Ch 4. Preparatory Concepts, Function Spaces and Hermitian Operators.

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1 Ch 4. Preparatory Concepts, Function Spaces and Hermitian Operators.
Box 內의 입자와 규격화 자유입자 연속적인 값의 고유치 고유함수 두번째 1 차원 공간 문제 점 질량 m인 입자 1차원 자유도만 가진 마찰 없는 줄에 한정 뚫고 지나갈 수 없는 거리 L 떨어진 벽 사이에 갇혀 있음 위치 에너지

2 φ=0 Domain 1 : 한정된 고유치 에너지 E 를 갖는 입자의 상태는 φ=0
시간에 의존하지 않는 Schrödinger 방정식 ∞ φ는 소멸되어 이 공간에서는 입자가 존재하지 않음 한정된 값 Domain 2 에서 Schrödinger 방정식 φn 연속함수 V(x)=∞ 영역경계에서 φ=0 이라는 경계조건 Domain 2 내부에서 자유입자 2차 미분방정식 Schrödinger 방정식의 일반해 경계조건들 반파장의 정수배가 L 인 함수만 이 box에서 존재!! 계수 A 는 규격화조건

3 Arbitrary Phase factor
1차원 box (무한 우물) 문제 고유함수 : 고유치 : n=0 인 경우 : φn=0, E=0 : 존재하지 않음!! Domain 2 에서는 입자는 운동에너지 밖에서 없음. 이 입자는 멈춰있음 (Δp=0). Δx=finite Box 안에 갇혀 있을 수 없음 (불확정성 원리에 위배됨.) Arbitrary Phase factor 입자의 파동함수는 관측대상 C 에 대한 기대치 규격화 조건 파동함수는 exp⁡(𝑖𝛼) 인 constant phase factor 자유도 내에서 정해짐. (α가 임의의 실수) 일 때 불변. 임의의(arbitrary)성질은 물리적인 결과에 영향을 주지 않음 (파의 합성에 영향을 줌)

4 4. 2. 보어의 일치율 1 차원 공간 L (폭이 L 인 무한 potential 우물)에서 입자의 고전적 운동
속도 𝑣 (운동량, 에너지가 결정됨)가 주어지면 초기위치 𝑥0 가 전혀 알려져 있지 않는다면, 이 구간에서 입자가 소비한 시간(t)의 주기(T) 에 대한 비율 𝑥 와 𝑥+d𝑥 사이에서 입자를 발견할 확률 : P d𝑥 어디에서나 일정한 확률밀도!! 주기(T) : 이 우물을 한 번 지나가는 데 걸리는 시간: 𝐿/𝑣 동일 장치를 설치해 입자의 위치를 측정하면 어디에서나 똑같은 갯수를 발견할 것임!! 양자역학의 경우, 입자가 n=3 상태에 있다면 확률밀도는 x= L/6, L/2, 5L/6 에 peaks 동일장치를 이용하여 입자위치를 측정하면 세 개의 값 근처에서 대부분 발견할 것임 𝑥𝑗= 2𝑗+1 2𝑛 𝐿 만일 n 이 커지면 은 에서 peak를 가질 것임. J = 0, 1, 2, 3,,,,(n-1) (즉, n개의 peak 와 n+1 개의 zero)

5 나아가 n 이 많아져 peak 가 촘촘해지면 거의 비슷한 확률을 갖게 됨
어떤 n 에 대해서 n 쪽의 똑같은 확률분포를 갖는 구간이 반복. 고전적인 경우 쪽의 갯수가 무한대 양자역학의 경우, n→∞ 로 접근하는 한계 고전적 법칙은 상수 ħ 를 원래 포함하지 않음, 양자역학에서 ħ가 작아지는 한계에서 고전적인 법칙과 양자역학 법칙이 일치하게 됨 : Bohr의 일치율. (Correspondence principle) de broglie 파장 λ 가 그 계의 길이에 비해 작을 경우 고전적 법칙이 성립 입자의 밀도가 n 이면 입자간의 거리는 대략 𝑛 −1/3 이며 , 𝜆≪ 𝑛 −1/3 이면 고전적인 통계 법칙이 성립됨 양자적 확률값이 확정적인 값이 됨

