응력과 변형률 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering

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1 응력과 변형률 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea

2 인장시험, 재료의 거시적 거동 특성 <SCM435> <ESW95> <ESW105>

3 인장시험

4 인장시험 AFDEX/MAT ⊙ True stress-strain curves
⊙ Tensile load-elongation curves ⊙ True stress-strain curves AFDEX/MAT

5 응력-변형률의 정의 인장시험 단면적 A 단면적 A0

6 인장시험, 진응력-변형률, 공칭응력-변형률 인장시험 의 정의 및 관계 단면적A 단면적A0 <네킹 발생 이전>
지금까지 역학을 이루는 3대 요소 중 힘, 변형 두 가지에 관하여 설명하였습니다. 이제 힘과 변형의 관계에 관하여 설명하도록 하겠습니다. 이 그림은 인장시험을 설명하는데 필요한 변수들을 정의하고 있습니다. 초기에 길이가 L0, 단면적이 A0 인 시편이 하중 P를 받아 길이가 delta 만큼 늘어나면서 단면이 A로 줄어들었다고 가정합니다. 이 때 공칭변형률, nominal strain(노말 스트레인), epsilon e(잎실론 이)는 늘어난 길이 delta를 본래의 길이L0(엘 제로)로 나눈 값으로 정의됩니다. 그리고 공칭응력, nominal stress(노말 스트레스), sigma e(시그마 이)는 현재의 하중 P을 원래의 단면적 A0(에이 제로)로 나눈 값으로 정의됩니다. 진변형률, true strain(트루 스트레인)은 늘어난 미소길이 delta L(델타 엘)을 현재의 길이 L로 나눈 값을 적분하여 구한 것이며, 이 식으로 정의됩니다. Lf(엘 에프)가 L0(엘 제로) 더하기 delta이므로 진변형률 epsilon t(잎실론 티)는 자연로그 (1+epsilon e)(일 플러스 잎실론 이)가 됩니다. 따라서 진변형률 값은 공칭변형률 값에 비하여 약간 작습니다. 진응력, true stress, sigma t는 현재의 하중 P를 현재의 단면적 A로 나눈 것으로 소성변형 중 체적의 변화가 없다고 가정하면, 이 식에 의하여 공칭응력과 공칭변형률로 표현됩니다. 이 곡선은 인장시험에서 얻은 공칭응력 공칭변형률 곡선입니다. 네킹이 시작되는 점에서 최대 공칭응력을 나타내며, 이 공칭응력 epsilon F을 인장강도, 즉 tensile strength(텐샬 스트렝스)라고 합니다. 그리고 파단이 발생한 시점에서의 공칭변형률 epsilon F에 100을 곱한 수치를 재료의 연신율, 즉 elongation(일롱게이션)이라고 부릅니다. 물론 초기항복이 발생할 때의 공칭응력을 항복강도, 즉 yield strength(일드 스트렝스)라고 합니다. 이 영역에서는 공칭응력과 공칭변형률이 선형관계에 있으며 그 기울기를 E라고 표시하고 탄성계수 또는 영률이라고 합니다. 물론 P점 즉 비례한계를 넘어가면 Y점까지 비선형탄성 거동 특성을 보입니다. 비례한계, 즉 proportional limit(프로포쇼날 리미트) 이내에서는 하중과 변형이 선형적 관계에 있으므로 후크법칙으로 설명됩니다. 이제 진응력 진변형률 곡선에 관하여 공부하도록 하겠습니다. 일반적으로 탄성범위 내에서는 진응력 진변형률 곡선이 공칭응력 공칭변형률 곡선과 일치한다고 할 수 있습니다. 소성영역에서는 이 식과 이 식을 이용하여 관계곡선을 그림처럼 그릴 수 있습니다. 대개 파단이 발생할 때까지 변형경화가 계속 발생하는 것으로 보고 있습니다. 한편, 이 그림에서 후크법칙은 sigma 는 E epsilon(이 잎실론)으로 표현됩니다. 이를 선형탄성 재료를 위하여 일반화시키면 이 식으로 표현됩니다. Cijkl(씨 아이제이케이엘)을 탄성상수라고 합니다. 탄성상수는 이러한 조건 때문에 21개의 독립적인 상수로 구성되어 있습니다. 만약 소재가 직교이방성 재료일 경우 탄성상수는 9개로 줄어들고, 횡등방성재료의 경우에는 5개로 줄어들며, 등방성 재료의 경우에는 2 개, 즉 E(영스 모듈러스)와 mu(뮤)로 줄어듭니다. 이제 등방성 재료에 관한 후크법칙을 유도해 보도록 하겠습니다. 세 변의 길이가 1인 정육면체의 등방성 재료를 고려해 봅시다. 한 면을 x축과 일치시키고, 그림처럼 그 면과 반대편 면에 sigma xx의 응력을 분포시키면, x방향으로는 sigma xx/E(이 분의 시그마 엑스엑스) 만큼의 변형률이 발생하고, y축과 z축으로는 재료의 고유 특성치인 Poisson(포아송)비만큼, 즉 -mu epsilon xx(마이너스 뮤 잎실론 엑스엑스)만큼의 변형률이 발생합니다. 즉 sigma xx에 의하여 이 식에서 이 항 이 항 이 항의 변형률이 발생합니다. 마찬가지로 sigma yy, sigma zz에 대해서도 동일한 설명이 가능합니다. 따라서 이 3 개의 식이 유도됩니다. 전단응력과 전단변형률의 관계는 이 식과 같습니다. 이 여섯 개의 식을 등방성 재료에 대한 일반화된 후크법칙이라고 합니다. 이 여섯 개의 식을 지수표현법으로 쓰면, 이 식이 됩니다. 이 식에서는 열변형이 고려되었습니다. 그리고 이 식을 응력에 관하여 표현하면, 이 식으로 되고 여기서 mu(뮤)와 lamdha(람다)를 Lame(르메) 상수라고 합니다. <인장시험의 해석>

