Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed 확률의 이해 Probability

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1 Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed 확률의 이해 Probability
February 26, 2019 켈러의 경영경제통계학 제5장 확률의 이해 Probability Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

2 확률의 개념

3 확률의 종류

4 객관적 확률

5 확률의 개념

6 확률의 개념 확률(probability)이란? 실험(experiment)
실험을 했을 때 어떤 사건이 일어날 가능성을 ‘0’에서 ‘1’사이의 수치로 표시한 것 - ‘0’이면 전혀 가능성이 없음을 의미하고, ‘1’이면 절대 확실함을 의미 실험(experiment) - 관찰을 통해 관찰치 또는 자료를 얻는 과정 (예) 체중 측정, 부피 측정, 선호도 조사 등 사건(event) - 실험을 통해 얻은 결과 (예) 동전을 한번 던져 나오는 결과는 앞 또는 뒤주사위를 던져 나오는 결과는 1, 2, 3, 4, 5, 6 출산의 결과는 아들 또는 딸 표본공간(sample space) - 특정 실험을 통해 얻을 수 있는 가능한 결과들의 집합 (예) 주사위를 한번 던지는 실험의 표본공간 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

7 확률은 미래의 사건(event)과 관련된 불확실성을 측정하고 분석하는 방법을 제공해준다.
확률의 필요성 우리의 일상생활은 줄곧 불확실한 상황 하에서 행해지는 의사결정의 연속이다. 내일 비가 올 것인가? 주식가격이 오를까? 현재계획 중인 업무가 성공할까? 등 등 모두 불확실한 것들임 이러한 불확실성에 대처하기 위한 가장 효과적인 방법이 확률임. 즉 비올 확률이 높으면 우산을 갖고 외출하면 되고, 주가가 오를 확률이 높으면 주식을 매입하면 좋을 것. 확률은 미래의 사건(event)과 관련된 불확실성을 측정하고 분석하는 방법을 제공해준다.

8 확률의 계산(1) 실험을 하여 나오는 어떤 사건을 A라 할 때, 사건 A가 발생활 확률을 P(A)라 하면,
주사위를 한번 던질 때 뒷면의 숫자가 4 이상일 확률은 얼마일까? 예 주사위의 각 숫자가 나올 가능한 결과는 6가지이고, 그 중에서 숫자가 4 이상인 경우는 4, 5, 6의 세 가지이므로 주사위 숫자가 4 이상일 확률 P(4이상) = 3/6 = 1/2

9 확률의 계산(2) 예) 주머니 속에는 검정 돌 4개와 흰 돌 6개가 들어 있다. 임의로 하나의 돌을 꺼낼 때 그것이 흰 돌일 확률은? ① 표본공간은(Ω)? Ω = { ● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ } ② 바라는 성공사건의 집합은(A)? A = { ○ ○ ○ ○ ○ ○ } ③ 흰 돌(A)일 확률은? 6 10 P(A) = = 0.6

10 예) 주사위를 두 번 던질 때 두 번 모두 짝수의 면이 나올 확률은?
확률의 계산(3) 예) 주사위를 두 번 던질 때 두 번 모두 짝수의 면이 나올 확률은? ① 표본공간은(Ω)? Ω = { (1,1), (1,2), (6,5), (6,6) }로서 가능한 사건의 총수는 6*6=36가지 ② 두번 모두 짝수의 면인 경우의 집합은(A)? A = { (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6) }로서 9 가지 ③ 두번 모두 짝수일 확률은? 9 36 P(A) = = 0.25

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5.1 사건에 확률을 부여하는 방법… February 26, 2019 -주요 확률개념의 정의 확률실험(random experiment)-확률실험은 여러 가지 가능한 결과들 중 하나의 결과를 발생시키는 활동 또는 과정이다. 예. 동전 한 개 던지기, 컴퓨터 한대를 조립하 는 시간. (2) 표본공간(sample space) – 표본공간은 하나의 확률실 험으로부터 발생할 수 있는 모든 가능한 결과들을 나열한 것이다 (가능한 모든 결과들이 포함되어야 하고 (exhaustive) 표본공간에 포함되는 결과들은 상호배타 적(mutually exclusive)이어야 한다) Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

12 (3) 확률법칙(law of probability) 표본공간 가 주어져 있을 때, 표본공간에 속한 결과들에 부여되는 확률은 다음과 같은 두 가지 조건을 충족시켜야 한다. 1. , 2. (4) 사건(event) 표본공간에 있는 하나의 원소로 구성되는 단순사건 또는 두 개 이상의 단순사건들의 집합 (표본공간의 부분집합)

13 5.1 사건에 확률을 부여하는 방법… -하나의 결과 Oi 에 확률 P(Oi), 을 부여하는 3가지 방법이 있다. 고전적 방법(classical approach) :표본공간의 각 결과가 발생할 가능성 이 동일한 경우에 관련된 사건에 대한 확률을 부여방법. 상대도수방법(relative frequency) :실험 또는 역사적 데이터로부터 각 결과가 발생되는 상대도수를 확률로 부여하는 방법. 주관적방법(subjective approach ): 확률을 부여하는 자의 주관적 판단 에 기초하여 확률을 부여하는 방법.