6 4. 3. Dirac Notation 두 파동 함수 곱의 적분은 이와 관련된 성질들은, 𝑎 를 복소수라 할 때 라 하면

7 4. 4. Hilbert space (“함수의 공간”)
양자역학의 추상적 공간에 기하학적 성질 부여 3차원 직교좌표계 Vector 𝑉 는 3개의 숫자의 set : ( 𝑉 𝑥 , 𝑉 𝑦 , 𝑉 𝑧 ) 3개의 단위 Vector basis : 3개의 basis로 vector 공간을 펼침 두 vector의 내적 Vector 𝑉 의 크기 Hilbert space 3차원 vector 성분 독립된 함수들 함수들은 vector들과 유사해서 “vector” 라고 불리움

8 Hilbert space(ɦ)의 성질 = 𝜑 𝜑 함수공간은 선형성 이 있음.
조건 (b) φ , ψ가 각각 2개의 공간 요소이면, φ+ψ 역시 공간 요소. 2. 공간의 어떤 두 요소 φ , ψ 에 대해 𝜑 𝜓 내적이 존재. 1차원 𝑎≤𝑥≤𝑏 구간에서 정의된 함수들에 대해 3. Hilbert space의 어떤 요소도 다음 내적과 관련된 norm ("길이“) 를 갖고 있음. = 𝜑 𝜑 4. Hilbert space는 완벽. Hilbert space 함수들의 모든 Cauchy sequence는 Hilbert space의 요소에 수렴. Cauchy sequence φ𝑛 의 성질: Hilbert space는 모든 극한점들 을 포함

9 Hilbert space의 例 - 유한규격을 가지고 한 구간 (0≤𝑥≤𝑎) 내에서 정의된 함수들 의 set. (≡H1)
2개의 유한 차원 vector 내적 이미 정의된 Hilbert space 내적과 유사성 함수 𝜑(𝑥)를 무한히 많은 성분들을 가진 vector로서 간주하면, 이들 성분들은 독립변수 𝑥 의 각각의 점에서 𝜑 의 값 이 됨 두 vector 𝑈 , 𝑉 의 내적: 평행인 성분곱의 합 두 함수 𝜑, 𝜓의 내적: 𝜑, 𝜓 내적의 적분 내적에서 앞 “vector” 복소공액 : 𝜑 의 “길이”( φ∗·φ )가 실수 Hilbert space와 vector space의 유사성 : 무한차원의 vector space (완벽, 규격화, 선형 벡터 공간) 이들 공간의 요소들도 길이를 가졌고, 어떤 두 요소들 사이에서 내적을 할 수 있음.

10 3차원 공간 𝑈 , 𝑉 , vector가 서로 직교하면 그들의 내적은 소멸.
Hilbert space에서 두 “vector” 𝜑, 𝜓는 𝜑 𝜓 =0 이면 서로 직교. 3개 단위 voctor 3차원 공간을 펼침 한 set의 “vector” 존재 Hilbert space를 펼침 Hilbert space 例 1의 조건을 그 모든 구성요소들이 만족시키는 Hilbert space 함수 φ𝑛 에 의해 펼쳐짐 1차원 상자 문제에서 Hamiltonian 의 고유함수들 Hilbert space내의 어떤 임의의 함수도 일련의 함수 함수 φ𝑛 으로 전개 계수 𝑎𝑛 : 임의의 함수 φ 의 그 요소 vector φ𝑛 에 대한 사영.

11 함수 φ𝑛 “orthonormal set” , “규격화된 직교군” Dirac 표기법 좌측에서 으로 곱하면
함수 φ𝑛 “orthonormal set” , “규격화된 직교군” Dirac 표기법 좌측에서 으로 곱하면 계수 𝑎 𝑛′ 은 임의 vector 𝜑와 H1 기본 vector 𝜑 𝑛′ 사이의 내적값 ∴ 𝜑 𝑛′ 은 “단위” vector , 𝑎 𝑛′ 은 𝜑 의 𝜑 𝑛′ 에 대한 사영 임의 vector discrete Fourier series 1차원 상자공간의 고유함수 H1(Hilbert space의 例 1: x 독립변수의 한정된 구간 내에서 정의) 전개 일련의 함수 φ𝑛 은 H1의 기본 vector(basis)

