제1장 2인 공조 게임 (2-person cooperative Game)

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1 제1장 2인 공조 게임 (2-person cooperative Game)
1.1 공조적 게임의 소개 1.2 공조적 게임의 분류 1.3 Edgeworth 모형: Core 1.4 Nucleolus (중핵)

2 1.3 Edgeworth 모형: Core Francis Ysidro Edgeworth(1881, , 아일랜드)의 모형: 무인도에 갇힌 2사람을 상상. 각 각은 사과와 오렌지를 일정량씩 가지고 있음. 다른 효용함수를 보유(같은 재화를 소비해도 효용이 다름 다른 무차별곡선). 각각은 사과와 오렌지를 교환 할 수 있음. 안 해도 됨. 분석을 위해, Edgeworth Box를 그려봄. 최초의 상품분배는 d (initial point, status quo, no trade, reference point 또는 threat point, BATNA(Best Alternative To a Negotiated Agreement); 선수1(A)은 사과50개-오렌지30개 보유, 선수2(B)는 사과70개-오렌지15개 보유). 각 축은 2인으로 구성된 사회의 구성원이 보유한 상품 숫자를 나타냄. 무차별곡선(indifference curve; 동일한 효용을 주는 상품 조합의 연결선)으로 각 선수의 효용을 나타냄. (다음 그림)

3 1.3 Edgeworth 모형: Core 선수1은 A를 기점으로 무차별곡선이 우상향 할 수록 효용이 높아짐. 선수2는 B를 기점으로 좌하향할 수록 효용증가. 사과 선수 2 B 40 30 20 10 10 20 30 40 d 오렌지 오렌지 선수 1 A 사과 ends

4 1.3 Edgeworth 모형: Core Edgeworth는 이성적인 협정에 대하여 두 가지 가정(또는 公理): 1) 각 선수에게 동시에 더 큰 보상을 가져다 주는 배분은 없다=움직이면/배분을 바꾸려면 누군가는 손해를 봐야 한다(파레토효율적이다; 단체합리성(GR). 그러한 배분의 괘적은? 무차별곡선들의 접점들을 연결하는 선 (A~B).(why?) 선수 2 사과 B 40 30 20 10 10 20 30 40 d 오렌지 오렌지 d’ A~B선 밖에 있는 어떠한 점보다 양자에게 보상이 더 크거나 같은 점을 항상 A~B선위에서 찾을 수 있음. 예:d 보다 모두에게 동시에 좋은 점이 있을까?  d’’); 일단 A~B선에 올라가면 조금이라도 움직이려면 누군가 손해를 봐야 한다 선수 1 A 사과

5 1.3 Edgeworth 모형: Core Edgeworth는 이성적인 협정에 대하여 두가지 가정: 2) 교환이 없었을 때 보다 보상을 작게 가져다 주는 보상분배는 받아들여지지 않는다(개인합리성:IR). 1은 노란부분, 2는 핑크부분으로 이동해야 협상을 한다. 둘 다 만족하는 부분? 물결무늬면적 선수 2 사과 B 40 30 20 10 10 20 30 40 d 오렌지 오렌지 선수 1 A 사과

6 1.3 Edgeworth 모형: Core 이성적인 협정에 대하여 두 가지 가정을 모두 만족시키는 부분은? 보라색선(계약곡선)과 초록색 물결무늬면적의 교집합  CORE!!! 선수 2 사과 B 40 30 20 10 10 20 30 40 d 오렌지 오렌지 선수 1 A 사과

7 1.3 에지워스(Edgeworth) 모형: 핵(核:Core)
보라색선은 계약곡선(contract curve), 파레토최적집합(Pareto Optimality Set), 게임이론에서의 단체합리성(Group Rationality) 이라고 불림. *Mechanism Design(MD)의 유인양립제약(best outcome)과 동일 개념 녹색물결무늬는 개인합리성(Individual Rationality: 혼자서 확보할 수 있는 것 보다 낮은 보상을 주는 결과를 가져다 주는 협조체제에 참가할 필요가 없다는 것.) *MD의 참여제약(at least as well off)과 동일 따라서, Core(核)는 GR과 IR의 교집합. Core는 위의 예에서 보여지는 것 같이 대부분의 경우 유일하지 않음.

