제 4장 시스템 신뢰도와 중복설계.

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1 제 4장 시스템 신뢰도와 중복설계

2 시스템 신뢰도 여러 부품들로 이루어진 시스템의 구조분석을 통하여 신뢰도를 예측하는 방법에 대하여 다룬다.
부품은 가동과 고장의 두 가지 상태만을 가지며, 고장의 발생은 서로 독립이라 가정한다. 시스템이 직렬구조, 병렬구조, 직렬과 병렬의 혼합구조, n 중 k 구조, 대기구조, 브리지 구조일 때, 시스템의 특성을 살펴본다.

3 직렬구조(Series Structure)
직렬구조: 시스템을 구성하고 있는 모든 부품들이 정상적으로 가동될 때 시스템이 가동되는 구조 부품1 부품2 부품3 직렬시스템의 신뢰도 블록 다이어그램 시스템의 구조는 물리적인 구조와는 별개로 기능적인 측면에서의 신뢰도 구조를 의미한다. (예를 들어, 자동차의 4바퀴는 하나라도 고장이 나면 자동차가 움직일 수 없는 점에서 신뢰도 구조상으로 직렬구조 이다.)

4 직렬구조의 신뢰도 함수 :부품 i의 수명 :시스템의 수명 시스템의 수명은 구성부품 중 가장 빨리 고장 나는 시간에서 결정된다
인 관계 :시점 t에서 부품 i의 신뢰도(i=1, 2, …, n) :직렬시스템의 신뢰도

5 직렬구조의 신뢰도(상수인 경우) 신뢰도가 가장 낮은 부품보다 낮으며 가장 약한 구조
시스템의 신뢰도를 특정수준 이상으로 유지하려면 부품의 신뢰도를 높인다. 부품을 중복설계 한다. (병렬구조와 같이) 직렬시스템을 구성하고 있는 부품들의 신뢰도가 R로 동일한 경우 → 시스템의 신뢰도

6 예제 1 아래의 그림은 3개의 부품으로 이루어진 직렬시스템을 나타낸다. 특정 시점에서 각 부품의 신뢰도가 이면,
특정 시점에서 각 부품의 신뢰도가 이면, 시스템의 신뢰도는 부품1 부품2 부품3

7 예제 2 10개의 동일한 부품으로 구성된 직렬시스템의 신뢰도= 0.99가 되도록 부품을 설계하고자 한다. r : 부품의 신뢰도
10개의 동일한 부품으로 구성된 직렬시스템의 신뢰도= 0.99가 되도록 부품을 설계하고자 한다. r : 부품의 신뢰도 : 시스템의 신뢰도 →

8 직렬구조 시스템 신뢰도(지수분포) 시스템의 신뢰도의 계산 : n개의 부품으로 구성된 직렬시스템에서 부품 i 의 수명이
고장률 인 지수분포를 따르고, 각 부품의 고장은 서로 독립이라고 가정 : 고장률이 인 지수분포의 신뢰도 함수 서로 독립인 지수분포를 따르는 부품으로 구성된 직렬시스템의 수명은 지수분포를 따른다 시스템의 고장률 = 각 부품의 고장률의 합

9 예제 3 어떤 회로에 사용된 다이오드(d), 트랜지스터(t), 저항(r), 콘덴서(c)의 고장 율이 각각 이라고 하자.
율이 각각 이라고 하자. 회로의 구성이 다이오드 10개, 트랜지스터 4개, 저항 20개, 콘덴서 10개가 직렬로 연결되어 있을 때, 이 회로의 고장률은 또한, 지수분포를 따르는 서로 독립인 소자들이 직렬로 결합되었으므로 회로의 수명은 지수분포를 따르며 평균수명 : 신뢰도함수: 10,000시간에서의 신뢰도: 특정시간에서의 신뢰도, 백분위수, 누적 고장확률의 정보를 지수분포로부터 구할 수 있다