12 Delta-function의 직교성 H2 (Hilbert space의 例 2 : x 독립변수의 무한구간에서 정의)에 대한 basis 선운동량 operator 𝑃 의 고유함수 : 규격화된 직교군? 내적!! ∴ 연산자 𝑃 의 2개의 다른 고유 “vector” 사이의 내적 소멸 H2 : 고유 vector φ𝑘 는 연속된 𝑘 값 의 함수들의 군으로 전개. Sum 대신 적분 𝜑(𝑥) 의 Fourier 적분형 표기 𝜑(𝑥) 의 𝜑𝑘에 대한 사영 Dirac 표기법 = 𝜑 𝑘′ 는 단위벡터가 아님. φ𝑘 는 H2 의 요건을 만족시키지는 못하나 그 공간을 전개할 수는 있음. 유효한 기준 vectors(basis vectors)는 될 수 있음. ∴ 적당한 재규격화 (renormalization) φ𝑘 H2 𝜑가 H2내의 임의의 함수일 때

13 Hermitian 연산자 4. 5. Hermitian Operators 계의 상태 : 𝜓(𝑥,𝑡)
계의 상태 : 𝜓(𝑥,𝑡) 시간 t 에서 측정대상 A에 대한 기대치 Q : 임의의 순간에 1 차원 공간에서 움직이는 입자에 대한 가능한 상태함수는? A : H2 에 있는 어떠한 함수라도 될 수 있다. 예를 들어 어떤 특정 순간에 (여기서 B, C, D는 규격화 상수) 측정대상 A에 대한 평균기대치를 이들 상태 중(H2의 구성원)에서 계산. 실수!! 물리적 측정대상 에 대한 연산자조건 1차원 상자 문제를 다룰 때, H1의 모든 𝜓 에 대하여 𝜓 𝐴 𝜓 는 반드시 실수 에너지 연산자 𝐻 에 대해 : H1의 모든 𝜓 에 대해서도 실수 “양자역학에서는 물리적 측정대상에 해당하는 연산자의 고유치는 실수 이어야 한다” Hermitian 연산자

14 Hermitian adjoint 한 연산자 𝐴 의 Hermitian adjoint 는 𝐴 + 로 표기 대부분 𝐴 와 𝐴 + 는 전혀 다른 연산자 복소수 C의 Hermitian Adjoint → C의 Complex conjugate(복소공액) Hermitian Adjoint의 정의 어떤 특정한 Hilbert 공간 H 에서, 𝐴 가 연산자이고 𝜓 는 H 의 임의의 요소라고 하면 𝐴 𝜓 도 역시 H 안에 있다. 이 공간의 두 개의 요소, 𝜓𝑙 과 𝜓𝑛에 대해 내적 : H 에서 정의된 다른 연산자 𝐴 + 가 있고 을 만족시키고 H 안의 모든 𝜓𝑙 과 𝜓𝑛에 대하여 이러한 등식이 성립하면 𝐴 + 는 𝐴 의 Hermitian adjoint 만일 𝐴 가 주어지고 𝐴 + 를 찾으려면 모든 𝜓𝑙 과 𝜓𝑛 에 대해 위의 관계식을 만족시키는 𝐴 + 를 찾아야 한다. 예1: 𝐴 =𝑎 인 복소수라면 ∴ 𝑎 + = 𝑎 ∗ 예2: H2에서 정의된 𝐷 = 𝜕 𝜕𝑥 의 Hermitian Adjoint는? Operator 자체가 Hermitian Adjoint : Hermitian operator 가장 간단한 Hermitian operator는 실수이다.

15 운동량과 에너지 연산자들 자유입자 𝑝 가 Hermitian operator? H2 내의 모든 𝜓 𝑙 과 𝜓 𝑛 에 대해 ?
∴ 𝑝 가 Hermitian operator Hamiltoinan 역시 Hermitian operator For ? Potential 𝑉(𝑥)내의 입자? 𝑉(𝑥) : 실함수 단순한 곱의 인자 Hermitian operator ∴ Potential field 𝑉(𝑥) 내의 Hamiltonian 은 Hermitian operator !!

16 4. 6. Hermitian Operator 의 성질
𝜑 𝑛 & 𝑎 𝑛 :연산자의 고유함수, 고유치 - Hermitian operator의 고유치는 실수 을 왼편에서 곱하면 일치! 𝐴 가 Hermitian operator ∴ 𝑎𝑛은 실수 !! - Hermitian operator 의 고유함수는 직교. 왼편에서 𝐴 또 다른 고유함수 를 곱하면 두 식을 빼주면 𝐴 가 Hermitian 만일 𝑎𝑙 ≠ 𝑎𝑛 이라면 𝜑 𝑛 는 직교 만일 𝜑 𝑛 이 규격화되었다면