수치해석 ch3 환경공학과 20070075 김지숙.

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1 수치해석 ch3 환경공학과 김지숙

2 3.1 다음의 3원 연립방정식의 해를 Gauss의 단순 소거법 및 Pivot 선택법을 이용하여 구하라.
(1) (2) (3) (해) 전진 소거 : 식 (2)에서 식 (1)의 1/2 배를 빼면 (2)' 식 (3)에서 식 (1)의 2 배를 빼면 (3)' 식 (3)'부터 식 (2)'의 7/3 배를 빼면 (3)" 후진 대입 : 식 (3)"으로부터 을 구하면

3 3.1 다음의 3원 연립방정식의 해를 Gauss의 단순 소거법 및 Pivot 선택법을 이용하여 구하라.
이것을 (2)'에 대입하고 을 구하면 이것을 (1)에 대입하여 이상으로부터, 이 해이다.

4 3.2 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다
3.2 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다 (해) [단순 소거법의 경우] ,제 1 식 ․제 2 식으로부터 10진 3자릿수의 부동 소수점수의 계산에서는 이다. 이것으로부터

5 3.2 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다
3.2 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다 소거법의 경우 Pivot의 선택에 따라, 제 1 식과 제 2 식을 교환한다. , 제 1식 ․제 2 식으로부터 여기에서, 이다. 이것으로부터 [실제 해]

6 의 관계가 있다. 일 때, 행렬 의 제 1 행과 행렬 의 제 1 열을
3.3 연립3원 방정식을 이용하여 LU 분해법의 알고리즘을 Doolittle 방법 및 Crout 방법에 대하여 유도하고, (예제 3.1)의 문제의 해를 LU 분해법으로 계산기와 Excel을 이용하여 구하라. 분해 방법으로서, 의 조건으로 구하는 Doolittle법과 의 조건으로 구하는 Crout법이 있다. 두가지 모두 계수 행렬 가 정칙인 것을 조건으로 한다. 의 조건의 경우, 의 임의의 요소 는 로부터 의 관계가 있다. 일 때, 행렬 의 제 1 행과 행렬 의 제 1 열을

7 로 표현할 수 있다. 이것을 되풀이하고, k단에서는 행렬 의 제 행과 행렬 의 제 열이 (3.20) (3.21)1
3.3 연립3원 방정식을 이용하여 LU 분해법의 알고리즘을 Doolittle 방법 및 Crout 방법에 대하여 유도하고, (예제 3.1)의 문제의 해를 LU 분해법으로 계산기와 Excel을 이용하여 구하라. 로 계산할 수 있다 일 때, 행렬 의 제 2 행과 행렬 의 제 2 열을 로 계산할 수 있다. 여기에서 이라 한다면 로 표현할 수 있다. 이것을 되풀이하고, k단에서는 행렬 의 제 행과 행렬 의 제 열이 (3.20) (3.21)1 (3.21)2 (3.22) 로 구해진다.

8 계산 결과를 표 3.2에 보여 준다. 실제값은 이고, 어느 쪽이든 실제값에 수렴하고 있다.
3.4 다음의 연립 1차 방정식을 초기값 로서 Jacobi법, Gauss Seidel 법, SOR 법으로 계산기와 Excel을 이용하여 구하라. (해) 제 1 식으로부터 제 2 식으로부터 계산 결과를 표 3.2에 보여 준다. 실제값은 이고, 어느 쪽이든 실제값에 수렴하고 있다.

9 [예제 3.1] 다음의 3원 연립방정식의 해를 Gauss의 단순 소거법으로 구하라.
(1) (2) (3) (해) 전진 소거 : 식 (2)에서 식 (1)의 1/2 배를 빼면 (2)' 식 (3)에서 식 (1)의 2 배를 빼면 (3)' 식 (3)'부터 식 (2)'의 7/3 배를 빼면 (3)" 후진 대입 : 식 (3)"으로부터 을 구하면

10 [예제 3.1] 다음의 3원 연립방정식의 해를 Gauss의 단순 소거법으로 구하라.
이것을 (2)'에 대입하고 을 구하면 이것을 (1)에 대입하여 이상으로부터, 이 해이다.