8 1.3 에지워스(Edgeworth) 모형: 핵(核:Core) – Core의 단순한 예
(Vilfredo) Pareto(1848~1923, 이탈리아 경제학자) Optimal: 모든 사람이 타인의 불만을 사는 일 없이는 자기만족을 더 이상 증가시킬 수 없는 상태 U2 Individual Rationality Core Group Rationality Status Quo U1 *Pareto principle (also known as the 80/20 rule, the law of the vital few, or the principle of factor sparsity): 80%의 효과가 20%의 원인으로부터 생긴다 예: 이태리의 20%의 인구가 80%의 토지를 소유하였다

9 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core)의 다른 예 판매자(S)와 구매자(B) 존재.
판매자는 확보(예약, 준비)가격(reserve price: 최소한 받아야 하는 또는 받을 수 있는 가격, 원가) 100백만원짜리 집 판매, 구매자는 최고 300백만원의 효용을 얻음. 하지만 집을 살 수 없으면 0원의 효용(BATNA=0: Best Alternative To a Negotiated Agreement=status quo=…; 협정이 이루어 지지 않을 때 얻는 보상). 이를 S와 B가 알고 있음. 만일 집이 p라는 가격에 팔리면, 판매자는 (p-100)의 잉여(surplus; 또는 보상)를 얻음. 구매자는 (300-p)의 잉여를 얻음.

10 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 따라서 두 잉여를 더하면, (p-100)+(300-p)=200.
이 200백만원이 둘이 거래를 성사시켰을 때 얻어지는 총잉여 임. 가격은 총잉여를 둘에게 어떻게 배분시키는 기능을 함. 기본적으로 p-100>=0, 300-p>=0 이 만족되어야 함.why?  판매자 p>=100 (100이상 받으려함)  구매자 300>=p (300이상 안 주려고함) 이를 그림으로 나타내면 다음과 같음.

11 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 1인의 판매자와 1인의 구매자 경우.
판매자는 100이하로 팔지 않는다(click). 100이면 팔수도 있고 안 팔 수도 있다(click). 100이상이면 팔 수 있으나 1개 이상 못판다(click). 가격 300 S 100 1 수량

12 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 구매자는 300이상으로 사지 않는다(click). 300이면 살수도 안 살 수도 있다(click). 300이하면 사나 1개 이상 못산다(click). 가격 B 300 S 100 1 수량

13 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 판매자와 구매자가 교섭을 통하여 가격을 흥정할 수 있는 범위?(click). 여기서 가격이 결정되면 이를 시장균형이라고 함. 가격 B 300 중복되는 부분, 판매자-구매자가 교섭할 수 있는 범위 S 100 1 수량

14 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 가격이 200으로 결정되었다면, 판매자의 잉여(자신이 적어도 받아야 하는 가격과 실제가격과의 차이)와 구매자의 잉여(자신이 최대한 줄 의향이 있는 가격과 실제 거래가격의 차이)는 각각 얼마?.(click) 가격 B 300 구매자의 잉여(surplus) 200 판매자의 잉여(surplus) S 100 1 수량

15 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 이제 제2의 판매자(S2)가 있다고 가정. S2는 S1의 집과 동일한 품질의 집을 판매하려 하나 확보가격(reserve price)은 (예를 들어, 건설비용이 더들어서) 150백만원임. 따라서 S1은 150백만원 이상을 받기가 어렵게 됨. 왜? 150이상 부르면 S2에게서 살 수 있으니까. 150 이하로 부르면 S2는 팔 수가 없으므로 자기가 팔 수가 있음. S2도 마찬가지로 150 이상을 부를 수 없게됨. 그림으로 보면 다음과 같음.

