Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

Presentation on theme: "Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University"— Presentation transcript:

1 Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
Equilibrium (평형) Ⅰ Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2 정역학 문제의 구성 역학의 구성 요소와 정역학 및 고체역학 전체 계의 구성 전체 계의 분리
부분 계1 구성요소 정역학 고체역학 힘 힘의 평형조건 힘의 평형조건, 평형방정식, 운동방정식 변형 강체 변형의 기하학적 적합성, 변형과 변위의 관계 재료 변형가능체 : 탄성변형 – 후크법칙 소성변형 - 소성유동법칙 경계조건 역학적 경계조건 기하학적 경계조건, 역학적 경계조건 ground 부분 계1 부분 계2 전체 계의 구성 그라운드(Ground) 또는 지지대(Support) 부분 계(Subsystem) - 부분 계가 하나일 때 : 3 장에서 취급 - 부분 계가 두 개 이상일 때 : 4 장에서 주로 취급 ground 전체 계의 분리 그라운드(Ground) 또는 지지대-부분 계의 분리는 필수 부분 계(Subsystem) 간에는 필요 시 분리 -분리 시 평형조건식의 수가 미지수의 수보다 많이 증가할 때: 4 장에서 취급 -내부에 작용하는 힘을 알고 싶을 때: 5 장에서 굽힘모멘트 및 전단력 계산 등에서 공부함 벡터역학, 뉴턴역학 : 벡터량으로 역학현상을 규명함 해석역학

3 뉴턴의 운동법칙과 평형조건식 뉴톤의 운동법칙 평형조건식 연속체(Continuum) R24 R42
제1법칙 하나의 질점에 작용하는 힘의 합이 0일(힘의 평형상태) 경우, 그 질점은 정지해 있거나 직선상에서 일정한 속도로 운동한다. (관성의 법칙) 정지하고 있는 물체 작용선 위반 작용점 위반 모든 힘은 내력임 제2법칙 하나의 질점에 작용하는 모든 힘의 합 f는 그 질점의 질량 m과 가속도 a의 곱과 동일하다. 즉, f = ma이다. (가속도의 법칙) 제3법칙 두 질점 사이에 작용하는 두 내력(작용과 반작용 힘)은 크기가 같고 방향이 반대이며, 작용선은 동일하다. (작용과 반작용의 법칙) R24 연속체(Continuum) R42 • 작용선 위반 문제의 해결 평형조건식 • 평형조건식은 작용점 위반 문제를 아직 해결하지 못했음 • 평형조건식은 물체 전체계뿐만 아니라 물체로부터 분리된 모든 부분계에 대해서 성립해야 함 힘 (force) 내력 action and reaction force 외력 표면력 하중, 반력 체적력 자중 또는 또는 미분방정식(평형방정식) 등으로 수식화됨

4 평형조건식 (Requirements on Equilibrium )
(강체의 평형방정식) 뉴톤의 운동법칙 평형조건식은 전체 계는 물론, 임의의 부분 계에 대해서 성립해야 함 미소요소(선분, 면적, 체적)에 평형조건식을 적용시키면 미분방정식이 유도됨 평형조건식만으로 해결할 수 있는 문제 : 정정계(Statically determinate system)

5 역학6개 질점을 이용한 평형조건식 유도배경 설명
A 포머단조는 기본적으로 여러 공정을 다단식 자동단조기에서 동시에 실시한다는 점에서 일반 단조와 차이가 있다. 제품이 소형화 됨에 따라 마이크로포머 단조 분야가 크게 발전하고 있다. 마이크로 포머단조는 일반적으로 제품에서 1mm 이하의 치수가 2개 이상인 경우를 의미한다. 소성가공의 시뮬레이션 시 제품의 크기와 공정변수를 근거로 크기를 조절해야 하는 입력 변수가 있습니다. 절점의 금형 침투 허용치, 절점의 금형 침투 허용치, 최소허용유효변형률속도 등입니다. 이와 같은 변수들은 제품의 크기, 공정 변수, 해의 정확도 등을 고려하여 경험적으로 결정해야 합니다. 대부분의 마이크로포밍 관련 연구는 마이크로 포밍 현상에 관한 연구가 주를 이루었고 단조시뮬레이터 일반 사용자가 마이크로포밍 해석 관련 경험치를 체계화 하는데 어려움이 있었다. 본 연구에서는 기준이 되는 제품의 크기를 제안하고, 이를 바탕으로 시뮬레이션을 실시함으로써 시뮬레이션 결과에 대한 신뢰성을 향상시키고 경험 기술을 체계화하는 방법을 제시하고자 합니다. 실제 포인트 수는 무한대임

