양자역학과 파인만의 경로 적분 상대론적 양자역학과 표준모형 그리고 우주론

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1 양자역학과 파인만의 경로 적분 상대론적 양자역학과 표준모형 그리고 우주론
경희대학교, 서강대 양자시공간 연구센터 김경규

2 차례 지난 시간 내용정리 및 교과서 훑어보기 양자 역학과 파인만의 경로적분 상대론적 양자역학과 표준모형 그리고 우주 론

3 지난시간 주제 : 대칭성과 상대론 물리에서 가장 중요한 것 : 대칭성
지난시간 주제 : 대칭성과 상대론 물리에서 가장 중요한 것 : 대칭성 공간의 대칭성: 병진 , 회전에 대한 대칭성 그리고 거 기에 해당하는 보존량(운동량, 각운동량) 고전물리에서 운동을 기술하는 방법 운동방정식 그 리고 최소액션의 원리: 두 기술 방법은 동일함 액션을 이용하면 보존량들을 유도할 수 있음 대칭성의 정의를 액션을 가지고 할 수 있음 즉 대칭성은 액션이 변하지 않는 모든 변환

4 특수 상대론 광속도 불변의 사실과 상대성원리로부터 시작 시간과 공간의 섞어놓고 공간의 회전과 비슷한 변환을 하면 광속도를 일정하게 할 수 있음 이것이 로렌츠 변환 즉 우리 시공간은 로렌츠 변환에 대해 대 칭성이 있는 물리계였음 이전까지는 빛이 하도 빨라 몰랐었음 시간과 공간이 섞여서 절대적인 시간이 없음 그래서 상대론

5 동시의 개념 길이의 개념 모두 상대적임 모든 패러독스를 해결하고 실험적으로도 검증 등속도로 운동하는 모든 관측자에게 적용할 수 있음 하지만 가속도는 않됨 가속도=중력 ; 아인슈타인의 등가원리, 자유냑하에 대한 생각으로부터 가속도 또는 중력을 다루려면 휘어진 공간을 다루어 야 함

6 시공간의 휘어짐을 뭘로 나 타내나 메트릭 – 길이를 나타내는 물리량 각 지점의 길이를 바탕으로 곡률을 계산 곡률은 화살표를 휘어진 공 간에서 한바퀴 돌렸을때 화 살표의 변화에 관련됨

7 리만의 곡률 텐서 아인슈타인 장방정식 즉 아인슈타인 방정식이 의미하는 것은 공간의 휘어진 정도 = 에너지와 운동량

8 메트릭의 예 : 불랙홀 사건의 지평선과 곡률이 발산하는 점 존재 호킹복사로 논리적인 모순 발생 새로운 이론의 필요

9 참고문헌 Mechanics-Landau and Lifshitz
Space and time in special relativity -David Mermin -McGraw-Hill book company 일반물리책 -Halliday, Resnick and Walker ? 블루백 시리즈중 상대론 관련 - 전파과학사 An illustrated guide to relativity -Tatsu Takeuchi - Very Special Relativity: An Illustrated Guide -Sander Bais -Amsterdam University Press A first course in general relativity -Bernard F Schutz -Cambridge Introducing Einstein’s Relativity -Ray d’Inverno -Oxford

10 교과서 살펴보기

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16 어떻게 가르쳐야 하는가?

17 양자역학과 파인만의 경로적분 양자역학이란 ; 작은 곳의 물리 사실 우리는 세상을 오해하고 있음 이렇게
실제로는 어디든 갈 수 있음

18 양자역학과 파인만의 경로 적분 그런데 우리가 생활할 땐 잘 느끼지 못함 실험은 가능하고 다 측정됨 아인슈타인은 부정했음
측정에 대한 가설(보어등 코펜하겐 학파의 해석)이 비결정론적인 세계관과 직관적으로 너무 상상하기 힘든 결과를 주기때문에 양자역학이 맞는 걸로 판명이 났지만 여전히 논쟁이 존재함

