13-4. Cauchy-Riemann Equation

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1 13-4. Cauchy-Riemann Equation
복소수 해석 13-3. 도함수와 해석함수 13-4. Cauchy-Riemann Equation Laplace Equation 오재영 정상민

2 Complex analysis 도함수와 해석함수

3 복소 변수 함수 S를 복소수 전체 집합의 부분 집합이라고 하였을 때, S 위에서
정의된 함수 f는 S의 각 원소 z에 복소수 w를 대응시키는 규칙. w를 z에서 f의 값이라 하고, f(z)로 나타낸다. 즉 w=f(z)이다. 집합 S를 f의 정의역이라고 한다. 다음과 같이 z=x+iy에서 함수 f의 값을 w=u+iv라고 하자. u+iv = f(x+iy) 실수 u와 v는 모두 실변수 x와 y에 따라 결정 → f(z) = u(x,y)+iv(x,y) 함수 v의 값이 항상 0이면, f의 값은 언제나 실수이다. 즉, f는 복소 변수 실수 값 함수(real-value function)이다.

4 복소 변수 함수 Ex) f(z)=z2이면 다음과 같다. f(x+iy) = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy
u(x,y) = x2-y2, v(x,y) = 2xy 극좌표를 사용하여 표현하면 f(re iθ) = (re iθ)2 = r2e i2θ = r2cos2θ+ir2sin2θ u(r, θ) = r2cos2θ, v(r, θ) = r2sin2θ

5 복소 변수 함수 Ex) f(z)=4x2+i4y2 z = x+iy, z=x-iy x = (z+z)/2, y = (z-z)/2
따라서 f(z)=(1-i)z2+(1-i)z2+2(1+i)zz

6 P(z) = a0 + a1z + a2z2 + • • • + anzn
복소 변수 함수 n차 다항 함수(polynomial function) P(z) = a0 + a1z + a2z2 + • • • + anzn n이 0또는 양의 정수이고 a0, a1, a2, • • •, an은 복소상수, an≠0 다항함수의 항은 유한 개이고 정의역은 복소 평면 전체이다. 다항 함수의 몫P(z)/Q(z)이 유리 함수(rational function)이고, Q(z)≠0인 모든 점에서 정의된다. 함수의 개념을 일반화시켜, 정의역의 점 z에 두 개 이상의 값을 대응시키는 규칙을 생각할 수 있는데 이를 다가 함수(multiple- valued function)이라고 한다.

7 0 < |z- z0| < δ → |f(z)-w0| < ε
극한 함수 f를 평면의 부분집합 D에서 정의된 함수라고 했을때, z0은 D 또는 D의 경계에 있는 점이라 하자. 만일, 주어진 ε>0에 대해 0 < |z- z0| < δ → |f(z)-w0| < ε 이 되는 δ > 0 을 z0에서 갖는다고 한다면 f는 z0에서 극한 w0을 갖는다고 하고 lim f(z)=w0 이라 쓴다. 여기서 D 안에서 어떤 방법으로든지 z가 z0에 접근할 때 f(z)가 w0로 접근하는 경우에만 f는 점 z0에서 극한 w0을 갖는다. 이것은 실함수인 경우에는 실변수가 좌우에서만 접근하기 때문에 근본적으로 다르게 된다. 복소수 z는 무한히 많은 방향으로부터 z0에 접근할 수 있다. z → z0

8 극한 y • z0 δ •z x w0 ε •w u v

9 극한 점 z0에서 함수 f(z)의 극한이 존재하면 그것은 유일하다. : 다음과 같이 가정한다.
lim f(z)=w0 , lim f(z)=w1 그러면 임의의 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ0과 δ1이 존재해서 다음이 성립한다. 0 < |z- z0| < δ0이면 |w- w0| < ε이고, 0 < |z- z0| < δ1이면 |w- w1| < ε이다. z → z0 z → z0