16 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 즉, 새로운 판매자의 출현으로 교섭가능한 범위가 (100, 300) 에서 (100, 150)으로 줄어들게 됨(click). 잉여? (click). 만일 S2의 준비가격도 100이라면? (다음 그림) 가격 B 300 구매자의 잉여 (surplus) S2 150 판매자의 잉여 (surplus) S1 S2 신규진입 시 교섭 범위 100 1 2 수량

17 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 교섭가능한 가격범위가 한 개의 숫자로 줄어 듦. 확보가격(reserve price)이 같은 경우 경쟁이 확보가격이상 받을 수 없도록 함.  판매자의 경쟁으로 인해 구매자가 모든 잉여를 가져가게 됨.(click) 가격 B 300 구매자의 잉여(surplus) S1 S2 100 1 수량

18 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 그렇다면 Core는 어디? (click) 왜 이것이 core일까?(다음). 가격 B
300 S2 150 S1 100 Core!! 1 수량

19 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core를 정식으로 정의하기 위해, 몇 가지 개념을 도입.
n명의 선수, 즉, i= 1, 2, 3,…, n. 전체선수의 집합 N = {1, 2, 3,…, n}. Coalition(聯合): N의 모든 부분집합을 연합(C 또는 K, C는 수학에서 Combination(조합)으로 쓰이므로 혼란 없게 K)이라고 부름. 예) K = {1,2,7}; 1,2 그리고 7의 연합 가능. 이러한 연합의 숫자는 공집합 제외하여 2n-1. 특성함수(Characteristic Function), v(K): 연합에 속한 선수들이, 연합 밖의 선수들과 관계없이, 그들의 공조로만 이루어 낼 수 있는 총 잉여. 따라서 이 액수는 어떠한 일이 일어나도 보장받는 돈(효용). 따라서 연합의 security level(안전수준)이라고 부름.

20 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 예를 들어 이전의 부동산거래 게임 예에서는 v({S1})= v({S2})= v({B}) = 0; 혼자서는 살 수도, 팔 수도 없으므로 0의 잉여. v({S1,B})= =200. v({S2,B})= =150. v({S1,S2})=? 가정: 이러한 특성함수는 모든 선수들에게 상식(common knowledge)이다. 또는 비대칭정보가 없다 (no asymmetric information). 분배(allocation): 각 선수에게 돌아가는 잉여액; (x1, x2,…, xn). 실행가능(feasible)하여야 함; 있는 돈 보다 더 많이 나누어 가질 수는 없다.

21 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 만일 어떤 분배( 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑛 )가, 연합에서 각 선수(𝑁={1,…,𝑛})들이 연합을 탈퇴하여 혼자 행동하여 얻는 잉여의 합 𝑖∈𝑁 𝑥 𝑖 (예: 𝑥 1 + 𝑥 2 )보다, 같이 연합하는 경우 총잉여 𝑣(𝐾)가 클 때(예: 𝑣({1,2}), 이 분배(예: 𝑥 1 , 𝑥 2 ) 는 연합에 의하여 block(봉쇄: 못하게 차단)되었다고 함. 위의 경우, 연합은 형성될 수 있으며, 모든 구성원들의 효용이 향상될 수 있음. 따라서, 연합으로 분배된 잉여가 충분히 크지 않으면 이러한 연합을 깨 버리겠다는 위협은 신빙성이 있음 X2 K 연합으로 성취 가능한 잉여조합 x’2 v(K) x2 *i in K 로 읽음 Block 당한 분배 X1 x1 x’1

22 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 어떠한 연합에 의하여서도 봉쇄될 수 없는 분배의 집합은 모든 형성 가능한 안정된 계약, 또는 게임의 교섭범위(bargaining range)를 포함하게 됨. 이 집합은 보다 나은 계약을 찾는 어떠한 그룹에 의해서도 축소될 수 없음. 이러한 분배의 집합(x의 벡터; x1,…,xi,…xn)을 게임의 core라고 함. 즉, core는 어떠한 연합에 의해서도 봉쇄당하지 않는 분배의 집합이며 봉쇄당하지 않기 위해서는 다음을 만족하여야 함. *우변이 좌변보다 크거나 같아야 한다