10 병렬구조(parallel structure)
부품1 부품2 부품n 병렬시스템의 신뢰도 블록 다이어그램

11 병렬구조 신뢰도 함수 :부품 i의 수명 :시스템의 수명 인 관계 : 시점 t에서 부품 i의 신뢰도(i=1, 2, …, n)
: 병렬시스템의 신뢰도

12 예제 4 신뢰도가 인 3개의 부품이 병렬로 연결된 제품이 있다. 제품의 신뢰도는

13 예제 5 신뢰도가 0.9인 회로차단기 2개를 직렬로 연결한 제품이 있다. 제품의 전기적 구조는 직렬로 연결되어 있으나 기능적인 측면에서의 신뢰도 구조는 병렬이다. 따라서, 회로차단 시스템의 신뢰도는 병렬 리던던시(parallel redundancy) :부품이 병렬구조로 이루어진 시스템의 신뢰도는 증가하는 것 부품의 신뢰도 : 동일한 n개의 부품으로 구성된 병렬시스템에서 부품의 수명이 고장률 인 지수분포를 따른다. 시스템의 수명이 지수분포를 따르지 않음을 알 수 있다

14 병렬구조의 평균수명(지수분포) 시스템의 평균수명 로 치환적분하면
MTTF를 두배로 늘리려면 몇 개 이상의 동일 지수 부품을 병렬로 연결해야 하나?

15 예제 6 고장률이 인 두개의 부품이 병렬로 결합되어 만들어 진 제품이 있다. 1,000시간에서 제품의 신뢰도는
고장률이 인 두개의 부품이 병렬로 결합되어 만들어 진 제품이 있다. 1,000시간에서 제품의 신뢰도는 제품의 평균수명은

16 서로 다른 고장률의 병렬구조 고장률이 과 이고 서로 독립인 지수분포를 따르는 두 부품으로 구성된 병렬구조가 있다.
고장률이 과 이고 서로 독립인 지수분포를 따르는 두 부품으로 구성된 병렬구조가 있다. 두 부품의 분포함수는 각각 시스템의 신뢰도함수는 시스템의 평균수명은

17 직렬-병렬 혼합구조 직렬과 병렬의 혼합구조 직렬과 병렬의 혼합구조 : 시스템의 구조가 직렬과 병렬로 표시 가능할 때의 구조
직렬과 병렬의 혼합구조 : 시스템의 구조가 직렬과 병렬로 표시 가능할 때의 구조 직렬-병렬구조 : 병렬구조 인 하부시스템이 직렬로 연결된 것 병렬-직렬 구조 : 직렬구조 인 하부 시스템이 병렬로 연결된 것 직렬과 병렬 시스템의 신뢰도 계산방법을 이용하여 시스템의 신뢰도를 쉽게 계산

18 직렬-병렬 혼합구조 부품 (1, 2, 3)과 (4, 5, 6)이 병렬로 연결된 두개의 하부시스템이 직렬로
연결된 직렬-병렬 구조를 나타낸다. 부품1 부품2 부품3 부품4 부품5 부품6 부품1,2,3 으로 구성된 하부 시스템 부품4,5,6 으로 구성된 하부 시스템 : 부품 i의 신뢰도(i=1, 2, …, n) :부품(1,2,3)과 (4,5,6)으로 이루어진 하부시스템의 신뢰도 시스템의 신뢰도

19 직렬-병렬 혼합구조 부품 (1, 4), (2,5), (3,6)이 직렬로 연결된 3개의 하부시스템이 병렬로
연결된 병렬-직렬 구조를 나타낸다. 부품1 부품2 부품3 부품4 부품5 부품6 부품1 4 로 구성된 하부시스템 부품2 5 로 구성된 하부시스템 부품3 6로 구성된 하부시스템 :부품 (1, 4), (2,5), (3,6)으로 이루어진 하부시스템의 신뢰도 시스템의 신뢰도