19 양자역학 모든 입자는 파동이다. 사실은 파동도 입자고. 입자파?다…(어떤 때는 입자이고 어떤 때는 파동이 아니고)
입자파?다…(어떤 때는 입자이고 어떤 때는 파동이 아니고) 우리의 고정관념에는 두 성질을 다 가진 것을 생각 하기 어려움 양자화라는 걸 해보자 고전적으로 위치 x 와 운동량 p 는 그냥 숫자라서 [x,p] =0 [x,p]= 상수 생각해보자. 원래 있던 이론의 확장

20 위치와 운동량을 오퍼레이터(Operator)로 생각
슈뢰딩거: 입자를 기술하는 파동 방정식을 써보자 특수상대론이 알려져 있었음

21 무한대의 미분 오퍼레이터 음수의 에너지 어!

22 모르겠네. 그냥 고전적인 계에서 하지고 질량 m을 가진 자유입자 슈뢰딩거 방정식: 입자를 기술하는 파동 방정식

23 위치에너지가 있을 때 자유입자의 해

24 공간을 움직이는 자

25 시간을 움직이는 자 운동량 에너지 등 보존량들은 입자의 상태를 변하게 해주는 작용자(오퍼레이터)였다.

26 그런데 [x,p] 의 표현이 한가지 밖에 없냐? 시간 t일 때 공간 x에 있을 상태 시간 t일 때 공간 p 에 있을 상태

27 아 어려워 파인만 “난 양자역학을 도무지 모르겠다”. 내 방식대로 이해해야지 고전역학에서처럼 시간 ti 때 xi 에 있던 입자가 시 간 tf 때 xf로 가는 걸 양자역학으로 기술해보자

28 기본적으로 손오공과 삼장법사의 양자역학 버전
최소 액션의 원리를 상기해 보세요.(포물선이 되는 이유)

29 시간을 잘게 나눔

30 아 이런거 였군

31 아 이게 뭐하는건가

32 분명히 저번에 수식이 너무 많다고 했는데

33 다 잊어버리세요. 결과는 지수를 보시면

34 실제로 p의 적분을 해버리면

35 액션 S 를 크게 만드는 경로들은 적분을 하면 서로 상쇄되어서 작은 값을 줌
가장 액션을 작게 만드 는 경로가 양자역학에서 가장 큰 확률을 줌 고전 역학이 양자역학으 로 부터 나옴

36 아 나의 방법으로 이해했다. 물질파의 간섭도 이해 가능해! 초록색 경로가 가장 기여도가 큼 그래서 간섭무늬가 나옴

37 상호작용도 잘 다룰 수 있다. 만약에 작은 상호작용이 있을 때 근사적으로 다뤄야 할 경우 전개하면 된다.

38 각 항은 복잡한 적분식 : 쓰기 귀찮음 파인만 난 그냥 그림으로 표현할래 이것이 파인만 다이어그램의 기초

39 쉬었다 해요

40 상대론적 양자역학 표준모형 우주론 양자역학과 상대론의 결합시키면 ? 슈뢰딩거가 시도 했다가 뭔지 몰라서 그만둠
디락(Dirac) –공대출신 그때 공학에서는 행렬을 많이 다룸 양자 역학과 상대론을 결합시키는 일에 착수 이건 아까 말 한대로 에너지가 무한대 미분이 생겨 문제 있음 음수의 에너지도 그렇고

41 미분이 하나만 있는 방정식을 찾아보자 그래서 나온 것이 디락 방정식- 특수상대론과 양자역 학의 결합 성공

42 슈뢰딩거 방정식 다루듯이 풀어봤더니 또 음의 에너지가 나옴 신의 한수 - 엄마의 바다 아니 디락의 바다 이것은 페르미온인 전자를 기술하는 방정식이고 전 자에게 진공이란 음의 에너지 상태를 전자가 가득 채 우고 있는 것 이다.