7 후크법칙 (Hooke’s law) 인장시험 단축인장시험에서 후크법칙 <인장시험의 해석>

8 1차원 문제에서 변형과 응력 정리 스프링 (Spring) 봉 (Rod) Truss member Stress Strain
Force-deformation relationship Strain Hooke’s law Displacement Strain energy

9 축력이 변화하는 봉에 작용하는 변위, 변형률, 응력

10 보의 전단력과 굽힘모멘트 보에서 좌표 축의 정의 보의 단면의 정의(단면은 항상 두 개) 보의 단면에 작용하는 힘과 모멘트
대칭축 Negative x-face Positive x-face 중립축 단면에서는 작용과 반작용법칙 준수 보의 단면에 작용하는 힘과 모멘트 첫번째 하첨자: 면의 방향 두번째 하첨자: 힘의 방향 2차원 3차원

11 보의 내부에 작용하는 힘의 상태 굽힘모멘트와 굽힘응력 = 전단력과 전단응력 =

12 개론 - 세장부재, 보의 정의와 특징 가느다란 긴 부재(세장부재, Slender member)에 작용하는 힘과 응력
트러스 부재 (Truss member) 또는 봉 (Rod) 보에 작용하는 응력 축력 법선응력 원형축 (Circular shaft) 비틀림모멘트 전단응력 보 (Beam) 기둥 (Column) 측력-굽힘모멘트, 전단력 법선응력, 전단응력 I-beam, H-beam 압축력 좌굴 Column Flange Buckled Web

13 파손 원인 분석-Peak point에서 금형 구조해석 결과의 비교
⊙ Effective stress (Left) and circumferential stress (Right) at the possible die-fracture stroke 16mm C L C L 779MPa -18MPa 2850MPa 871MPa (a) SCM435 (b) ESW105 ⊙ Reference data 초경합금의 압축강도가 2683MPa인 반면, 인장강도는 344MPa 이다.