20 예제 7 아래에 있는 시스템은 직렬과 병렬로 표시 가능한 구조이다. 시스템의 신뢰도 부품1, 0.8 부품2, 0.8
부품1, 0.8 부품2, 0.8 부품4, 0.9 부품6, 0.8 부품5, 0.9 부품3, 0.9 입력 출력 시스템의 신뢰도

21 N중 k구조(k-out-of-n structure)
n중 k구조:시스템을 구성하고 있는 n개의 부품 중에서 k개 이상이 정상적으로 작동하면 시스템이 작동되는 구조 k=1: 병렬구조, k=n: 직렬구조 원자로의 자동보호장치, 화학공장의 가스 폭발방지를 위한 자동 폐쇄장치와 같이 안전이 중요한 시스템의 설계에 많이 이용 n 중 k 시스템의 신뢰도를 일반적으로 계산이 복잡

22 3중 2 시스템의 신뢰도 :부품 i가 작동되는 사건 :고장 상태인 사건 :부품 i의 신뢰도,i=1,2,3
:3 중 2 시스템의 신뢰도 (=3개 부품 중 2개 이상이 작동할 사건의 확률) 여기에서 모든 부품이 동일하고 부품의 신뢰도가 R이면

23 n중 k 시스템의 신뢰도 (시점 t에서의 신뢰도가 R(t)인 동일한 부품으로 구성) →부품이 지수분포를 따르면 이므로
→부품이 지수분포를 따르면 이므로 시스템 평균 고장시간은

24 n중 k 시스템의 신뢰도 시스템 평균 고장시간의 증명 ※베타 분포

25 예제 7 신뢰도가 0.9 인 동일한 부품으로 구성된 4 중 2 시스템의 신뢰도는

26 예제 7 지수분포의 2중 1구조 및 3중 2구조의 신뢰도함수와 MTTF를 구하라.

27 대기구조(Standby structure)
두개의 부품으로 이루어진 병렬구조 : 시스템이 가동되면 두개의 부품 모두가 작동하기 시작하며, 고장 날 때까지 작동상태로 남아 있는다 대기구조 :부품들이 모두 동시에 작동하는 것이 아니고 시스템이 운용되기 시작하면 하나의 이상적인 릴레이가 입력을 부품 1에 연결하여 작동을 시작하고, 이때 부품 2는 사용되지 않은 초기상태로 대기상태에 있게 된다. 또한, 부품 1이 고장 나면 릴레이가 이를 감지하여 부품 2로 연결하여 작동이 계속되는 구조를 가지는 시스템

28 대기구조(Standby structure)

29 대기구조(Standby structure)
병렬구조 : 각 부품의 수명 T :시스템의 수명( 에 의해 결정) 대기구조 T :시스템의 수명( 에 의해 결정) →대기구조에서는 부품이 동시에 작동하는 것이 아니고 부품 1의 수명 이 다한 후에 부품 2가 작동하기 시작하기 때문이다.

30 대기구조(Standby structure)
부품2 입력 출력 부품1 부품3 대기구조는 구조 자체의 유용성으로 인하여 많이 사용되고 있으나, 경우에 따라서 부품을 병렬로 연결할 수 없을 때에도 사용된다. 대기구조에서 릴레이는 불량한 작동상태를 감지하여 판단하고, 첫번째 부품에 연결되어있던 입력을 대기 상태의 부품으로 연결하고, 동력을 필요로 하는 부품의 경우에는 필요한 동력을 전달하여 주는 3가지 기능을 갖고 있으며, 시스템의 신뢰도는 릴레이의 신뢰도에 많이 영향을 받는다. 즉, 불량 릴레이를 사용하면 단일 부품을 사용할 때 보다 신뢰도가 떨어질 수도 있다. 따라서, 대기구조에서는 단순하고 신뢰성이 높은 릴레이를 사용하는 것이 중요하다.

