Mathematical Description of Continuous-Time Signals

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2 Mathematical Description of Continuous-Time Signals

3 연속시간신호 x : 인수 y : 값 정의역: 시간, 주파수, 공간 value range 치역 : 함수에 의해 반환
신호의 함수 표현 : 도메인 (domain), 인수(argument), 치역 (range), 값 (value) 으로 표현 x : 인수 y : 값 정의역: 시간, 주파수, 공간 domain range value argument 치역 : 함수에 의해 반환 되는 값의 영역 정의역과 치역은 연속실수, 정수 복소수로 표현가능

4 연속시간 신호의 예> 불연속함수

5 Complex, exponential, sinusoids
General form C and a are, in general, complex numbers

6 Complex exponential 실수 지수함수의 경우 C 와 a 는 실수 Exponential growth
Exponential decay

7 Complex exponential When T=2p/w0

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11 특이함수 들 (Singularity functions)
단위계단 함수 Unit step function 부호 함수 Signum function 단위 경사 함수 Unit ramp function 단위 임펄스 함수 Unit impulse function 단위 구형파 함수 Unit rectangular function 단위 삼각 함수 Unit triangular function

12 The Unit Step Function Precise Graph Commonly-Used Graph
The product signal g(t)u(t) can be thought of as the signal g(t) “turned on” at time t = 0.

13 The Signum Function Precise Graph Commonly-Used Graph
The signum function, in a sense, returns an indication of the sign of its argument.

14 The Unit Ramp Function

15 임펄스 함수의 유도 Define a function
Let another function g(t) be finite and continuous at t = 0.

16 Introduction to the Impulse
The area under the product of the two functions is The continuous-time unit impulse is implicitly defined by

17 임펄스 함수의 주요 성질 샘플링 성질 (The Sampling Property)

18 Introduction to the Impulse
단위 임펄스 함수의 정의

19 임펄스 함수의 도식화 강도(strength) 혹은 weight (가중치)가 1인 임펄스 함수

20 The Unit Rectangle Function
주의 : 높이, 면적이 1

21 The Unit Triangle Function
주의 : 높이, 면적이 1

22 The Unit Sinc Function

23 The Unit Periodic Impulse
주기적인 임펄스 열은 다음과 같이 정의된다.

24 함수의 조합 (Combination of functions)

25 함수의 Shifting 과 Scaling 함수 g(t) 가 다음과 같이 정의 된 경우에 대하여..

26 Amplitude Scaling,

27 Shifting and Scaling Functions
Time shifting, 함수 g(t)가 to 만큼 오른쪽으로 이동

28 Time scaling, a 배수로 x축확대

29 시간 스케일링과 쉬프팅이 동시에 표현된 함수의 해석 예 :

30 A multiple transformation can be done in steps
시간 스케일링과 쉬프팅이 동시에 표현된 함수의 해석 예 : A multiple transformation can be done in steps 진폭 스케일링, 시간 스케일링 후 쉬프팅이 일어난 경우 진폭 스케일링, 쉬프팅후 시간스케일링이 일어난 경우

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33 각종 특이함수의 표현 예

34 함수의 미분 (Differentiation)

35 함수의 적분 (Integration)

36 기함수(odd) 와 우함수(even)의 표현
Even Functions Odd Functions

37 함수의 even part와 odd part로 의 분해
로 구성 되었다. Even 과 odd part는 다음과 같다

38 Even 과 Odd Function의 곱 Two Even Functions

39 Even 과 Odd Function의 곱 An Even Function and an Odd Function

40 Even 과 Odd Function의 곱 An Even Function and an Odd Function

41 Even 과 Odd Function의 곱 Two Odd Functions

42 Even과 Odd Function 의 적분

43 주기 함수 (Periodic Functions)
A function that is not periodic is aperiodic.

44 Sums of Periodic Functions
The period of the sum of periodic functions is the least common multiple of the periods of the individual functions summed. If the least common multiple is infinite, the sum function is aperiodic.