14 2차원 평면 및 3차원 공간의 응력요소와 응력성분 2차원 평면상에서의 응력 3차원 공간상의 응력 응력텐서의 대칭성
역학에서 공간에서의 점 역학에서 평면에서의 점 여기서는 평형방정식과 운동방정식을 유도하고 응력텐서가 대칭텐서임을 증명하겠습니다. 먼저 학부과정의 고체역학에서 배운 방식으로 평형방정식을 유도해 보도록 하겠습니다. 평면응력 문제라는 가정하에서 설명하겠습니다. 그림에서 하나의 점을 분리하여 응력을 표시하면 이 그림과 같습니다. 마주보는 면에서 작용하는 응력은 작용과 반작용의 법칙에 따라 크기는 같고 방향이 반대입니다. 그러나 오른쪽의 그림처럼 미소면적을 분리하였을 경우, 각 면에 작용하는 응력은 일반적으로 서로 다릅니다. 그 차이를 델타 sigma(시그마)로 표현하였습니다. delta sigma xx(델타 시그마 엑스엑스)는 x방향으로의 위치 변화만 있으므로 이러한 관계에 있게 됩니다. 다른 것도 마찬가지입니다. 이 미소면적에 x 방향으로의 힘의 평형조건을 적용하면, 이 식과 같이 됩니다. 이 그림에서 이 두 힘은 상쇄되고 이 두 힘도 상쇄됩니다. 결국 남는 것은 delta sigma xx와 delta sigma yx 밖에 없습니다. 따라서 결과적으로 이 항에서 발생하는 여분의 힘은 이 항에서 발생하는 힘과 체적력에 의해서 발생하는 힘이 잡아 주어야 합니다. 그 결과가 이 식, 즉 평형방정식으로 나타난 것입니다. y방향으로도 마찬가지입니다. 고등역학에서는 임의의 부피 V'(브이 프라임)과 표면 S'(에스 프라임)에 작용하는 외력의 합이 영이 되도록 함으로써 평형방정식을 유도합니다. 외력은 표면력 t i(n)(티 아이 엔)과 체적력 fi(에프 아이) 로 이루어져 있습니다. 외력의 합은 이 식에서 보는 바와 같이 표면력을 표면 S'에 대하여 적분한 힘과 체적력을 V'에 대해서 적분한 힘으로 이루어져 있습니다. Cauchy(코지)의 공식에 의하여 표면력이 응력과 외향법선벡터로 표현되고, 발산이론을 적용하면, 다음의 식을 얻게 됩니다. 여기서 V'은 임의의 체적이므로 이 식이 성립하기 위해서는 피적분함수가 0이 되어야 합니다. 즉, 이 식이 성립하며, 이 식을 풀어 쓰면 이렇게 됩니다. 운동방정식도 마찬가지입니다. 단지 가속도 항을 추가로 고려하면 됩니다. 결과는 이렇게 됩니다. 한편, 어떤 점에 대한 외력의 모멘트의 합이 0이라는 조건을 적용하면, 이 식이 유도됩니다. 첫 번째 항은 표면력에 의한 것이고, 두 번째 항은 체적력에 의한 것입니다. 이 식을 지수표현법으로 다시 쓰면 이렇게 됩니다. 여기서 Cauchy(코지)의 공식을 이용하여 응력벡터를 응력텐서와 외향법선벡터로 표현하고 발산이론을 적용하여 정리하면, 이 식을 얻게 됩니다. 이 식에서 이 항은 평형방정식으로부터 0이 되므로 결국 이 식이 성립해야 합니다. 이 식은 응력텐서가 대칭텐서임을 뜻합니다. 응력텐서의 대칭성 평면응력

15 변형률의 일반화 2차원 평면변형 문제 변형률텐서 undeformed deformed

16 등방성 재료와 포아송 비 Small deformation 중첩원리 Poisson’s ratio

17 등방성재료에 대한 일반화된 후크법칙 Small deformation 중첩원리 열팽창계수 등방성 재료에 대한 일반화된 후크법칙
Poisson’s ratio 등방성 재료에 대한 일반화된 후크법칙

