 9 2 [0] D0 2 -1 2 5 4 7 4 1 1 3 3 (a) G=(V, E) (b) D-1(weight[4,4]) (c) D0 5 1 6 [3] 4 -1 [2] 3 [1] 2 [0] D1 5 1 4 [3] -1 [2] 3 [1] 6 2 [0] D2 5 1 4 [3] -1 [2] 3 [1] 6 2 [0] D3 (d) D1 (e) D2 (f) D3 그래프 G에 대한 allShortestPath 알고리즘의 수행 내용

9.2.4 이행적 폐쇄(1) 이행적 폐쇄(transitive closure) 이행적 폐쇄 행렬(D+)
가중치가 없는 방향 그래프 G에서 임의의 두 정점 i에서 j까지의 경로가 존재하는지 표현 이행적 폐쇄 행렬(D+) D+[i, j] = 1 : 정점 i에서 j까지 길이가 0보다 큰 경로 존재 반사 이행적 폐쇄 행렬(D*) D*[i, j] = 1 : 정점 i에서 j까지 길이가 0 이상인 경로 존재

9.2.4 이행적 폐쇄(2) 2 1 3 방향 그래프 G와 행렬 A, D+, D* [3] 1 [2] [1] [0] A [3] 1
[3] 1 [2] [1] [0] A 2 1 3 (a) 방향 그래프 G=(V, E) (b) 인접 행렬(A) [3] 1 [2] [1] [0] D+ 1 [3] [2] [1] [0] D* (c) 이행적 폐쇄 행렬(D+ ) (d) 반사 이행적 폐쇄 행렬(D1*) 방향 그래프 G와 행렬 A, D+, D*

9.2.4 이행적 폐쇄(3) D+ : allShortestPath 알고리즘 이용
그래프 G에 간선 <i, j>가 있으면 D-1[i, j]=1, 없으면 D-1[i, j] = ∞로 초기화 실행 끝내면서 D-1[i, j] < ∞인 것은 D+[i, j] = 1으로 만들고, D-1[i, j] = ∞인 것은 D+[i, j] = 1로 만듦 D* : D+에서 D+[i, i] 값을 1로 만듦 불리언 행렬 사용 인접 행렬과 D+를 true, false 값을 갖는 행렬로 만듦 Dk[i, j] ← Dk-1[i, j] OR (Dk-1[i, k] AND Dk[k, j]), k≥0

9.3 위상 순서(1) AOV(activity on vertex) 네트워크 선행 관계(precedence relation)
작업간의 선후 관계를 나타내는 방향 그래프 정점 : 작업, 간선 : 작업들 간의 선후 관계 선행 관계(precedence relation) 정점들 간의 선행자와 후속자 관계 선행자(predecessor) 정점 i에서 j까지 방향 경로가 있을 때, i 는 j의 선행자 직속 선행자(immediate predecessor) 후행자(successor) 정점 i 에서 j까지 방향 경로가 있을 때, j는 i 의 후행자 직속 후행자(immediate successor) 5 1 2 4 3 AOV 네트워크 G

9.3 위상 순서(2) 부분 순서(partial order) 위상 순서(topological order)
이행적이고, 비반사적인 선행 관계일 때 집합 S와 S에 대한 관계 R에서 S의 원소 i, j, k에 대하여, R은 S에서 이행적(transivive) : iRj & jRk이면 항상 iRk가 성립 R은 S에서 비반사적(irreflexive) : 모든 i에 대해 iRi 성립하지 않음 비대칭(asymmetric) : iRj이면, jRi는 성립하지 않음 DAG(directed acyclic graph) 위상 순서(topological order) 방향 그래프에서 두 정점 i와 j에 대해, i 가 j의 선행자이면 반드시 i 가 j보다 먼저 나오는 정점의 순차 리스트 위상 순서 : 0, 1, 2, 3, 4, 5 선행 관계 : 1 2 3 4 5 위상 순서 예

9.3 위상 순서(3) 위상 정렬 알고리즘 topologicalSort(AOVnetwork, n)
// G=(V, E), n=|V| for (i0; i<n; ii+1) do { select u with no predecessor; // uV, indegree=0 if (there is no such u) then return; print(u); remove u and all arcs incident from u; } end topologicalSort

