Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

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1 Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
벡터의 정의 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2 벡터의 정의 벡터량과 벡터: 물리량(physical quantity)으로서 크기와 방향성을 갖는 양(quantity)을
벡터량(vector quantity)이라고 하고, 이를 수학적으로 표현한 것을 벡터(vector)라고 함 스칼라량과 실수(또는 수): 크기만 있고 방향성이 없는 물리량을 스칼라량(scalar quantity)이라고 하고, 스칼라량은 실수(real number)로 표현됨 벡터의 표현 벡터량의 예: 힘, 변위, 속도, 가속도, 열유동, 운동량, 모멘트 등 스칼라량의 예: 일, 일률, 온도, 질량 등 벡터 자체: 벡터 크기: 벡터의 구성 요소 필수적 요소(수학적 요구조건) 크기(Magnitude) : 점 A와 B 사이의 거리 방향(Direction ) : 점 A에서 점 B로 향하는 화살표의 방향 선택적 요소 작용점(Point of action) : B 작용선(Line of action) : 점 A와 B를 지나는 직선 <벡터의 정의와 기하학적 표현>

3 벡터의 종류 미끄럼벡터(sliding vector): 필수적 요소 + 작용선
한정벡터(bound vector): 필수적 요소 + 작용점 자유벡터(free vector): 필수적 요소(크기와 방향) statics elasticity rigid-body translation P Unknowns : RA, RB Unknowns : deformation, etc. Unknowns : displacement, etc. (a) sliding vector (b) bound vector  (c) free vector <벡터의 종류>

4 <직각좌표계에서 벡터의 성분>
벡터의 표현 수학적 표현: 성분으로 표시하기 2차원 평면 행벡터: 또는 (a) 2차원 열벡터: 기계공학에서 아무 언급 없으면 열벡터를 의미함 3차원 공간 행벡터: 열벡터: (b) 3차원 성분으로 표시하면, 크기와 방향, 즉 벡터의 필수적 요건(수학적 요건)을 표현할 수 있음 <직각좌표계에서 벡터의 성분>

5 벡터 관련 용어 정리 벡터 a의 크기(magnitude) : 벡터의 방향(direction) :
또는 벡터의 방향(direction) : 방향여현(directional cosine) : 단위벡터 : 크기가 1인 벡터 또는 단위기초벡터(unit basis vector) : <좌표계와 단위기초벡터>

6 <벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈>
벡터의 연산 벡터의 덧셈 벡터와 스칼라의 곱셈 평행사변형 법칙 벡터의 덧셈과 벡터-스칼라의 곱셈의 성질 <벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈> 벡터 의 크기, 놂(norm) :

7 단위기초벡터를 활용한 벡터의 수학적 표현 벡터와 스칼라곱, 벡터의 덧셈으로부터
벡터의 연산(덧셈, 뺄셈, 내적, 벡터적, 백터와 스칼라의 곱셈 등) 시, 단위기초벡터로 표현하는것이 원칙

8 벡터의 연산 벡터의 내적 (inner product, dot product, scalar product) 내적의 기하학적 의미
b a 내적의 기하학적 의미 이면 두 벡터는 직교함 내적의 성질 <벡터의 내적> 기타

9 예제 a 와 b 가 아래와 같을 때 b 를 a 위로 정사영 내린 후 교점과 b의 끝을 연결 하는 x 를 구하라 . ☞

10 예제 다음의 평면에서 를 구하시오. ☞

11 예제 다음의 3차원 공간에서 를 구하시오. ☞

12 벡터의 연산 벡터적 (vector product, cross product) 벡터적의 기하학적 의미 벡터적의 성질 기타
크기 : 크기 : 두 백터 가 이루는 평행사변형의 면적 방향 : 벡터 에 수직하면서 가 오른손법칙을 따름 벡터적의 성질 <벡터적의 정의> 기타 <오른손법칙>

13 예제 다음의 삼각형면적을 구하여라. ☞

14 예제 벡터 와 에 대한 다음 물음에 답하라 ☞

15 n 차원으로의 벡터의 확장 Rk 유클리디안 벡터장 벡터의 차원 : 2(3)차원 평면에서 벡터량은 2(3)차원 벡터
k-차원 벡터 : 성분이 k개인 벡터 Rk : k-차원 유클리디안 벡터, k-차원 유한차원 실수벡터장

16 선형종속과 선형독립 선형조합 (linear combination) 선형독립 (linearly independent)
모든 가 0일 때만 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형독립이라고 함 선형종속 (linearly dependent) 어떤 가 0이 아닌데도 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형종속이라고 함 예제 Linearly independent Linearly dependent

17 좌표계와 좌표 좌표 기준좌표계와 지방(국부)좌표계 직교좌표계(orthogonal coordinate system)
어떤 점의 위치를 기준좌표계에 대한 상대적 위치로 표현한 것 벡터량임 기준좌표계와 지방(국부)좌표계 직교좌표계(orthogonal coordinate system) 직각좌표계(rectangular coordinate system) 원통좌표계(cylindrical coordinate system) <좌표계와 좌표> 구좌표계(spherical coordinate system) a) 직각좌표계 b) 원통좌표계 c) 구좌표계 <주요 직교좌표계>