6 서브-시스템(Subsystem) 평형조건식은 임의의 서브-시스템에 대하여 성립해야 함
먼저 나무를 보기에 앞서 숲을 훓어 보는 차원에서 앞으로 전개될 내용을 총정리해 볼 필요가 있습니다. 수식의 구체적 의미는 고등역학에 관한 이해를 필요로 하므로 현 시점에서 여기서 설명하는 내용의 행간을 상세히 이해할 필요는 없습니다만, 전반적인 흐름의 이해는 역학 이론을 체계적으로 이해하는데 큰 도움이 될 것입니다. 자연 현상의 기본법칙 중에서도 기본은 뉴톤의 운동법칙과 에너지보존법칙입니다. 그 이외의 법칙 또는 관계식을 구성방정식과 기타로 구분해 보았습니다. 여기에는 대학의 학부과정의 고체역학, 유체역학, 열전달 등에서 배운 대부분의 식들이 고등역학의 표현법으로 정리되어 있습니다. 먼저 뉴톤의 운동법칙, 즉 Newton's law of motion(뉴톤스 로우 모션)을 정리해 보도록 하겠습니다. 뉴톤의 운동법칙은 질점, 즉 particle에 관한 역학입니다만, 이를 계 전체에 적용하면은, 소위말하는 평형조건식, 즉 requirements on equilibrium(리콰이어먼츠 온 이퀼리브리엄)을 얻게 됩니다. 흔히들 이를 뉴톤의 운동법칙으로 이해하고 있습니다만, 특히 가속도 및 각가속도가 영인 경우, 즉 sigmaF =0(시그마 에프 이꼴은 영), sigmaM=0(시그마 엠 이꼴은 영)을 평형조건식이라고 함이 옳습니다. 이 평형조건식만으로 해결할 수 있는 역학 문제는 매우 제한적입니다. 정역학에서 배운 소위말하는 정정계 문제가 여기에 속합니다. 뉴톤의 운동법칙과 평형조건식은 서로 동일한 의미를 갖지 못합니다. 그러나 평형조건식이 임의의 부분계, 즉 임의의 subsystem(써브시스템)에 대해서 항상 성립한다는 전제조건이 붙는다면은, 동일한 의미로 해석 가능합니다. 가속도의 영향이 무시 가능한 문제의 임의의 미소체적에서 평형조건식이 성립하도록 하면 평형방정식이 되고(물론 평형방정식은 편미분방정식이죠), 가속도의 영향을 고려할 경우 우리는 운동방정식을 얻게 됩니다. 유체역학에서 배운 Navier-Stokes(나비에 스트로크) 방정식은 운동방정식으로부터 시작하여 유도됩니다. 에너지보존법칙을 고체의 미소체적에 적용하면 열전도방정식이 유도되고 유체에 적용하면 에너지보존방정식이 유도됩니다. 이 두 지배방정식의 차이는 대류항, 즉 convective term(컨벡티브 텀)이 있고 없고에 달려 있습니다. 참고로 이 항을 확산항(diffusion term-디퓨젼 텀)이라고 합니다. 대개 대류항의 영향이 커지면 수치적으로 어려운 문제가 됩니다. 그렇기 때문에 고체역학 문제의 전산해석이 유체역학에 비하여 다소 쉽고 결과의 신뢰성도 높습니다. 앞에서 설명한 두 개의 기본법칙은 모두 미분방정식으로 수식화됩니다. 미분방정식은 반드시 알려진 경계조건을 동반합니다. 그렇기 때문에 이러한 역학 문제를 경계치 문제(Boundary Value Problem-바운더리 밸류 프러블럼)라고 합니다. 고체역학 문제의 경계조건을 보면, 하중 또는 표면력이 주어진 경계조건도 있습니다만 반드시 변위가 주어진 경계조건이 있어야 합니다. 열전달 문제의 경우, 온도가 주어진 경계조건과 열유동이 주어진 경계조건이 동시에 존재합니다. 응력과 변위, 온도와 열유동 간에는 소재에 따라 다르기는 합니다만 일정한 관계가 있습니다. 이러한 관계를 지어주는 식을 구성방정식, 즉 constitutive law(컨스티튜티비 로우)라고 합니다. 후크법칙은 힘과 변위의 선형적 관계를 지어주는 법칙으로 소재가 등방성일 경우, 즉 방향성이 없는 경우 응력과 변형률의 관계식은 이 식으로 표현됩니다. 소재가 소성변형을 받고 있으며, von Mises(본 미세스) 항복이론을 따를 경우 편차응력텐서와 변형률속도텐서의 관계는 이 식으로 표현됩니다. 그리고 열유동이 온도의 구배에 비례할 경우, Fourier(퓨리에)의 열전도법칙에 의해 이 식이 성립하게 됩니다. 지금까지 몇 개의 구성방정식을 소개했습니다만, 문제에 따라 여러 형태의 구성방정식이 존재할 수 있습니다. 기타 법칙 및 관계식에 관하여 간략하게 소개하겠습니다. 먼저 질량보존법칙은 연속방정식으로 수식화되며, 비압축성일 경우 이 식으로, 압축성 물질일 경우 이 식으로 수식화됩니다. 그 다음으로, 변위-변형률 관계식과 속도-변형률속도 관계식은 각각 이 식과 이 식으로 표현되며, 기하학적으로 구해지는 식입니다. 경계조건은 필수경계조건과 자연경계조건으로 구분해서 설명됩니다. 자연경계조건에서 이 식은 Cauchy(코지)의 공식이라고 하고 응력벡터와 응력의 관계를 지어주는 식입니다. 평형조건식은 임의의 서브-시스템에 대하여 성립해야 함 = 임의의 미소면적(체적)에 대하여 성립해야 함 => 응력 정의