10 극한 그러므로 δ를 두 수 δ0과 δ1 중에서 작은 것이라 하면
0 < |z- z0| < δ 일 때 다음이 성립한다. |w1- w0| = |{f(z)- w0}-{f(z)- w1}| ≤ |{f(z)- w0}+{f(z)- w1}| < ε+ε=2ε |w1- w0|은 음이 아닌 상수이고 ε은 임의로 작게 선택할 수 있다. → w1- w0 = 0, 즉 w1 = w0

11 극한 Ex) 다음 함수를 생각해보자. f(z) = z 이 때, 다음의 극한은 존재하는가? lim f(z)
Sol) 만약 극한이 존재한다면, 점 z=(x,y)가 원점에 어떠한 방법으로 가까워지더라도 극한을 찾을 수 있을 것이다. 그런데 실수 축 위의 0이 아닌 점 z=(x,0)에 대해 다음을 얻는다. f(z) = x+i0/x-i0 = 1 그리고 허수 축 위의 0이 아닌 점 z=(0,y)에 대해서는 f(z) = 0+iy/0-iy = -1 z z → 0

12 극한 • ↓ 그러므로 실수 축을 따라 z가 원점에 가까워질 때를 생각하면, ←
극한은 1이어야 한다. 한편 허수 축을 따라 원점에 가까워질 때를 생각하면, 극한은 -1이어야 한다. 극한은 유일하므로, 이것으로부터 극한이 존재하지 않는다는 결론을 내린다. Z=(0,y) y Z=(x,0) x (0,0) • ↓ ←

13 lim u(x,y)=u0 , lim v(x,y)=v0
극한에 관한 정리(1) f(z) = u(x,y)+iv(x,y), z0=x0+iy0, w0=u0+iv0 일 때 lim f(z)=w0 이기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다. lim u(x,y)=u0 , lim v(x,y)=v0 (1) z → z0 (2) (x,y)→ (x0, y0) (x,y)→ (x0, y0)

14 극한에 관한 정리(1) 정리를 증명하기 위해서, 먼저 극한 (2)가 성립한다고 가정하고
극한 (1)을 유도해보자. 극한 (2)에 따라서, 임의의 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ1과 δ2가 존재해서 다음이 성립한다. 0 < {(x-x0)+(y-y0)}1/2 < δ1이면 |u-u0| < ε/2이고, 0 < {(x-x0)+(y-y0)}1/2 < δ2이면 |u-u0| < ε/2이다. δ를 두 수 δ1과 δ2 중에서 작은 것이라고 하면 다음이 성립한다. |(u+iv)-(u0+iv0)| = |(u-u0)+i(v-v0)| ≤ |u-u0|+|v-v0|, {(x-x0)+(y-y0)}1/2 = |(x-x0)+i(y-y0)| = |(x+iy)-(x0+iy0)| 그러므로 0 < |(x+iy)-(x0+iy0)| < δ이면, (3)과 (4)로부터 다음을 얻는다 |(u+iv)-(u0+iv0)| < ε/2 + ε/2 = ε 즉, 극한 (1)이 성립한다. (3) (4)

15 극한에 관한 정리(1) 다음으로, 극한 (1)이 성립한다는 가정으로 출발하자.
가정에 의해서, 임의의 양수 ε에 대해 양수 δ가 존재해서 0 < |(x+iy)-(x0+iy0)| < δ이면 |(u+iv)-(u0+iv0)| < ε이다. 여기에서 다음이 성립한다. |u-u0| ≤ |(u-u0)+i(v-v0)| = |(u+iv)-(u0+iv0)|, |v-v0| ≤ |(u-u0)+i(v-v0)| = |(u+iv)-(u0+iv0)|, |(x+iy)-(x0+iy0)| = |(x-x0)+i(y-y0)| = {(x-x0)+(y-y0)}1/2 그러므로 부등식 (5)로부터 0 < {(x-x0)+(y-y0)}1/2 < δ를 얻고, 부등식 (6)에 의해 |u-u0| < ε, |v-v0| < ε을 얻게 된다. 이에 따라 극한 (2)가 성립한다. (5) (6)