9.3 위상 순서(4) 5 1 2 4 3 5 1 2 4 3 5 2 4 3 정점 0 삭제 위상 순서 : 0 (a) 정점 1 삭제 위상 순서 : 0, 1 (b) 정점 2 삭제 위상 순서 : 0, 1, 2 (c) 5 4 3 5 4 5 정점 3 삭제 위상 순서 : 0, 1, 2, 3 (d) 정점 4 삭제 위상 순서 : 0, 1, 2, 3, 4 (e) 정점 5 삭제 위상 순서 : 0, 1, 2, 3, 4, 5 (f) 생성된 최종 위상 순서 : 0, 1, 2, 3, 4, 5 (g) 위상 정렬 알고리즘의 수행 과정

9.3 위상 순서(5) 위상 순서를 위한 인접 리스트 구조 기존 인접 리스트에 indegree 필드 추가
정점의 진입 차수를 유지 필드의 값은 초기에 인접 리스트를 구축하면서 결정 필드값이 0인 정점들은 큐나 스택을 이용하여 관리 vertex indegree link vertex link [0] 1 2 null 1 3 [1] 1 3 4 null 5 [2] 1 3 4 null 2 4 [3] 2 5 null AOV 네트워크 G [4] 2 5 null [5] 2 null 위상 순서를 위한 AOV 네트워크 G에 대한 인접 리스트 구조

9.3 위상 순서(6) 위상 정렬 프로그램 (C) void topologicalSort(DAG g[], int n) {
/* 위상정렬을 수행하는 함수 */ int i, v, w; listNode *temp; linkedQ* zeroPredQ; linkedQ* topSort; zeroPredQ = createQ(); topSort = createQ(); for (i = 0; i < n; i++) { if (g[i].indegree == 0) { /* 진입차수가 0인 정점을 큐 zeroPredQ로 이동 */ enqueue(zeroPredQ, i); } } if (zeroPredQ->length == 0) { /* 주어진 DAG에 진입차수가 0인 정점이 없으면 사이클 */ printf("network has a cycle"); exit(1);

9.3 위상 순서(7) while (zeroPredQ->length > 0) {
/* 진입차수가 0인 정점들을 큐에서 하나씩 삭제 처리 */ v = dequeue(zeroPredQ); /* 진입차수가 0인 정점을 결과 리스트 topSort에 삽입 */ enqueue(topSort, v); if (g[v].link->length == 0) continue; /* 정점 v의 후속자가 없으면 밖의 while 루프로 이동 */ else w = dequeue(g[v].link); /* 후속자가 있으면, 그 후속자를 w로 설정 */ while (1) { /* v의 후속자(w)의 진입차수를 감소시킴 */ g[w].indegree-- ; if (g[w].indegree == 0) /* 진입차수가 0이 되면 zeroPredQ에 삽입 */ enqueue(zeroPredQ, w); if (g[v].link->length != 0) w = dequeue(g[v].link); else break; } }

9.3 위상 순서(8) printf ("Topological Order is : "); /* 위상 정렬 결과를 프린트 */
/* 위상 정렬 결과를 프린트 */ while (topSort->length > 0) { v = dequeue(topSort); printf("%d ", v); } printf("\n"); printf("End\n"); free(zeroPredQ); free(topSort); }

9.3 위상 순서(9) 1 3 5 2 4 위상 정렬의 main() 함수 int main() {
int n; n = 6; DAG g[n]; initializeDAG(g, n); insertArc(g, 0, 1); /*정점 0의 아크들을 삽입*/ insertArc(g, 0, 2); insertArc(g, 1, 3); /*정점 1의 아크들을 삽입*/ insertArc(g, 1, 4); insertArc(g, 2, 3); /*정점 2의 아크들을 삽입*/ insertArc(g, 2, 4); insertArc(g, 3, 5); /*정점 3의 아크들을 삽입*/ insertArc(g, 4, 5); /*정점 4의 아크들을 삽입*/ topologicalSort(g, n); return 0; } 1 3 5 2 4 AOV 네트워크 G Topological Order is : End. AOV 네트워크 G에 대한 위상 정렬의 실행 화면 위상 정렬의 main() 함수

