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예: Spherical pendulum 일반화 좌표 : θ , Ф : xy 평면으로부터 높이 일정한 량 S 를 정의하면
(a) 만일 Φ 가 일정하면 S 는 0 : 단진자 (b) 만일 θ 가 일정하면 : 원뿔진자
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(c) 거의 원뿔 진자인 경우 원뿔 진자의 S2을 방정식에 넣으면 변수 치환 과 Taylor 전개 ξ 는 0 에 대해 단진동, 즉 θ는 θ0에 대해 단진동 주기 : θ 가 1번 진동하는 동안 방위각 Φ 는 만큼 회전 원뿔 진자 조건에서 > 180 도
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(d) 일반적인 경우 θ 에 대해 적분 Total energy 에너지 방정식
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: 일반화 좌표의 수는 줄이지 못하더라도 각 일반화 좌표는
독립이 아니므로 Lagrange multiplier 방법으로 독립적인 Lagrange 방정식을 만들 수 있다. 두 개의 일반화 좌표 가 한 구속 조건식 으로 연결되어 있다면 : Hamilton의 변분 원리 독립이 아님
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보다 일반적인 경우 n 개의 일반화 좌표와 m 개의 구속 조건이 있다면
: 일반화 구속력 : 일반화 좌표 qi 의 공액 힘 보다 일반적인 경우 n 개의 일반화 좌표와 m 개의 구속 조건이 있다면 구속조건 : 구속조건이 명시적 시간미분이 없을 때 구속력이나 구속조건이 있을 때 일반적인 Lagrange 방정식
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예 : 천장에 매달린 줄에 감긴 원판에 대한 운동방정식과 구속력을 구하시오.
(1) (2) 구속 조건 일반화 좌표 : 만일 구속 조건을 이용하여 한 일반화 좌표를 없애고 Lagrange 방정식을 적으면 구속력을 구할 수 없음 : 운동방정식 : 끈의 장력 : 원판에 가해지는 Torque
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