Chapter 7 – Curves Part - I

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1 Chapter 7 – Curves Part - I
그래픽스 연구실 박 경 와 Computer Graphics Lab. G.W. Park

2 곡선의 정의 Parametric 곡선 정의 : 곡선의 끝점 S(Curve Length)와 t의 관계
t min t  increase t max Arc length s 에 의해 파라메터 화 된 곡선 전체 곡선의 길이 Computer Graphics Lab. G.W. Park

3 여러가지 곡선(Special Curves)
Bezier 곡선 스플라인 곡선 Natural 스플라인 곡선 Clamped 스플라인 곡선 Closed Cubic 스플라인 곡선 Nonparametric B-스플라인 곡선 Kochanek-Bartels 스플라인 곡선 Computer Graphics Lab. G.W. Park

4 베지어 곡선(Bezier Curves) 정의 수학적 간편성 사용상의 용이 3D Control Points ,
: Control Point N+1 개의 점을 가진 Bezier 곡선 : Bernstein Polynomial (Bezier Blending Function) : Combinational Values Computer Graphics Lab. G.W. Park

5 베지어 곡선(Bezier Curves) 성질 양 끝점을 반드시 지남. Convex hull 만족 2001.11.06
Computer Graphics Lab. G.W. Park

6 베지어 곡선(Bezier Curves) Example 2001.11.06 Computer Graphics Lab.
G.W. Park

7 차수 증가(Degree Elevation)
Control Points 및 차수의 증가 N+1 개 Control Points  N 차 식 N+2 개 Control Points  N+1 차 식으로 증가 부드러운 곡선획득에 이용 Computer Graphics Lab. G.W. Park

8 차수 감소(Degree Reduction)
Control Points 및 차수의 감소 곡선의 형성시에 계산 부하량의 감소 : 원래의 곡선 : 차수를 감소시킨 곡선 각 곡선의 끝점 나머지 Control Points 두 곡선의 제곱치의 차인 적분 값이 최소가 되는 점을 선택 Computer Graphics Lab. G.W. Park

9 스플라인 곡선 모든 점에 정확한 Interpolation 의 성질을 가짐 Cubic Function
Natural,Clamped,Closed 스플라인 Cubic Function 각각의 점 각각의 구간 기본 함수 요구 조건 Computer Graphics Lab. G.W. Park

10 스플라인 곡선 성질 반드시 모든점을 지남 좀 더 복잡한 모양을 만들기 위해 낱낱의 곡선을 이어감 2001.11.06
Computer Graphics Lab. G.W. Park

11 함수의 계수 구하기 미지수 기존의 조건식 N+1 의 Control Points  N 개의 곡선 세션
 N 개의 식 * 미지수 4개  4N 개의 미지수 기존의 조건식 4N-2 개의 식 존재 곡선 마다 Boundary Condition 에서 2개식 보충 Computer Graphics Lab. G.W. Park

12 Boundary Condition Natural 스플라인 Clamped 스플라인 Closed 스플라인
: 값은 사용하는 경우에 따라 정해짐 Computer Graphics Lab. G.W. Park

13 B-스플라인 Local Control 이 가능 적은수의 점의 위치 변동으로 인한 전체식의 재계산 필요없음
사용자에 의해 정의된 점 : deBoor points Computer Graphics Lab. G.W. Park

14 B-스플라인 성질 C2 continuity Approximation 부분적으로 조절이 가능(Local Control)
Convex hull 만족 Computer Graphics Lab. G.W. Park

15 Kochanek-Bartels 스플라인
순차적인 Control Points 각각 , 사이를 Cubic Interpolation 관련 파라메터 사용하는 Interpolation Hermite Interpolation Catmull-Rom Interpolation : Control Points 에서 곡선이 휘는 정도를 조절 : Control Points 에서 부드럽게 이어지는 정도를 조절 : Control Points 에서 경로 방향을 조절 Computer Graphics Lab. G.W. Park

16 Kochanek-Bartels 스플라인
Hermite Interpolation Catmull-Rom Interpolation 점을 지나고, 각각의 Tangent Vector 가 일때, t=0 에서 나가는 Tangent 벡터 ,t=1 에서 들어오는 Tangent 벡터 Computer Graphics Lab. G.W. Park

17 Boundary Condition 의 영향  -1 : tight,  1 : slack
 0 : continuous, | |1 : has corner Computer Graphics Lab. G.W. Park

18 Boundary Condition(Cont’)
영향  -1 : outgoing tangent 우세, +1 : incoming 우세 그러므로, Boundary Condition 은.. Computer Graphics Lab. G.W. Park