45 신호의 에너지와 파워 (Signal Energy and Power)
The signal energy of a signal x(t) is

46 Signal Energy and Power

47 Signal Energy and Power
Some signals have infinite signal energy. In that case It is more convenient to deal with average signal power. The average signal power of a signal x(t) is For a periodic signal x(t) the average signal power is where T is any period of the signal.

48 Signal Energy and Power
A signal with finite signal energy is called an energy signal. A signal with infinite signal energy and finite average signal power is called a power signal.

49 2.2 아날로그 신호와 디지털 신호 아날로그(analog) 신호 디지털(digital) 신호
2.2 아날로그 신호와 디지털 신호 아날로그(analog) 신호 연속적으로 변화하는 물리적인 양을 나타낸다. 디지털(digital) 신호 한정된 이산(discrete) 원소로 구성된 신호 디지털 신호의 장점 보존성, 편집 및 재생산, 정보 공유 및 검색이 용이 유지보수 노력 시간과 비용 절감 디지털 신호의 단점 잡음에 강한 대신 에러가 없어야 한다. 보안성이 취약하다.

50 아날로그 신호와 디지털 신호의 레벨 정보(information)신호 : 데이터,음향,영상신호
8비트는 ~ ⇒

51 2.2 위상과 주파수 1라디안 : 원 주위를 따라 반지름 r만큼 진행한 각도

52 사인(sine)파의 정의 위상 x에 대한 신호의 크기 y를 원운동에서⇒ 직선운동으로 표현한 것

53 코사인(cosine)파의 정의 코사인파는 사인파보다 위상각만 π /2 앞서 있다.

54 주기 T, 주파수 f 와 각속도 ω 주기 T : 사이클운동의 시간주기 주파수 f : 초당 사이클 회수[Hz] 혹은 [/sec]
각속도 ω : 초당 변화하는 위상각 [radian/sec] 주기 T 동안 변하는 비례관계에서 ω와 f는 시간특성과 주파수특성을 동시에 표현하면

55 2.3 통신신호의 수학적 표현 많은 공학이론에서 신호를 해석할 때, 기본 신호의 형태로 대부분 사인(sine)파나 코사인(cosine)파를 사용하는 이유 한 가지 주파수를 사용하므로 신호의 해석이 쉬워진다. ⇒수식이 간편해진다. 수학적으로도 타당 자연현상의 신호는 한 가지 주파수를 갖는 여러 가지 신호들이 모여서 만들어진다. (중첩의 정리) 통신신호를 표현하는 식은 정의하기 나름이다. 그 식 이후의 수식전개가 달라질 뿐이다.

56 통신신호 해석에 사용되는 삼각함수 기본공식 삼각함수의 합과 차와 곱

57 오일러(Euler)의 공식 오일러(Euler)의 공식

58 우함수와 기함수 우함수(even function) : y축 혹은 x=0 축에 좌우대칭
기함수(odd function) : 원점 혹은 (x,y)=(0,0)에 대칭

59 우함수와 기함수의 이용 적분과정을 간단히 생략할 수 있다. 기함수의 대칭구간의 정적분 값은 0이 된다.
우함수의 대칭구간의 정적분 값은 한쪽 대칭구간의 2배

60 2.4 신호의 시간영역과 주파수영역 표현

61 시간영역과 주파수영역으로 표현하는 이유 시간영역과 똑같은 신호를 해석이 편리한 주파수영역으로 옮겨서 해석하기 위함

62 2.5 주파수 해석 (Fourier 해석) 주파수해석 혹은 푸리에 (Fourier) 해석
주파수영역에서 통신신호를 해석하는 것 푸리에 급수와 푸리에 변환의 이용 목적은 모두 신호의 주파수 특성을 얻고자 하는 것 푸리에 급수(Fourier series) ⇒ 2장 푸리에 변환에 포함됨. 주기함수를 해석 푸리에 변환(Fourier transform) ⇒ 3장 주기함수를 포함한 모든 함수를 해석 신호의 주파수 특성이란 주파수에 대한 신호의 진폭 및 위상특성