16 극한에 관한 정리(2) (7) lim f(z)=w0 , lim F(z)=W0라고 하면, 다음이 성립한다.
lim {f(z)+F(z)} = w0 + W0 , lim f(z)F(z) = w0W0 , 또 W0 ≠ 0이면 다음이 성립한다. lim f(z)/F(z) = w0/W0 z → z0 z → z0 (8) z → z0 (9) z → z0 (10) z → z0

17 극한에 관한 정리(2) 정리(1)을 사용하면, 실 변수가 두 개인 실수 값 함수의 극한에
관한 정리들로 부터 즉각적으로 유도할 수 있다. f(z) = u(x,y)+iv(x,y), F(z) = U(x,y)+iV(x,y), z0=x0+iy0, w0=u0+iv0, W0=U0+iV0 . 가정 (7)과 정리 (1)에 의해서, (x,y)가 (x0,y0)에 가까워질 때 함수 u, v, U, V의 극한이 존재하고 그 값은 u0, v0, U0, V0이다. 따라서 (x,y)가 (x0,y0)에 가까워질 때 다음 곱의 실수 부분과 허수 부분의 극한은 각각 u0U0-v0V0과 u0U0+v0V0이다. f(z)F(z) = (uU-vV)+i(vU+uV) 그러므로 또 다시 정리(1)에 의해 z가 z0에 가까워질 때 f(z)F(z) 의 극한은 (u0U0-v0V0)+i(v0U0+u0V0)가 된다. 이것은 w0W0와 같다. (8)과 (10)에 대해서도 마찬가지이다.

18 연속(continuous) 다음 세 조건이 모두 성립할 때, 함수 f는 z0에서 연속이다. lim f(z)가 존재한다.
lim f(z) = f(z0) 정리1. 연속 함수끼리의 합성 함수는 연속이다. 정리2. 함수 f(z)가 점 z0에서 연속이고 0이 아니면, 그 점의 적당한 근방 전체에서 f(z)≠0이다. → f(z) = u(x,y)+iv(x,y)가 점 z0=(x0,y0)에서 연속이기 위한 필요충분 조건은 성분 함수가 모두 그 점에서 연속이다. z → z0 z → z0

19 도함수(derivative) 함수 f의 정의역은 점 z0의 적당한 근방을 포함한다고 하자.
z0에서 f의 도함수를 f′(z0)으로 나타내는데 다음과 같이 정의함. 단, 위의 극한이 존재하는 경우에만 도함수가 정의된다. z0에서 f의 도함수가 존재할 때, 함수 f는 z0에서 미분가능하다고 한다. 변수 z를 다음과 같은 새로운 복소 변수로 나타내보면 ∆z = z - z0 따라서 z → z0 f(z) - f(z0) z - z0 f′ (z0) = lim ∆z → 0 f(z0 +∆z) - f(z0) ∆z f′ (z0) = lim

20 도함수(derivative) 함수 f는 z0의 적당한 근방 전체에서 정의되기 때문에, 충분히
작은 |∆z|에 대해 f(z0+∆z)의 값이 항상 정의된다. ∆w = f(z+ ∆z)-f(z)로 표현하기로 한다. y • ∆z x z0 z0+∆z

21 도함수(derivative) f(z)=|z|2은 미분가능한가???

22 도함수(derivative) Ex) 함수 f(z)=|z|2이라고 하자. 임의의 점 z에서 다음을 얻는다.
만약 의 극한이 존재한다면, ∆z평면에서 점 ∆z=(∆x, ∆y)를 임의의 방법으로 원점에 가깝게 함으로써 구할 수 있다. 특히, ∆z가 실수 축 위의 점 (∆x, 0)을 따라 원점에 수평으로 가까워질 때 다음이 성립한다. 이 경우에 다음을 얻는다. = |z+∆z|2 – |z|2 ∆z ∆w (z+∆z)(z+∆z) – zz z+∆z+z ∆z ∆z ∆w ∆z ∆z = ∆x+i0 = ∆x-i0 = ∆z ∆w ∆z z+∆z+z =