31 대기구조(Standby structure)
:부품 i의 수명 (i = 1,2,…,n) :시스템의 수명( ) :시스템의 신뢰도함수 시스템의 수명밀도함수 :n개의 부품의 수명밀도함수의 convolution으로 표시

32 대기구조(Standby structure)
수명밀도함수는 시스템의 신뢰도함수는

33 대기구조(Standby structure)
시스템의 평균수명은

34 예제 9 지수분포를 따르는 부품의 고장률이 일 때, 두 개의 동일한 부품으로 이루어진 대기구조의 t=10에서의 신뢰도를 구해보자. 시스템의 평균수명은

35 대기구조(Standby structure)
부품의 고장률이 과 인 서로 다른 두개의 부품으로 이루어진 대기구조에서 신뢰도 함수를 살펴보자. 시스템의 수명 T의 수명밀도함수는 시점 t에서의 신뢰도는

36 대기구조(Standby structure)
릴레이가 완벽하지 않으면 시스템의 신뢰도는 릴레이의 신뢰도에 영향을 받게 된다. 릴레이가 첫번째 부품고장 시 두번째 부품으로 전환작동 1회를 성공적으로 수행할 확률을 릴레이의 신뢰도 이라 하고, 은 시간의 함수가 아닌 상수라 하자. 만일 회로를 잘 설계하여 릴레이의 불신뢰도가 첫번째 부품의 작동에 영향을 미치지 않는다면, 시스템은 릴레이가 작동할 경우 대기구조의 성능을 가진다. 또한 릴레이가 작동하지 않을 경우, 시스템은 단일부품의 성능만을 갖게 된다. 따라서, 고장률이 인 동일한 두개의 지수부품으로 이루어진 대기구조 시스템의 신뢰도는 고장률이 과 인 상이한 두개의 지수부품으로 이루어진 대기구조 시스템의 신뢰도는

37 브리지 구조(Bridge structure)
:부품들이 아래의 그림과 같이 결합되어 있는 구조를 말한다. 브리지구조를 갖는 시스템의 신뢰도는 앞에서 다룬 다른 시스템과 같은 방법으로 구할 수 없다. 여기에서는 복잡한 시스템의 신뢰도 구조를 좀더 간단한 구조로 분해 하고, 조건부 확률을 사용하여 신뢰도를 구하는 분해법 (decomposition method)을 이용한다. 부품1 부품2 부품4 부품5 입력 출력 부품3 그림 3.4 브리지구조 시스템

38 브리지 구조(Bridge structure)
분해법을 적용하기 위해서는 ‘어느 부품이 없으면’신뢰도 구조가 아주 간단해지는 ‘중요부품(key stone)’을 찾는다. (2) 중요부품의 상태에 따라 시스템의 상태를 나누어 생각한다. 예를 들어서, 위의 그림에서 부품 3을 중요부품으로하여 분해법을 적용하여 보자. 부품 3이 가동상태와 고장상태일 때, 시스템의 신뢰도 블록 그림은 각각 다음과 같다. (1) 부품3 : 가동 (2) 부품3 : 고장 부품1 부품2 부품4 부품5 입력 출력 부품1 부품2 부품4 부품5 입력 출력

39 브리지 구조(Bridge structure)
:부품 3의 가동상태 :부품 3의 고장상태 S :시스템의 가동상태 시스템의 신뢰도는 만약 모든 부품의 신뢰도가 R로 같으면 , ② , ③ ④ 이므로 시스템의 신뢰도는

40 브리지 구조(Bridge structure)
조건부 확률은 시스템의 신뢰도보다 훨씬 계산이 쉬우며, 결국 어려운 문제를 보다 쉬운 문제로 분해한 것으로 생각할 수 있다. 매우 복잡한 문제에서는 분해된 하부구조에 대하여 다시 분해법을 적용할 수 있다.