43 입자의 생성과 소멸을 기술 양자역학에 상대론을 도입했더니 이런 일이 2 m c^2의 에너지가 있으면 이런일이 가능

44 입자의 생성과 소멸은 비상대론적 양자역학으로는 다루기 힘듦
입자 하나를 상태 파동함수로 다룬것 - 첫번째 양자화

45 이런 것들을 각각 하나의 상태로 보는것 --두 번째 양자화라고 함

46 주위에서 입자의 생성 소멸과 가장 비슷한 것 - 아빠 왜 아기 욕조안에 물방울은 동그란가요?
물의 높이를 기술하는 것처럼 진공을 다루면?

47 물의 높이와 비슷한 시공간의 함수 장(Field)의 도입 양자화하면 양자장론의 탄생

48 각 입자마다 그것을 기술하는 장이 있음

49 발견되었거나 발견될 가능성 있는 모든 입자 + 실험 적으로나 이론적으로 검증된 대칭성이 유지되도록 + 재 규격화가 가능하도록
액션을 구성 이제 장이므로 적분이 더 붙음 이게 표준모형 이걸 파인만 경로적분하면 모든 가속기에서의 실험 을 맞출 수 있음

50 힉스의 역할- 어떻게 질량을 주는 가 힉스장의 위치에너지 우주의 온도가 변하면서 힉스장이 0이 아니게 됨
이게 입자들의 질량을 줌

51 예를 들어 전자의 질량 원래 표준모형에서 m=0 그런데 우리가 가정한 대칭성에서는 다음과 같은 상 호작용을 적을 수 있음

52 비슷하게 다른 것들의 질량을 줌 모든 입자들에게 질량을 부여한다 해서 신의 입자라 고도 불리움 작년에 유사한 입자 발견 노벨상 받으려고 열심히 운동하시는 힉스옹 노벨상 꼭 받으시기를

53 힘을 매개하는 입자들 힘을 매개하는 입자들은 게이지 대칭성이란 특수한 대칭성을 가짐
힘을 매개하는 입자들은 게이지 대칭성이란 특수한 대칭성을 가짐 광자-빛-전자기 상호작용( U(1) 대칭성 ) W 입자 – 약한 상호작용( SU(2) 대칭성 ) 글루온 – 강한 상호작용( SU(3) 대칭성 ) 중력자-? 다 장들간의 회전의 종류에 대한 대칭성 파인만 경로적분을 하여 파인만 다이어그램으로 이 해할 수 있음

54 예 전자기 상호작용 원래는 복잡한 식 척력과 1/r^2 힘 이해

55 우주론(모든 출생의 비밀) 중력이론으로 해야 하는 당연한 것 우주를 설명해야 하는 일 -> 우주론 중력은 끌어 당긴다.
우주를 설명해야 하는 일 -> 우주론 중력은 끌어 당긴다. 우주는 정적으로 보이는데 아인슈타인의 한 수 우주상수? 헉 안정적인 해가 아니었어.

56 그럼 우주는 팽창? 수축? 아니면 정적인 우주 관측에 따르면 가속팽창을 한다는 사실이 알려 짐 작년에 노벨상도 받음(펄무터,슈미트, 리스) 어쨌든 처음에는 팽창- 그런데 그럼 점에서 폭발? 그래서 나온게 빅뱅

57 우주의 나이 빛이 갖혀있다가 빠져나옴 원자핵과 전자 결합 -> 우주배경복사

58 빅뱅이론 웃기는 이야기 (big bang!) 처음에는 웃기는 말도 안 되는 이론으로 받아들여짐 그런데 점차 그럴듯한 이론으로 받아짐 하지만 이것도 많은 모순을 가지고 있었음 지금 팽창하는 것을 역추적해 보면 우주배경복사가 거의 균일하게 나올 이유가 없음 지금 팽창을 역추적해보면 우주초기에 말도 안되게 작은 곡률 거의 평평함을 가지고 있어야 함 그래서 나온 것이 인플에이션

59 인플에이션을 가정하면 모순이 풀림

60 교과서에 나와 있는 급팽창이라고 하는 부분 아직도 연구되어야 할 많은 것들이 남아있음

61 감사합니다.