18 대칭성 논리-봉(Rod) = = (X) (X) (X) (O) Saint-Venant’s principle P P P P P P
End Effect ⊙분포하중과 그에 상응하는 집중하 중은 하중이 가해지는 부분의 역 학적 현상에는 직접적인 영향을 주지만, 이로부터 멀어질수록 그 영향은 적어지며, 적절한 거리를 벗어나면 두 하중에 기인하는 역 학적 거동 특성은 동일함. = P UP Down P Non-end Effect P Down = UP P 대칭성 End-Effect P P P P (X) (X) (X) (O) n 개 P/n P ●●● P

19 내력의 가시화, 응력벡터 =

20 내력과 응력성분-법선응력과 전단응력

21 법선응력 예제 1.1 (p.5) 봉에서의 법선응력? <F. B. D.>

22 단축부하 하에서의 법선응력 예제 1.2 (p.6) (a). 8 kN 의 하중 P가 C에 작용할 때, 부재 (1)에서의 법선응력은? (b). 부재 (1) 의 최대 법선응력이 50MPa로 제한, 강체 부재 C지점에서 하중 P ? 부재의 단면적 =

23 단축부하 하에서의 법선응력 예제 1.3 (p.7) 봉에서의 법선응력 크기가 60 MPa을 초과하지 않아야 할 때, 봉에 적용될 수 있는 최소 두께?

24 직접전단응력 예제 1.4 (p.10) 핀에서의 최대 허용전단응력이 90 MPa 일 때 핀의 최소 허용지름 d 는 ?

25 직접전단응력 예제 1.6 (p.13) 강판에 0.75 in. 지름의 구멍을 낸다. 강판에서의 평균 전단응력은 ?

26 지탱응력 예제 1.7 (p.14) (a). 강 파이프 기둥과 강으로 제작된 판 사이의 지탱응력은 ?
(b). 지탱응력이 90 psi를 초과하지 않아야 할 때, 판의 최소 치수 a ?

27 법선응력과 전단응력 예제 1.9 (p.26) 법선응력과 전단응력이 각각 80 MPa와 45 MPa로 제한됨, 봉에 요구되는 최소 두께는 ? t n L

28 법선변형률 예제 2.1 (p.36) 하중 P가 작용된 후 봉(2)가 800με의 법선 변형률을 가진다.
(a). 봉 (1)의 축방향 법선변형률은 ? (b). 하중이 작용하기 전, 강체 부재와 봉 (2) 사이에 1mm의 간격이 있을 경우 봉(1)의 축방향 법선변형률은 ? (a) (b) (a) (b)

29 전단변형률 예제 2.2 (p.44) P 지점에서의 전단변형률 는 ? 소각도 근사를 이용

30 전단변형률 예제 2.3 (p.45) P 지점에서의 전단변형률 는 ? 소각도 근사를 이용

31 열변형률 예제 2.4 (p.48) 총 길이 150 m의 강재 교량보. 1년 동안 교량은 -40 에서 40 사이의 온도에 노출되고, 온도 변화에 따라 보는 팽창과 수축을 한다. 강철의 열팽창계수는 이다. 팽창접합부가 수용할 수 있는 길이의 변화는?

32 열박음 779MPa -18MPa C L

33 열변형률 예제 2.5 (p.48) 의 온도에서 절삭공구 자루의 외부 지름은 이고, 공구 홀더는
의 온도에서 절삭공구 자루의 외부 지름은 이고, 공구 홀더는 의 내부 지름을 가짐. 공구 자루의 온도가 를 유지하고 있다면 절삭 공구 자루를 삽입하기 위해 공구 홀더에 가해져야 할 최소의 온도는 ?. 공구홀더의 열팽창 계수는 이다. 최대 외부 지름 최소 내부 지름

34 봉의 변형에너지 Stress Strain Force-deformation relationship Hooke’s law
Strain energy