제Ⅲ부 상미분 방정식의 근사해법과 유한요소해석

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1 제Ⅲ부 상미분 방정식의 근사해법과 유한요소해석
Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2 Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
§1. 미분방정식의 근사해법 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

3 1.1 미분방정식과 근사해 ⊙ 방정식과 미분방정식 ○ 연속형 미지수(미지함수): 미분방정식, 경계조건이 부과됨 ⊙ 미분 방정식
1.1 미분방정식과 근사해 ⊙ 방정식과 미분방정식 ○ 분절형 미지수(미지수): 대수방정식(방정식) ○ 연속형 미지수(미지함수): 미분방정식, 경계조건이 부과됨 ⊙ 미분 방정식 ○ 상미분방정식: 미지함수의 독립변수가 하나인 경우. 다양한 해법이 개발 되어 있음 ○ 편미분방정식: 독립변수가 2개 이상인 경우. 일반적인 해법이 없음 ⊙ 미분방정식의 차수: 미분방정식 내에 존재하는 최고 미분 차수 ○ 예: ← 2차 미분방정식 ○ 공학해석 문제에서 선형(비선형)미분방정식은 짝수차 (2p차)임. 열전달 문제 : 2차, 보문제 : 4차

4 1.1 미분방정식과 근사해 ○ 유한요소법에서 선형(비선형)미분방정식은 선형(비선형)대수방정식으로 수식화됨
1.1 미분방정식과 근사해 ⊙ 선형미분방정식과 비선형미분방정식 ○ 비선형방정식의 예: ○ 유한요소법에서 선형(비선형)미분방정식은 선형(비선형)대수방정식으로 수식화됨 ⊙ 미분방정식과 근사해법 ○ Ritz 법과 가중오차법(Weighted residual method) • Galerkin method: 가중오차법의 대표적인 방법 ○ 유한요소법: Ritz 법 또는 가중오차법 + 유한요소기교(보간함수)

5 1.1 미분방정식과 근사해 ○ 필수경계조건: ○ 자연경계조건: ⊙경계조건 ○
1.1 미분방정식과 근사해 ⊙경계조건 ○ 필수경계조건: (0~p-1)차의 도함수를 내포한 경계조건 ○ 자연경계조건: (p~2p-1)차의 도함수를 내포한 경계조건 예제 1.1 예제 1.1 보 문제의 미분방정식과 경계조건 미분방정식, 지배방정식: ○ ○ 필수경계조건: ○ 자연경계조건:

6 ☞ 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 1.2.1 대수방정식과 함수 ⊙ 다음 두 문제는 동일함
○ 함수 의 정지점(stationary point, 극점, 변곡점 등)을 찾는 문제 ○ 방정식 의 해를 구하는 문제 함수 의 정지점 예제 1.3 ☞

7 ☞ 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 다음 두 문제는 동일함 ⊙ 함수 : 방정식 = 범함수 : 미분방정식
1.2.2 미분방정식과 범함수 ⊙ 범함수 ○ 함수의 함수 ○ 입력변수: 함수, 출력변수: 실수 ○ 예: 보의 굽힘변형에너지, ⊙ 다음 두 문제는 동일함 ○ 범함수가 정지값을 갖도록 하는 함수를 찾는 문제 ○ 그에 상응하는 미분방정식을 푸는 문제 ⊙ 함수 : 방정식 = 범함수 : 미분방정식 일때 예제 1.4 ☞

8 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙예제 ○ 경계치문제: ○정답: 문제 1 ○ 변분원리: 문제 2

9 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○ : 필수경계조건을 만족하면서 범함수 를 최소화시키는 함수
[문제 1]과 [문제 2]의 동일성 증명 예제 1.5 ○ : 필수경계조건을 만족하면서 범함수 를 최소화시키는 함수 ○ : 필수경계조건을 만족하는 임의의 함수 ○ 임의의 상수; 임의의 함수, 예를 들면, 등등 ○ ○ If ○ 부분적분으로부터 ○ Euler-Lagrange equation: ⊙ 미분방정식이 2p차일 경우, 범함수내의 최고미분 차수는 p임