9.4 임계 경로(1) AOE(activity on edge) 네트워크 프로젝트의 스케줄을 표현하는 DAG
정점 : 프로젝트 수행을 위한 공정 단계 간선 : 공정들의 선후 관계와 각 공정의 작업 소요 시간 CPM, PERT 등 프로젝트 관리 기법에 사용됨 7개의 공정(P0, P1, P2, P3, P4, P5, P6)과 9개의 작업(a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8)로 구성된 프로젝트 스케쥴 a3(5) P1 P6 a0(4) a4(3) a8(5) a1(2) a5(1) a7(2) P0 P2 P4 P5 a2(3) a6(4) P0 : 프로젝트 시작 P6 : 프로젝트 완료 ( ) : 소요시간 P3 AOE 네트워크

9.4 임계 경로(2) 임계 경로(critical path)
시작점에서 완료점까지 시간이 가장 많이 걸리는 경로 하나 이상의 임계 경로가 존재 공정 Pi의 조기 완료 시간(earliest completion time ; EC(i)) 시작점에서부터 공정 Pi까지의 최장 경로 길이 EC(4)=3 EC(5)=7 EC(6)=12 공정 Pi의 완료 마감 시간(latest completion time ; LC(i)) 전체 프로젝트의 최단 완료 시간에 영향을 주지 않고 공정 Pi가 여유를 가지고 지연하여 완료할 수 있는 시간 (전체 프로젝트 완료시간)-(공정Pi에서 최종공정까지 최장 경로 길이) LC(4)=5 LC(5)=7

9.4 임계 경로(3) 공정 Pi의 임계도(criticality) 임계 작업(critical activity)
EC(i)와 LC(i)의 시간 차이 임계 작업(critical activity) 임계 경로 상에 있는 작업들 작업 a(<i, j>) : EC(i)=LC(i)이고, EC(j)=LC(j)인 작업 임계 경로 분석(critical path analysis)의 목적 임계 작업을 식별해서 이들에 자원을 집중시킴으로 프로젝트 완료 시간을 단축

9.4 임계 경로(4) 공정 조기 완료 시간(EC(j)) 계산
weight(i, j) : 작업 <i, j>에 소요되는 작업 시간 EC(0) ← 0 EC(j) ← max {EC(i) + weight(i, j), j로 진입하는 모든 i} AOE 네트워크의 위상 순서에 따라 계산 2 4 5 1 3 6 a0(4) a1(2) a2(3) a5(1) a6(4) a3(5) a4(3) a8(5) 7 a7(2) 12 각 공정의 조기 완료 시간 E(i) (정점 위의 숫자) EC(6)=12는 프로젝트를 완료하는데 걸리는 최소한의 소요시간

9.4 임계 경로(5) 공정 완료 마감 시간(LC(i)) 계산 LC(n-1) ← EC(n-1)
LC(i) ← min {LC(j) – weight(i, j), i에서 진출하는 모든 j} AOE 네트워크 위상 순서의 역순으로 계산 2 4 5 1 3 6 a0(4) a1(2) a2(3) a5(1) a6(4) a3(5) a4(3) a8(5) 7 a7(2) 12 각 공정의 완료 마감 시간 LC(i) (정점 아래 숫자)

9.4 임계 경로(6) 작업 임계도(CR(i, j)) 계산
CR(<i, j>) ← LC(j) – (EC(i) + weight(i, j)) 작업의 임계도(괄호 안의 두 번째 숫자) 2 4 5 1 3 6 a0(4,0) a1(2,2) a2(3,0) a5(1,2) a6(4,0) a3(5,3) a4(3,0) a8(5,0) 7 a7(2,2) 12

9.4 임계 경로(7) 임계 작업으로 구성된 임계 경로 네트워크에서 임계도가 0인 임계 작업만 남기고 제거
5 1 3 6 a0(4) a2(3) a6(4) a4(3) a8(5) 임계 작업으로 구성된 임계 경로 임계 경로 0, 1, 5, 6 0, 3, 5, 6

Summary 9.1 최소 비용 신장 트리 9.2 최단 경로 9.3 위상 순서 9.4 임계 경로

9장 가중치 그래프.

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