제주북초등학교 영재학급 심화반 6학년 14번 오정훈

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1 제주북초등학교 영재학급 심화반 6학년 14번 오정훈
페그 퍼즐 문제 해결법과 전략 제주북초등학교 영재학급 심화반 6학년 14번 오정훈

2 목차 탐구 동기 페그 퍼즐이란? 페그 퍼즐의 필수 전략 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 탐구를 마치며

3 탐구 동기 지난번 김대진 선생님과의 페그 퍼즐을 주제로 한 수업에서 처음 접한 이후에 이 문제에 대해서 좀 더 여러 가지 방법으로 알기 위해서 이렇게 탐구 주제로 정하고 탐구하게 되었다.

4 페그 퍼즐이란? 아래와 같은 그림에서 좌와 우에 각각 4개씩의 바둑돌이 있는데 이 바둑돌들은 1칸 좌와 우로 이동하거나 앞에 1개의 바둑돌이 있을 때에는 그 바둑돌을 건너뛰는 2가지의 이동 방법을 통하여 아래 2번째 그림처럼 좌와 우를 바꾸는 퍼즐이다.

5 페그 퍼즐의 최단 이동 횟수를 구하기 위한 필수 전략
1. 절대로 뒤로 가면 안 된다-뒤로 가면 그 만큼 횟수의 손해 2. 같은 색의 바둑돌이 겹치지 않도록 하라-점프를 많이 하기 위해

6 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 방법1:우선 직접 바둑돌을 이용해서 최단 이동횟수를 구해보았다.
결과:여러 가지 경우의 수가 있기 때문에 가장 적게 나온 결과를 얻기 힘들었고 만약 그 결과를 얻더라도 과연 그 결과가 최단 이동횟수인지 확실하지 않았다.

7 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 방법2:우선 바둑돌의 개수를 1쌍,2쌍,3쌍,4쌍일 때 좌와 우로 이동한 것을 R(RIGHT)과L(LEFT),B(BLACK)와W(WHITE),S(SLIDE)와J(JUMP)로 정하여 기록한다.

8 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기

9 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기

10 페그 퍼즐과 최단 이동횟수 구하기 결과 1쌍= 2×1+1 2쌍=2×(1+2)+2 3쌍=2×(1+2+3)+3
4쌍=2×( )+4 모든 이동은 대칭이 된다.(기호를 다르게 하여도)

11 페그 퍼즐과 최단 이동횟수 구하기 그러므로 N쌍의 바둑돌이 있는 페그 퍼즐의 최단이동횟수는 2☓(1부터 N까지의 합)+N

12 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 방법4:우선 4개보다 적은 수의 바둑돌을 이용한 최소횟수를 구했다. 바둑돌의 수(쌍) 1 2
3 최소 횟수 8 15

13 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 이 식을 더 세부하게 알기 위해 이동방법에 따른 횟수로 나타냈다. 바둑돌의 수(쌍) 1 2
3 점프한 횟수 4 9 민 횟수 6 최소횟수 8 15

14 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 표를 통해 바둑돌의 개수가 N쌍인 페그 퍼즐의 최소횟수를 구하는 방법을 알기 위해 움직임에 따른 횟수를  식으로 나타내었다. 1.점프한 횟수=N² 2.민 횟수=2N 3.최소횟수=점프한 횟수+민 횟수=N²+2N

15 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 그 외의 방법 결과=위의 표의 결과를 나타내보면 n(n+2)가 되는데 이 식을 전개하면 N²+2n 이 된다. 결국 이 식은 접근한 방법은 달라도 위에서 구한 식과 같은 결과를 얻는다. 바둑돌의 수(n) 1 2 3 4 n n+2 5 6 n(n+2) 8 15 24

16 탐구를 마치며 이번 페그 퍼즐의 문제 해결법을 탐구해보았는데 처음에 무작정 최소횟수를 보다 간단한 조건의 페그 퍼즐의 최소횟수를 구하고 그 횟수를 이동방법에 따라 표로 나열해보자 식이 한눈에 보이게 되어 미지수n개 일 때의 최소횟수는 해보지 않고도 알 수 있게 되었다. 결국 페그퍼즐 같은 문제에는 규칙을 찾아서 문제를 풀어나가는 것이 더 효과적이라는 생각이 들었다. 그러나 수가 커질수록 이 식이 꼭 최소횟수라고 증명할 수는 없는 것이다. 그렇기 때문에 다음에 기회가 되면 정확히 최소횟수라고 증명할 수 있는 이유를 탐구해보고 싶다.