14 고전적 방법(Classical Approach)…
-하나의 확률실험이 n개의 가능한 결과를 가지고 각 결과가 발생될 확 률이 동일하다면, 각 결과가 발생할 확률은 1/n이다. 예. 확률실험: 주사위 1개 던지기 표본공간: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 확률 : 표본공간의 각 원소가 발생할 확률=1/6 사건 : 주사위 1개 던지기에서 짝수가 나타날 사건 A= {2,4,6} 사건의 확률: P(A)=P(2)+P(4)+P(6)=3/6 =1/2

15 상대도수방법(Relative Frequency Approach)…
예.Bits & Bytes Computer Shop은 30일 동안 노트북 판매대수를 기 록하였다. 예를 들면, 30일중 10일에 2대의 노트북이 판매되었다. 도수분포표로부터 사건의 확률 을 상대도수에 의해 계산할 수 있다… Desktops Sold # of Days 1 2 10 3 12 4 5

16 상대도수방법(Relative Frequency Approach)…
노트북 판매대수 일수 상대도수 1 1/30 = .03 2 2/30 = .07 10 10/30 = .33 3 12 12/30 = .40 4 5 5/30 = .17 ∑ = 1.00 “Bits & Bytes가 어느 주어진 날에 3대의 노트북을 판매할 확률은 40%이다.”

17 주관적 방법(Subjective Approach)…
-주관적 방법은 한 사건의 발생에 대한 믿음의 정도(degree of belief) 를 확률로 부여한다. 예. 일기예보의 강수확률 (Probability of Precipitation/POP) 은 예보 자들마다 다른 방법으로 정의된다. 그러나 기본적으로 일기예보의 강수 확률은 현재의 날씨상황과 과거 관측에 기초하여 부여되는 주관적 확률 이다.

18 확률의 해석… -확률을 부여하기 위해 어떤 방법이 사용되든지간에 확률은 확률실험 이 무한히 이루어지는 경우를 상정한 상대도수방법을 사용하면서 해석 될 수 있다. 예. 한 정부 복권게임에서 49개의 숫자 중에서 6개 숫자를 선택한다고 하자. 고전적방법은 각 숫자가 선택되는 확률은 1/49=2.04%라고 예측 한다. 이와 같은 확률은 장기적으로 (실험을 무한히 반복하는 경우) 각 숫자가 실험들 중의 2.04%에서 선택될 것이라는 것을 의미한다고 해석 될 수 있다.

19 5.2 결합확률, 한계확률, 조건부 확률… -다양한 사건들에 대하여 확률을 부여하는 방법에 대한 논 의
여사건(complement event) 교사건(intersection of events) 합사건(union of events) 상호배타적 사건(mutually exclusive events) 종속사건(dependent events)과 독립사건(independent events)

20 여사건(Complement of an Event)…
-사건A의 여사건(complement of event A)은 사건 A에 속하지 않는 모든 표본공간 원소들로 구성된 사건으로 정의된다. -사건 A의 여사건은 Ac 로 나타낸다. -여사건의 개념을 Venn diagram으로 나타내면 다음과 같다. P(A) + P(Ac ) = 1 S Ac A

21 여사건 (Complement of an Event)…
예. 2개의 주사위를 던지는 확률실험의 표본공간은 S = {(1,1), 1,2),… (6,6)} 이다. 사건 A는 나타나는 점들의 합이 7인 사건이라고 하자. 따 라서 A = {(1,6),(2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(A)+P(AC) =1 P(A)=6/36=1/6 A Ac

22 합집합과 교집합 확률이론

23 교사건(Intersection of Two Events)…
-사건 A와 사건 B의 교사건(intersection of event A and event B)는 사건 A와 사건 B가 동시에 발생하는 사건 (A and B)으로 정의된다. -사건 A와 사건 B의 교사건 : A and B -사건 A와 사건 B의 결합확률(joint probability )은 사건A와 사건 B의 교사건 확률, 즉P(A and B) 이다. A B

24 교사건(Intersection of Two Events)…
-예. 사건 A= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} (첫번째 주사위 가 1인 사건)이고 사건 B ={(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} (두 번째 주사위가 5인 사건)이라고 하자. -따라서 사건A와 사건B의 교사건 ={(1,5)} -사건 A와 사건 B의 결합확률(joint probability )은 사건A와 사건 B의 교사건 확률, 즉 P(A and B) =1/36 이다. A B

25 합사건(Union of Two Events)…
-사건A와 사건B의 합사건은 사건A 또는 사건B에 속하거나 또는 사건A 와 사건B에 모두 속하는 표본공간의 원소들로 구성되는 사건으로 정의 된다. -사건A와 사건B의 합사건: A or B A B

26 합사건(Union of Two Events)…
- 예. 사건 A= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} (첫번째 주사위 가 1인 사건)이고 사건 B ={(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} (두 번째 주사위가 5인 사건)이라고 하자. -사건A와 사건B의 합사건={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} P(A or B )=11/36 A B

27 상호배타적 사건(Mutually Exclusive Events)…
-두 사건이 상호배타적(mutually exclusive ), 즉 두 사건이 동시에 발 생되지 않을 때, 상호배타적 사건의 결합확률은 0이다. P(A and B)=0 A B 상호배타적 사건은 사건A와 사건B에 공통으로 가지는 표본공간의 원소가 없다…

28 여사건 합사건 A Ac A B 교사건 상호배타적 사건 A B A B

29 한계확률(Marginal Probabilities)…
P(A2) = =.60 “펀드매니저가 상위20위 이외 MBA를 졸업하였을 확률” B1 B2 P(Ai) A1 .11 .29 .40 A2 .06 .54 .60 P(Bj) .17 .83 1.00 P(B1) = =.17 한계확률의 합은 1이다. “뮤추얼펀드수익률이 시장수익률보다 높을 확률”

30 한계확률(Marginal Probabilities)…

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