18 행렬의 정의 행렬: 수의 규칙적인 배열 용어 정의 : 상삼각행렬(upper triangular matrix) 행렬 :
하삼각행렬(lower triangular matrix) 행벡터(row vector) : 행렬 열벡터(column vector) : 행렬 정방행렬(square matrix) : 행렬 비대각항(off-diagonal term) : 대각항(diagonal term) : 정방행렬에서 영행렬(zero matrix) 대각행렬(diagonal matrix) 단위행렬(unit matrix)

19 행렬의 정의 용어 정의(계속) 부분행렬(submatrix) : 원래의 행렬에서 일부의 행과 열을 제거한 행렬
주부분행렬(principal submatrix) : 정방행렬에서 동일번호의 행과 열을 동시에 제거하여 만든 부분행렬 전치행렬(transpose of a matrix), : 행렬 A의 (i,j)-요소 와 (j,i)-요소 의 자리를 바꾸어 만든 행렬 대칭행렬(symmetric matrix) : 의대칭행렬(skew-symmetric matrix) : 랭크 (rank) : 선형독립적인 행의 수(= 선형독립적인 열의 수) 특이행렬(singular matrix) : nⅹn 정방행렬에서 랭크가 n - 1 이하일 경우

20 행렬과 벡터의 관계 mⅹn 행렬의 벡터 표현 1ⅹn 행벡터의 mⅹ1 열벡터 mⅹ1 열벡터의 nⅹ1 행벡터

21 행렬의 덧셈 및 행렬과 스칼라 곱셈 행렬의 덧셈의 정의 행렬과 스칼라 곱셈의 정의 성질

22 행렬의 곱셈 행렬의 곱셈의 정의 행렬의 곱의 성질 예제: 다음의 행렬을 이용하여 가 성립함을 보여라.
C = A B : 행렬 와 행렬 의 곱 가 만족될 때, 행렬의 요소 가 정의됨 행렬의 곱의 성질 일반적으로 이 반드시 와 를 의미하는 것이 아님 예제: 다음의 행렬을 이용하여 가 성립함을 보여라. ☞ 이므로 이고, 이다. 따라서 이다.

23 행렬의 변환기능과 응용 행렬의 역할 : 벡터량의 좌표변환 법칙 : 직교단위행렬(orthonormal matrix)
수학적 오퍼레이터(operator) 전달함수(transfer function) 및 변환(transformation)의 역할 벡터량의 좌표변환 법칙 : <행렬의 역할> 변환행렬 직교단위행렬(orthonormal matrix) <좌표변환>

24 행렬의 변환기능과 응용 역학문제에서의 행렬 변위-하중 관계식 변위-하중 관계식 유한요소보간 미분방정식의 근사해법 강성행렬
변위벡터 하중벡터

25 행렬의 판별치 (determinant) 2×2 행렬의 판별치 : 3×3 행렬의 판별치 : n×n 행렬의 판별치 :
여인자(cofactor)) : 마이너(minor), i-행과 j-열을 소거하여 얻은 (n-1)×(n-1) 부분행렬의 판별치

26 행렬의 판별치 판별치의 일반적 성질 행렬의 한 행 또는 한 열에 상수 c를 곱하여 만든 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의 c 배임 어떤 행렬의 임의의 두 행 (또는 두 열)을 교환하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의 부(negative)의 값을 가짐 어떤 행렬의 한 행(또는 하나의 열)에 다른 행(또는 열)의 상수배를 더하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치와 동일함 행(또는 열)벡터가 선형종속이면 판별치는 0임 예제 ① ② ③

27 역행렬 n×n 행렬 A의 역행렬: 행렬의 곱의 역행렬 선형연립방정식 직교단위행렬과 변환행렬 행렬 의 어조인트(adjoint)
또는 선형연립방정식 행렬 의 어조인트(adjoint) ※ 참고사항: Kronecker delta 직교단위행렬과 변환행렬 일 때, 행렬 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 함 일 때, 행렬 를 직교단위행렬(orthonormal)이라고 함. 변환행렬은 직교단위행렬임. 즉, 임. 따라서 임

28 선형방정식과 해법 선형방정식 선형방정식의 해법 직접법 Gauss-Jordan 소거법
LU 분해법 (또는 Cholesky 분해법) 띠형행렬법(banded matrix) 스카이라인법(skyline method) 저밀도행렬기법(sparse matrix techique) 전선해법(frontal solution method) 반복법 행렬직교방향법(conjugate direction method)

29 상사변환 상사변환(similarity transformation)의 정의 상사변환의 성질 상사변환의 응용 와 의 고유치는 동일
와 의 고유치는 동일 고유벡터의 관계 : ( : 행렬 의 고유 벡터, : 의 고유벡터) 상사변환의 응용

30 고유치 문제 제차선형연립방정식(homogeneous linear equation) : 고유치 문제 :
: 무의미해(trivial solution) IF : 고유치 문제 : 행렬 의 행벡터 또는 열벡터는 선형종속이어야 함 : 고유치(eigenvalue) 또는 특성치(charactoeristic vector) : 고유벡터(eigenvector) 또는 특성벡터(characteristic vector) 특성방정식(characteristic equation) : 행렬 의 랭크가 n보다 작기 위한 조건 또는 행렬 가 특이행렬이 될 조건 차의 비선형방정식 행렬 가 대칭이면, n 개의 실근 존재 고유벡터의 직교성 :