23 도함수(derivative) ∆w 그러므로 만약 의 극한이 존재한다면, 그 값은 반드시 z+z이다. ∆z
그렇지만 ∆z가 허수 축 위의 점(0, ∆y)를 따라 원점에 수직으로 가까워질 때, 다음이 성립한다. 이 경우에는 다음을 얻는다. 그러므로 이 극한이 존재한다면, 그 값은 반드시 z-z이다. 극한은 유일하므로 다음이 성립해야 한다. z+z = z-z 즉, z=0이고 dw / dz가 존재한다면 z=0에서만 존재하고, 그 때의 값은 0이다. ∆z = 0+∆y = -(0+i∆y) = -∆z ∆w ∆z z+∆z-z =

24 도함수(derivative) f(z)=|z|2 f '(z)=0 (z=0일때), z≠0이면 미분할 수 없다.

25 도함수(derivative) 위의 문제는 어떤 특정한 점에서는 미분할 수 있지만 그 점의 임의의
근방에 속하는 모든 점에서는 미분할 수 없는 함수가 존재함을 보여준다. f(z) = |z|2의 실수 부분과 허수 부분은 각각 다음과 같다. u(x, y) = x2+y2, v(x, y) = 0 그러므로 이 예는 또한 복소 변수 함수의 실수 부분과 허수 부분이 어떤 점에서 모든 계의 연속인 편도함수를 갖지만, 그 복소 변수 함수를 그 점에서 미분하지 못할 수 있음을 보여준다. 함수 f(z) = |z|2은 위의 그 성분이 모든 점에서 연속이기 때문에, 복소 평면의 모든 점에서 연속이다. 그래서 함수가 어떤 점에서 연속이더라도 그 점에서 미분하지 못할 수 있다. 그렇지만 함수가 어떤 점에서 미분할 수 있으면 그 점에서 연속이다라는 명제는 참이다.

26 도함수(derivative) f는 점 z에서 미분가능한 함수이고, c는 복소상수 일 때 다음과 같다.
또 정수 n에 대해 다음이 성립한다. 마찬가지로 두 함수 f와 F의 도함수가 존재하면 합, 차, 곱, 나누기가 성립하고 chain rule또한 만족하게 된다. ∆ ∆z c=0 z=1 {cf(z)}=cf′(z) ∆ ∆z zn=nzn-1

27 복소함수의 해석성 lim f(z) - f(z0) z - z0 = f(z0+h) - f(z0) h
모든점에서 f가 미분가능함을 뜻한다. f가 정의역 내의 각 점에서 해석적이면 f는 정의역에서 해석적이라 하고 이 때 f를 해석함수라 한다. 함수가 복소평면 전체에서 해석적이면 전해석함수라 한다. 함수가 해석적이 되지 못하는 점을 특이점이라 한다. 복소평면의 미분에서 주의해야 할 것은 z가 z0으로 어떤 방향에서 접근하든지 관계없이 극한이 존재해야만 한다는 것이다. 즉, |h|가 0으로 접근해야만 할지라도 h의 편각은 임의로 변한다. 이 사실은 복소함수의 미분과 실함수의 미분 사이의 근본적인 차이이다.

28 Cauchy-Riemann Equation
provides a necessary and sufficient condition for a differentiable function to be analytic in an open set

29 Real function

30 Complex function

31 Cauchy-Riemann Equation
= + = = -

32 = +

33

34 = + =

35

36 = + =

37 Cauchy-Riemann Equation
= = -

38 Cauchy-Riemann Equation
= - - =

39 ex1

40 = = - = = = =

41 = = - = = => Analytic

42 ex2 Is analytic

43 Cauchy-Riemann Equation
= ) ( ,

44 = =

45 Laplace Equation = + ( : nabla)

46 12.9 Laplacian in polar coordinate

47 = = -

48 Laplace Equation

49 Laplace Equation u, v  Conjugate harmonic function (공액조화함수, 켤레조화함수)
Harmonic function이 Cauchy-Riemann Equation을 만족할 때 u, v  Conjugate harmonic function (공액조화함수, 켤레조화함수)

50 ex2 전 복소평면에서 조화함수 임을 검증하고, u의 공액조화함수 v를 구하라.

51 => Harmonic function
Sol) => Harmonic function

52  =>

53