홍정미 (정보미디어학과, ) 문희윤 (정보미디어학과, )

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1 홍정미 (정보미디어학과, 0110407) 문희윤 (정보미디어학과, 0120402) 2002.5.15
Wavelete Transform 홍정미 (정보미디어학과, ) 문희윤 (정보미디어학과, )

2 목차 Wavelete의 개요 Wavelet의 역사 Wavelet의 종류 Wavelete 변환과 시간 주파수 해석
Discrete Wavelete 변환 Wavelete 분해 Wavelete 합성

3 Wavelet 이란? Wavelet 잔물결 Wavelet 변환에 있어서 하나의 기저함수를 지칭함.

4 Wavelet 변환이란? Wavelet 변환 영상 변환 -> 부밴드 생성 및 분석 -> 영상정보 획득
Mother Wavelet의 수축과 팽창 -> Wavelet들의 집합 생성 다중해상도 분석 가능 주파수 -> 스케일 스케일의 상세신호(detail signal) : 하나의 Wavelet을 통과한 신호.

5 Wavelet 변환의 필요성 Fourier analysis (퓨리에 해석)
신호해석(Signal analysis)에서 일반적으로 가장 널리 알려진 방법. 하나의 신호 -> 서로 다른 주파수로 나눔 시간기반(time-based)신호 -> 주파수기반(frequency-based)신호 단점 : 시간에 대한 정보의 손실. ( 일반적인 신호는 상당히 유동적이고 변화가 많음. )

6 Wavelet 변환의 필요성 2 Wavelet 변환의 특징 시간 영역과 주파수 영역에 대한 국부성
시간 영역과 주파수 영역에 대한 국부성 비정상 과정(non-stationary)을 가지는 영상신호의 해석 일정한 시간에 에너지가 집중되어 있는 파형 mother wavelet의 확장, 수축에 의해 얻어지는 wavelet 집합을 사용 DWT(Discrete Wavelet Transform) : 기저함수(basis function)들의 집합에 의한 신호분해 다중해상도 분석 : 영상의 국부적인 영역을 분석, 조정

7 Wavelet의 역사 Wavelet의 등장 지진응답파 분석 : 초기 wavelet인 직교 wavelet 기저로 탄생함.
: 1980년대초. Morlet 다중해상도분석(multi resolution analysis) : 구체적인 wavelet 구축 방법 : 고속 wavelet 알고리즘 개발 : 1987년, Mallat Haar함수계 개발 :함수 직교계의 이론을 설명 : 1909년, Haar

8 Wavelet의 역사 Wavelet의 발전
유한 길이(compact support)의 정규직교(orthonomal) wavelet 기저 : Daubechies 다양한 wavelet의 일반형들의 제시 : 1990년대 이중 직교 wavelet, wavelet packet : 고주파 진동파형을 갖는 신호,영상의 압축 및 잡음제거에 효율적 : 1992년, Cohen, Coifman multi wavelet : 영상 압축에 응용 : 1994년, Strang 제2세대 wavelet의 구축법 : 퓨리에 변환에 의존하지않는 lifting 방법 : 1995년, Sweldens

9 Wavelet의 분류 Wavelet의 분류 기준
wavelet 함수(mother wavelet), p(t)와 스케일링 함수, p(t)의 지지범위 좌우대칭성(regularity) 스케일링 함수의 존재여부 직교성질(orthogonality) 명확한 수식적 표현의 존재 여부 -> 여러 가지 유형이 존재 -> 현재도 새로이 만들어지고 있음.

10 Wavelet의 종류 Morlet Wavelet 스케일링 함수가 없음. 직교하지 않음 (t) = ejw0te-t2/2
(w) = #2e-(w-w0)2/2

11 Wavelet의 종류 Shannon Wavelet (t) = ( 2sin(t/2) / t ) * cos(3t/2)
(w) = 1 ,  < IwI < 2  0 , otherwise

12 Wavelet의 종류 Second derivative of Gaussian (t) = (1 – t2)e-t2/2
(w) = #2w2e-w2/2

13 Wavelet의 종류 Mexican hat Wavelet 스케일링 함수가 없음 직교하지 않음
(t) = (2/#3-1/4)(1 – t2)e-t2/2

14 Wavelet의 종류 Meyer Wavelet 좌우 대칭 직교해석 가능

15 Wavelet의 종류 Haar Wavelet 가장 일반적, 간결한 형태 시간적으로 에너지 집중을 가지며, 진동하는 특성
매끄러운 신호나 영상처리에 효과적이지 못함. 계산속도가 빠르고 쉽게 구현 가능 (t) = 1 , 0  t  1/2 -1 , 1/2  t  1 0, otherwise