23 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 다시 부동산 거래 게임으로 돌아가서 보면, 한 사람의 판매자와 한사람의 구매자의 경우, 교섭범위는 100 에서 300 임. 1) 가격이 100일때 구매자는 200을, 판매자는 0을 가져가는 분배에서, 2) 가격이 300일때 구매자는 0을, 판매자는 200을 가져가는 분배가 가능하며, 이 사이에 가격에 따라 무수한 잉여의 분배가 존재함. 이 모든 분배가 core 임. Why? 아래 확인 If P=50, (S1의 확보가격=100>50=P, 팔지 않음. 거래 없음) XS1=0, XB1=0  XS1+XB1=0 < v({K})=200 연합으로 block If P=100, XS1=0, XB1=200  XS1+XB1=200 ≥ v(K)=200 (Core) If P=200, XS1=100, XB1=100  XS1+XB1=200 ≥ v(K)=200 (Core) If P=300, XS1=200, XB1=0  XS1+XB1=200 ≥ v(K)=200 (Core) If P=400, (B1의 확보가격=300<400=P,사지 않음, 거래 없음) XS1=0, XB1=0  XS1+XB1=0 < v({K})=200 (Not Core) (Not Core)

24 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 두 사람의 판매자와 한사람의 구매자의 경우, 두 판매자의 reserve price가 100으로 같은 경우. 판매자1 에게는 x1, 판매자2 에게는 x2, 구매자(b) 에게는 y 가 할당되는 분배(allocation)을 고려 함. 즉, 이 분배를 식(vector)으로 나타내면, (x1, x2, y). 이 분배가 core에 있으려면, 어떠한 연합도 이 분배가 가져다 주는 분배보다 더 많은 잉여를 가져다 주면 안됨. 또한 최소한 0 보다는 커야 함. 따라서, 1인 연합에 의하여 봉쇄 당하지 않으려면(Core려면), 다음 조건을 만족하여야 함.

25 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 다음은, 한 구매자와 한 판매자의 연합은 =200의 잉여를 가져 옴. 하지만, 두 판매자의 연합은 0의 잉여를 가져옴. 따라서, 위의 분배가 2인 연합에 의하여 봉쇄되는 것을 막으려면 다음을 만족하여야 함. + ∥

26 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 마지막으로, 3사람 모두 같이 성취할 수 있는 잉여는 200 임. 따라서, 위의 분배가 3인 연합(또는 grand coalition; 총연합)에 의하여 봉쇄당하지 않으려면, 다음 조건을 만족하여야 함. 하지만 총잉여가 200이므로, 부등식이 성립하지 않음. 따라서, 다음을 만족하여야 함.

27 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 위의 항등식들이 사실이라면, x1 은 0 이 되어야 함. 만일 x1 이 0 보다 크면(0 이 아니면), 이전의 두식(아래)은 동시에 성립할 수 없음. 다시 말해서, x1 이 0 보다 크면(0 이 아니면), 다음 관계가 만족되어야 함. 이는 불가능 함. 따라서, x1 은 0 임. 불가능. Why?

28 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 1. 2. x1 = 0 1. x2 = 0 2. 3. 3. 3. y = 200 4.

29 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 유사하게, x2 도 0 임. 그러므로, y = 200 임. 이것이 core임.
즉, 판매자들은 잉여를 가지지 못하고, 구매자가 모든 잉여를 가져는 것이 동일한 reserve price를 가진 부동산 게임의 core 임. 다양한 확보가격을 가진 판매자, 다양한 지불의사가격을 가진 구매자가 동시에 늘어나게 되면, 시장 공급곡선과 시장 수요곡선이 만들어 지며, 이들의 교차점인 시장균형은 core가 됨 (다음 그림).

