Introduction to Wavelets - G.E. Peckham

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1 Introduction to Wavelets - G.E. Peckham
박제민

2 Contents Introduction Spaces and bases Examples of basis functions
Localised bases and Multiresolution expansions Uses of wavelet analysis Time-frequency analysis

3 Introduction to Wavelets
Fourier transform이나 spectral analysis는 많은 타입의 신호를 분석하는 데 효율적이다. 그러나 신호가 연속되지 않거나 분리가 되는 신호에는 적합하지 않으므로 신호의 시간에 대한 분석에는 알맞지 않다. Wavelets은 신호의 시간에 대한 분석과 transients와 edge가 포함된 특별한 신호들에 대해서도 분석이 용이하다. Wavelets에는 여러 가지 종류의 타입들이 있으며 이러한 각각의 Wavelet들은 각각의 특별한 목적을 가지고 개발되어졌다.

4 Spaces and bases Wavelets은 근사함수로 표현되어진다.
Real function : f(x), Real variable : x 로 제한한다. f define a point in an N-dimensional vector space 

5 Spaces and bases  Many sets of basis function represented to the scale structures.

6 Examples of basis functions
Fourier function - range : ,

7 Examples of basis functions
Chebyshev polynomials - weighting : - range :

8 Localised bases and Multiresolution expansions
A simple set of localised basis function  Haar function Scale basis function expansion 

9 Uses of wavelet analysis
Data compression – data에서 반복되는 부분이나 무의미한 부분을 wavelet transform으로 drop해서 높은 비율의 compression이 가능하다. Noise reduction - Wavelet은 low pass filter를 사용하는 Fourier transform과는 다르게 threshold를 zero로 두고 inverse transform으로 신호를 재구축함으로써 Noise를 줄인다. Inverse problems - 의학 이미지나 지진학에서 사용하는 촬영에서(tomograph : 단층사진촬영) wavelet transform은 inverser problem을 효율적으로 해결해 준다. Fast computation - two-dimensional wavelet transform은 matrix를 지원한다. 이러한 matrix연산을 사용함으로써 ‘multiply’연산을 수행할 수 있고, 이것은 빠른 계산이 가능토록 한다.

10 Time-frequency analysis
Fourier transform does not provide any time discrimination Fourier analysis to a short section of the signal selected by the packet envelope The cosine packet’s resolution cells are all the same rectangular Wavelet’s resolution cells are elongate along the frequency axis