63 푸리에 급수 : 주기함수의 해석에 사용 주기함수의 기본주파수 ω0의 배수 nω0 ( n은 정수)에 대응하는 고조파의 간격으로 나타나는 불연속한 이산적인 주파수 스펙트럼 형태

64 푸리에 변환 : 일반신호의 해석에 사용 주기함수를 포함한 일반적인 함수의 해석 이산치가 아닌 연속함수의 형태
고조파의 간격 f0=0

65 (－) 주파수대역은 존재하는가? (－)주파수대역은 존재하는가? 주파수 스펙트럼의 진폭특성은 우함수의 성질
물리적으로는 실제로 존재하지 않는다. 수학적으로만 －주파수대역이 나타나는 것 주파수 스펙트럼의 진폭특성은 우함수의 성질 진폭특성은 ω=0 축에 대하여 대칭 (3장참조) －주파수대역은 ＋주파수대역과 좌우대칭 신호의 전력을 계산할 때는－주파수대역도 포함 시간영역과 주파수영역이 모두 같은 신호를 두고 표현하므로, 해석하는 영역이 다르더라도 신호의 전력은 서로 같아야 한다.

66 2.6 푸리에 급수 (Fourier series)
어떤 함수를 다른 함수의 합으로 표현 급수 전개 : 다른 함수 합으로 수식을 펼쳐 표현 보통은 무한급수⇒ 한정된 원소의 합은 근사식 푸리에 급수(Fourier series) 프랑스 수학자 푸리에⇒임의의 주기함수는 사인과 코사인의 무한급수로 전개됨을 최초 증명 삼각함수를 많이 사용하므로, 푸리에 삼각함수 급수 (sine series 혹은 cosine series)라고도 함

67 주기함수와 푸리에 급수 주기가 T 인 주기함수의 정의
일반적으로 삼각함수는 주기함수 상수도 주기함수이다. 푸리에 급수는 주기신호의 주파수 성분을 구하기 위해, 원래의 신호를 여러 가지 주파수 성분을 갖는 함수들의 합으로 표현한다. f(t) 가 주기함수라면

68 푸리에 급수와 푸리에 계수 ω0 : 기본파의 기본주파수(fundamental frequency) f(t)를 다시 묶으면
ω0 포함신호 : 기본파(fundamental wave) 성분 2ω0 포함신호 : 2차 고조파(second harmonics) 성분 nω0 포함신호 : n차 고조파(nth harmonics) 성분

69 푸리에 급수의 기본파, 고조파, 합성파

70 푸리에 급수로 구한 주파수특성 앞에서와 달리, 푸리에 급수를 역으로 설명하면
⇒ 여러 가지 주파수 성분을 갖는 신호들을 모아 주기함수 f(t)를 합성파로 만들어낼 수 있다.

71 2.7 푸리에 계수 구하기 푸리에 급수를 전개하는 것은 결국 푸리에 계수를 구하는 것

72 주기 구간을 여러 가지로 표현 ①,③ 주기 구간 표현을 사용했을 때의 푸리에 계수 공식

73 예제 2.1

74 예제 2.1 (계속)

75 예제 2.1 (계속)

76 2.8 푸리에 급수의 다양한 형태 푸리에 급수를 삼각함수의 합성으로 표현 사인이나 코사인 항으로 묶어서 표현할 수 있다.
2.8 푸리에 급수의 다양한 형태 푸리에 급수를 삼각함수의 합성으로 표현 사인이나 코사인 항으로 묶어서 표현할 수 있다. 사인 항으로 묶은 경우

77 푸리에 급수의 다양한 형태 (계속) 코사인 항으로 묶은 경우

78 푸리에 급수의 복소지수 형식 복소지수 형식의 푸리에 급수 이 형식을 쓰면 적분의 계산이 매우 간단해진다.

79 - End of Chapter -