16 Wavelet의 종류 Daubechies Wavelet 영상분야 Discrete wavelet 변환 방법
N으로 대표되는 정수에 따라 그종류가 나뉨 : Db1 은 다우비치 1 wavelet을 말하며,일반적으로 dbN으로 표현한다. 스케일링 함수는 $h0(n) = #2 을 만족하고 이에 따른 db4 wavelet의 계수값은 h0 = {0.483, , , }이다. 또한 wavelet 함수는 $h1(n) = 0 을 만족하고, 이에 따른 db4 wavelet 계수값은 h0 = {0.1294, , , 0.483}이다.

17 Wavelet의 종류 N 값에 따른 Daubechies Wavelet의 종류

18 Wavelet 변환과 시간-주파수 해석 푸리에 변환 윈도우 푸리에 변환 F(w) = &f(t)e-jwtdt
넓은 주파수 정보를 얻을 수 있음 신호의 국부적인 주파수 특성 추출에는 부적당함. 윈도우 푸리에 변환 STFT(Short time Fourier transform) 국부적인 주파수 특성을 얻음 신호를 일정간격의 주파수 대역으로 분해 시간 해상도, 주파수 해상도가 일정함.

19 Wavelet 변환과 시간-주파수 해석 Wavelet 변환
다해상도 해석 : STFT의 해상도(resolusion) 한계를 극복 고주파 성분의 신호 -> 시간 해상도를 높이고 주파수 해상도를 낮춘다. 저주파 성분의 신호 -> 주파수 해상도를 높이고 시간해상도를 낮춘다. STFT에 비해 여러 장점을 제공

20 Wavelet 변환과 시간-주파수 해석 푸리에 변환 Wavelet 변환

21 Discrete Wavelet Transform
DWT 원형(prototype) wavelet의 확장, 천이 시간영역과 주파수영역에서 wavelet의 정의 식 ab(x) = 1/#2 ((x-b)/a) a : 확장을 의미함, a가 커지면 주파수의 해상도가 증가한다. b : 천이를 의미함, 시간적인 위치를 의미함. DWT : Wf(m,n) = a0-m/2 $(a0-mx – nb0)f(x)dx a0 = 2, b0 = 1 일때 ab(x)는 정규 직교 기저(orthonormal basis)가 된다.

22 Wavelet의 분해 Wavelet의 분해 Wavelet 분해 과정
: 근사값(approximations)과 세부값(detail)을 만드는 과정. 근사값 : 신호의 저주파 성분 세부값 : 고주파 성분 2차원 영상에 적용하면 4개의 세부 성분으로 나뉘어짐.

23 Wavelet의 분해 Wavelet의 분해과정

24 Wavelet의 분해 Wavelet의 분해과정 1 x방향으로 필터링 -> 저주파성분 L과 고주파 성분 H로 나뉨.
L, H를 y방향으로 필터링 -> LL, LH, HL, HH 4개의 부영상을 얻음. LL 대역의 영상 : 해상도가 반으로 줄어든 저주파 성분. : 에너지 집중도가 높고 중요한 정보를 갖음 LH, HL, HH 대역의 영상 : 수평, 수직, 대각 성분에 대한 edge성분을 가지고 있는 고주파 성분. : 에너지 집중도가 낮고 물체의 윤곽 부분에 해당하는 상세 정보를 갖음

25 Wavelet의 분해 Wavelet의 분해과정 2 영상의 다해상도 분해 : 1단계 변환후 LL대역을 다시 변환..
: 이를 다시 반복.. : 에너지는 최저대역에 집중, 여러 단계의 상세 정보를 얻을 수 있음 위에서 나누어진 신호는 서로 다른 주파수 특성을 갖고 있으며 상관 관계가 존재한다. 이 상관관계는 물체의 외곽선과 같은 영상의 특성을 결정짓는 정보에 해당되므로 압축이나 전송에 의한 손실에서 보호되어야 한다.

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28 Wavelet의 합성 Wavelet의 합성
IDWT(Inverse Discrete Wavelet Transform)를 사용하여 합성. Down sampling된 신호 -> up sampling 후 필터를 통해 합성. Up sampling 과정 : 길이를 두배로 샘플된 사이의 값은 0으로 채우는 과정. 각각의 부대역들은 up sampling 과정후 열방향으로 wavelet 변환 하고, 다시 up sampling 과정후 행방향으로 wavelet 변환하여 영상을 합성.

29 Wavelet의 합성

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