11 [예제 3.2] 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다
[예제 3.2] 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다 (해) [단순 소거법의 경우] ,제 1 식 ․제 2 식으로부터 10진 3자릿수의 부동 소수점수의 계산에서는 이다. 이것으로부터

12 [예제 3.2] 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다
[예제 3.2] 10진 3자릿수의 계산기로 다음의 연립 방정식을 단순 소거법에 따라 구하라. 단, 로 한다 소거법의 경우 Pivot의 선택에 따라, 제 1 식과 제 2 식을 교환한다. , 제 1식 ․제 2 식으로부터 여기에서, 이다. 이것으로부터 [실제 해]

13 [예제 3.3] 다음의 3원 연립 방정식의 해를 Gauss-Jordan법으로 구하라.
(1) (2) (3) (해) 행렬식으로 표현한다면 제 1단계는, 계수 행렬의 제1열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때, 제1행을 1/2배로 한다. 다음에, 제2행-제1행, 제3행-4×제1행을 계산하여

14 [예제 3.3] 다음의 3원 연립 방정식의 해를 Gauss-Jordan법으로 구하라.
제 2 단계는, 계수 행렬의 제2열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제2행을 -1/3배 한다. 다음에, 제1행-2×제2행, 제3행-(-7)×제2행을 계산하여 제 3 단계는, 계수 행렬의 제3열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제3행을 -3/56배 한다. 다음에, 제1행-(13/3)×제3행, 제2행-(-2/3)×제3행을 계산하여 이것으로부터, 의 해를 얻는다.

15 [예제 3.4] 다음의 행렬을 분해하라. 단, Pivot의 선택은 하지 않는다고 한다.
(해) 제 1 단계( ) : 의 제 1 행과 의 제 1 열은 이다. 제 2 단계( ) : 은 의 제 2 행과 의 제 2 열은 `

16 [예제 3.4] 다음의 행렬을 분해하라. 단, Pivot의 선택은 하지 않는다고 한다.
제 3 단계( ) : 은 의 제 3 행과 의 제 3 열은 이상으로부터, 로 분해할 수 있다.

17 [예제 3.5] 다음 연립 방정식의 해를 구하라 그림 3.2 프로그램 C3.3의 실행 결과
방정식 Ax=b(A:n*n x:n*1 b:n*1)을 수정된 Cholesky법으로 계산 n = 3 a11=2.5 a12=1.4 a13=2.8 a21=1.4 a22=8.6 a23=5.8 a31=2.8 a32=5.2 a23=8.0 b11=1.5 b21=2.0 b31=-5.0 해 x

18 [예제 3.6] 다음의 연립 1차 방정식을 초기값 로서 Jacobi법으로 구하라.
(해) 제 1 식으로부터 제 2 식으로부터 계산 결과를 표 3.2에 보여 준다. 실제값은 이고, 어느 쪽이든 실제값에 수렴하고 있다. 계산횟수 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.8 1.04 1.008 0.9984 1.2 0.992

19 [예제 3.7] 예제 3.6의 연립 1차 방정식을 초기값 으로 하여 Gauss- Seidel법으로 구하라.
(해) 제 1 식으로부터 제 2 식으로부터 계산 결과를 표 3.3에 나타내었다. 실제값은 이며, 양 쪽 모두 Jacobi법보다 적은 계산 횟수로 실제값에 수렴하고 있다. 계산횟수 x y 1 2 3 4 5 0.8 1.008 1.04 0.9984

20 [예제 3.8] 예제 3.6의 연립 1차 방정식을 초기값 으로 하여 SOR법으로 구하라.
(해) 제 1 식으로부터 , 제 2 식으로부터