7 2차원 평면 및 3차원 공간에서 힘의 평형조건식 평형조건식의 정리 평형조건식의 적용, 방향 2차원 평면 3차원 공간 비고
x,y,z 방향 대신 임의의 독립적인 방향을 선택할 수 있음 x,y,z 방향 대신 임의의 독립적인 방향을 선택할 수 있음 방정식 3 개 방정식 6 개 평형조건식의 적용, 방향 F D E A C B

8 정역학에서 사용되는 힘의 벡터 반력을 구하고자 할 경우 : 미끄럼벡터 부재력을 구하고자 할 경우 : 한정벡터 A A C C B
F F D D E E A C A C B B

9 평형조건식의 적용 시의 유의점 는 점 i 에 따라 변하지만, 는 고정되어 있음

10 평형조건식의 적용과 자유물체도 평형조건식은 어디에 적용하는가? 자유물체도(Free-body diagram)
자유물체도란? 역학 해석을 위하여 분리된 대상 물체의 역학적 뼈대에 작용하는 모든 외력(external force)을 나타낸 선도 대상 물체를 어떻게 분리해야 하는가? 기본원칙 준수(상세 교육함), 역학적 상식 활용(훈련, 즉 많은 문제 풀이 필요) 물체의 역학적 뼈대(Skeleton)란? 힘의 전달 통로가 표시될 수 있는 최소한의 역학적 구조 외력(External force)이란? 하중(exerted load), 자중(weight), 반력(reaction), 자력(magnetic force) 등 자유물체도 그릴 때 유의사항 지지로부터 완전 분리하고, 그 흔적을 남기지 않음 가급적 역학적으로 불필요한 부분은 자유물체도에서 삭제함 역학적 뼈대를 사실에 입각하여 작성함(실물과 1:1 치수 유지 등) 미지의 하중(주로 반력)은 특별한 사유가 없는 한 +좌표축의 방향이 +값이 되도록 설정함 미지의 하중, 미지수의 표현: 가급적 통일 유지, 예 :

11 자유물체도 작성 및 평형조건식 적용 예: 정정계
예 : 단순지지보 힘의 평형조건

12 자유물체도와 부정정계 예 : 3 점 지지보- 부정정계 ① ② ③ ④ ⑤
힘의 평형조건 ① ② ③ ④ ⑤ 식 ① ~ ⑤ 에서 독립적인 식은 2개 밖에 없음 임의의 점에서 모멘트 합이 0이라는 조건으로부터 무수히 많은 식을 유도할 수 있음 미지의 수 > 식의 수 ⇒ 부정정계 문제 부정정계 문제는 정역학적으로 반력을 결정할 수 없음 부정정계 문제는 역학의 3요소를 모두 고려해야 하며, 이에 관한 내용은 고체역학에서 취급함

13 전체 계로부터 대상 부분 계의 분리 원칙

14 전체 계로부터 대상 부분 계의 분리 원칙 (계속)

15 전체 계로부터 대상 부분 계의 분리 원칙 (계속)