10 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 함수의 정의 ○ : 미지함수 ○ : 정해 ○ : 시도함수
○ : 미지함수 ○ : 정해 ○ : 시도함수 ○ : 주어진 함수, 에서 주어진 함수값 1.2.3 Ritz 법 ⊙ 시도함수: ○ ○ 선형독립적인 기초함수 ○ 미분방정식이 2p차일 때 p차까지 미분하여 제곱적분 가능해야 함 ○ 필수경계조건을 만족해야 함

11 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ Ritz 법의 적용 ○ ○ 가 극값을 가질 필요 조건:
○ 변환: 함수장 문제 ⇒ 유한차원 벡터장 문제 ○ ○ 가 극값을 가질 필요 조건: ○ 선형연립방정식: ○ 근사해:

12 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 근사해와 정해의 비교 ○ ⇒ 오차 2.2% ○ ⇒ 오차 20%
○ ⇒ 오차 2.2% ○ ⇒ 오차 20% ⊙ 기초함수 의 부과조건 ○ 선형독립적이여야 함 ○ 또는 ⊙ 해의 수렴특성 ○ 정확도 정확도 ○ 그림 1.2 근사해와 정해의 비교

13 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ Ritz 법의 일반식 ○ ○
○ 강성행렬(stiffness matrix): ○ 하중벡터(force vector):

14 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ☞ ⊙ 문제의 정의 ○ 경계치문제: ○ 변분원리: ○ 정해:
1.2.4 자연경계조건의 처리 ⊙ 문제의 정의 ○ 경계치문제: ○ 변분원리: ○ 정해: 문제 3 문제 4 문제 1 문제 2 [문제 3]과 [문제 4]의 동일성 증명 ☞ ○ Euler-Lagrange equation:   ○ Boundary conditions: ○ 예제 1.10

15 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ☞ ○ ※ 예제 1.11 [문제 3] 또는 [문제 4]의 Ritz 근사해

16 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 예제 1.6 정해를 얻을려면? 문제 2 ○ ○ 가 극값을 가질 필요조건: ☞

17 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ∴ 선형종속 ☞ ○ ○ ⇒ 불능 기초함수가 선형종속일 경우 예제 1.7
○ ⇒ 불능 문제 2

18 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○ 변분원리: ○ 시도함수: ☞ <방법 1> ○ ※ 예제 1.8
문제 1 문제 2 예제 1.8 경계치문제: ○ 변분원리: ○ 시도함수: ☞ <방법 1> ○ ※

19 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ☞ <방법 2> ○ 문제 2

20 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 문제의 정의
1.2.5 범함수의 유도 ⊙ 문제의 정의 ○ ⊙ 미분방정식이 셀프조인트(self-adjoint)하면, 범함수가 존재함 ▷

21 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙예제: ○

22 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○ ○ ○ ○ 또는 ○

23 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ Ritz 법
○무한차원(범함수 극화) 문제, 미분방정식  ⇒  유한차원(함수 극화) 문제 ○미분방정식   ⇒   대수방정식    ○변분유한요소법(Variational finite element method)의 이론적 배경 ⊙ 미분방정식에 대응하는 범함수를 항상 구할 수 있는 것이 아니다. 즉, 어떤  미분방정식에 대응하는 변분이론이 항상 존재하는 것은 아니다. 따라서 적용 문제가 한정되어 있다. ○ 가중오차법에 의하여 해결될 수 있다. 문제점 1 해결책 ⊙ 차원 및 3차원 문제에서 경계의 기하학적 형상이 복잡하거나 필수경계조건 이 복잡할 경우, 필수경계조건 등의 부과조건을 만족하는 시도함수를 사실상 구할 수 없다. ○ 유한요소법의 보간함수(Interpolation, Shape function)에 의하여  해결된다. 해결책 문제점 2

24 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○그림 a)의 경우, ○그림 b)는 사실상 불가능 예제 1.13
2차원 평면에서의 기초함수 a) b) ○그림 a)의 경우, ○그림 b)는 사실상 불가능