30 Core 가 무한히 작아지면 Core와 시장균형이 결국 같아 짐
모든 판매자들 잉여와 모든 구매자들 잉여합?(click) 가격 Core Core! 시장균형 S 소비자 잉여 Core 가 무한히 작아지면 Core와 시장균형이 결국 같아 짐 생산자 잉여 D 수량

31 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core)

32 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 그런데,  이런경우 불가능 *동시에 더 큰 잉여의 분배를 가져다 주지 않으면?
그런데,  이런경우 불가능 *동시에 더 큰 잉여의 분배를 가져다 주지 않으면? zi < xi 인 경우가 가능해짐. 하지만 이는 실행가능하지 않음

33 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) 그림으로 보면 다음과 같음. U2 Core U1

34 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
1. 효율성: 파레토 효율성(Pareto Efficiency)(계속) 따라서, core는 효율적 분배(efficient allocation)라고 부름. 즉, (파레토)효율적이라는 것은 어떠한 다른 분배로도 동시에 모든 사람들의 보상을 향상시킬 수 없는 상태임. 하지만, core는 형평성(fairness)이라던가, 동등성(equity), 분배정의(distributional justice)에 대하여 전혀 언급하고 있지 않음.

35 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
1. 효율성: 파레토 효율성(Pareto Efficiency)(계속) 특히, core가 여러 가지 분배로 이루어져 있는 경우(대부분의 경우 이러함), 어떠한 분배가 선택될 것인가에 대하여 언급이 없음. 나중에(Shapley Value 등에서) 이러한 분배정의에 대하여 다루도록 함.

36 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
2. Core의 존재성(existence) Core 가 여러 개인 경우는 보았음. 유일한 경우? BATNA가 이미 Pareto Efficient한 경우. 주택시장게임에서 판매자 확보가격이 같은 경우 모든 게임에서 core가 존재한다는 보장이 있는가? NO! 특히 외부성(externalities)이 존재하는 경우에는 연합에 의하여 분배가 봉쇄당하는 경우가 발생할 수 있음. 즉, core가 없게 됨(The Core is empty). 예를 들면, 쓰레기 투척게임을 들 수 있음.

37 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
2. Core의 존재성(existence) 네 개의 집(A,B,C,D)이 한 개씩의 쓰레기 봉투를 가지고 있음. 자신의 집 또는 다른 집에 투기할 수 있음. C A D B

38 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
2. Core의 존재성(existence) (계속) 한 개의 쓰레기 봉투는 -1의 보상을 가져옴. 만일 A와 B가 다른 집에 투기하기로 연합하였다면, 특성함수(가장 나쁜 경우에도 보장 받는 효용수준)는, v({A, B})= -2; A, B가 C와D에게 투척하고, 자신들에게 C와D가 투척해도 2개 이상 못하므로. 만일, A,B,C,D 모두가 연합한 경우는, v({A,B,C,D})=-4.

39 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
2. Core의 존재성(existence) 예를 들어, A,B,C가 연합하여 D에게 몽땅 버리기로 하면? v({A,B,C})= -4+3= -1; A,B,C 중 한 사람(예에서는 A)만 쓰레기를 받게 됨. A C B D

40 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
2. Core의 존재성(existence) D는 쓰레기 3개를 받게 됨. 즉, v({D})= -4+1= -3. 억울하게 생각한 D가 B와 C에게 제안; 연합 {B,C,D}를 만들어 A에게 모두 버리고, A가 버리는 것은 D자신이 무조건 받겠다고 제안. B와 C는 더 좋은 계약으로 간주(B, C는 쓰레기 받을 일 없어짐). A C B D

41 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
2. Core의 존재성(existence) D의 보상도 향상되고, B와 C의 보상도 향상됨. 따라서,이전의 연합({A,B,C})이 새로운 연합({B,C,D})을 봉쇄하지 못함. 그러므로, core가 아님. 이런 식으로 다른 연합들도 모두 다른 연합에 의해서 봉쇄될 수 있음. 따라서 core는 없음(empty).

42 1.3 시장과 경쟁: 핵(核:Core) Core 의 특성 ; 효율성(efficiency)과 존재성(existence)
2. Core의 존재성(existence) 이 문제는 소유권(property right)의 성격 때문에 발생함. 만일, 남의 사유지에 쓰레기를 버리지 못하는 게임이라면 core가 존재할 수 있음. 즉, 각 집이 자신의 쓰레기를 자신의 집에 버리도록 법으로 정하면, 각 집은 -1의 보상을 가지게 되며, 이 분배는 다른 연합에 의하여 봉쇄당하지 않게 됨. 그러므로 core임. [End of Section]