최적설계(Optimum Design)의 소개 - 개념을 중심으로 -

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1 최적설계(Optimum Design)의 소개 - 개념을 중심으로 -
이 두 호 Systems & Design Lab.

2 최적설계 일반적으로 자동화된 설계 기법 정한 기준으로 주요 변수를 자동으로 변화시켜 가장 좋은 설계를 얻음 최적설계의 장점
설계시간의 단축 설계의 질 향상 창조적인 일로 여유 Systems & Design Lab.

3 최적설계의 역사(1) 1960년대 이전 최적설계 개념의 정립 : 수학적 계획법(Mathematical Programming) 도입 Maxwell(1869) : 최적설계 개념 연구 시작 응력 제한조건 하에서 단일하중에 의한 최소자중 트러스 배치 Michell(1904) 이차원 최적설계 트러스 설계 하중점과 지지점이 주어진 경우 최적 직교 배치 두 지지점과 단일 하중에서의 Michell형 구조 배치 Systems & Design Lab.

4 최적설계의 역사(2) 1960년대 : 이론적 성장기 컴퓨터의 발명과 유한요소법의 이용
컴퓨터의 발명과 유한요소법의 이용 Schmit(1960) : Structural Design by Systematic Synthesis 현대적 의미의 최적설계 개념 정의 반직관적 최적해 : 최소중량설계가 반드시 전응력설계는 아니다 비선형계획법(Nonlinear Programming)에 의한 정식화 컴퓨터를 이용한 최적화 기법에 의해 최적해를 구함 주어진 하중을 견디는 최소 보의 체적 현실(비용)과 이론의 괴리 Systems & Design Lab.

5 최적설계의 역사(3) 1970년대 : 최적설계의 이론의 고도화 시기 컴퓨터 사용, 유한요소법에 의한 구조해석의 보편화
최적성 기준법(Optimality Criteria) 등장 PragerW. And Maracal, P.V.(1971) MP에 대하여 최소화보다는 최적성기준을 만족하는 설계 근사화 개념을 이용한 수학적 계획법(MP) Schmit(1974), Schmit & Miura(1976) 선형 근사 및 Sub-optimization OC와 MP 의 이론적 통합 Fleury & Sander(1977) : OC는 MP의 특수한 경우 설계민감도 해석과 형상최적설계 Arora & Haug(1979), Vanderplaats(1980) : Applied Optimal Design Systems & Design Lab.

6 최적설계의 역사(4) 1980년대 이후 : 최적설계의 실용화
PC, WS 및 Supercomputer 출현: 물 만난 물고기 형국 유한요소법, 경계요소법 등의 수치 해석법의 다양화 CAD/CAE 시스템의 개발과 병행 구조 재해석 방법, 설계민감도 해석 기능 설계민감도 해석법 : Haug(1986) 위상최적화법 제기 : Bendsoe & Kikuchi(1988)(U of Michigan) 범용 최적화 코드 : 공학적 접근(Near-Optimum) I-DESIGN:Arora(U of Iowa) GENESIS : Vanderplaats(VMA Engineering) :DOT,DOC NASTRAN, ANSYS Systems & Design Lab.

7 DESIGN PROCESS The Design Process FEEDBACK 모든 단계에서 최적설계 적용 가능
필요로 하는 요구조건을 정확히 규명 기술자 또는 발주자의 필요한 요구의 확인 시스템의 예비설계 이상화된 모형으로 시스템의 여러가지 개념 연구 부분시스템에 대한 상세 설계 : 체계적인 최적화 방법 실물크기 시스템의 제작 : Prototype 시스템의 시험 최종 설계 : 대량생산 모든 단계에서 최적설계 적용 가능 설계자는 설계의 핵심 : 언제나 창의성 발휘 요구 FEEDBACK Systems & Design Lab.

8 Conventional vs. Optimum Design
계의 정체성 확인: 정식화 설계변수 목적함수 제한조건 계를 나타내는 자료수집 초기설계 추정 계를 나타내는 자료수집 계의 해석 초기설계 추정 성능 평가 검토 계의 해석 설계의 만족여부 판단 끝 제한조건 검토 불만족 수렴기준 만족 여부 끝 경험/추리로 설계 변경 불만족 최적화 방법으로 설계변경 Systems & Design Lab.

9 최적설계 정식화 설계자의 창의적 노력과 능력이 요구됨 최적설계 정식화 : 표준화된 문제
목적함수(Object Function, Cost Function) 설계변수(Design Variable) 제한조건(Constraint) 등식제한 조건 : 상태방정식 부등식 제한조건 : 응력, 공진주파수 등 Systems & Design Lab.

10 최적설계 Optimizer 해 알고리듬(Solution Algorithms) 설계 민감도 계산
Mathematical Programming(MP) Optimality Criteria(OC) 설계 민감도 계산 Gradient-based Algorithms Design Sensitivity Analysis of Structural Systems : E.J. Haug 위상(Topology) 및 형상(Shape) 최적설계 Systems & Design Lab.

11 최적화 해법 알고리듬 Direct search(MP) vs. Indirect Method(OC)
Systems & Design Lab.

12 Fundamental Concepts(1)
Minimum Local(Relative) or Global(Absolute) Minimum ? A B C D E F Systems & Design Lab.

13 Fundamental Concepts(2)
Gradient Vector Normal to the tangent plane Direction of Maximum Increase Systems & Design Lab.

14 Fundamental Concepts(3)
Hessian Matrix Symmetric Matrix Systems & Design Lab.

15 Fundamental Concepts(4)
Taylor Series Expansion 모든 함수는 임의의 점 근방에서 그 점과 미분값을 사용한 다항식(Taylor Series) 근사가 가능 변화량의 근사 일차 (First-Order) 근사vs. 이차(Second-Order) 근사 Systems & Design Lab.

16 OC for Unconstrained Problems
Local Optimality Condition Necessary Condition Sufficient Condition Systems & Design Lab.

17 OC for Constrained Problems
Lagrange Multiplier: u,v Kuhn-Tucker(K-T) Necessary Condition Systems & Design Lab.

18 Optimality Criteria Method
Procedure of Optimality Criteria Method Write the necessary conditions Solve the nonlinear equation Inappropriate for many Engineering Problems Large Design Variables and Constraints The Cost and Constraint Function can be Highly Nonlinear The Design Variables can be Implicit in the Cost and Constraint Functions Systematic Numerical Methods are Needed Systems & Design Lab.

19 LP Method for Optimum Design
NLP can be solved by Sequential LP(SLP) Standard Linear Programming Problem Linear Cost Function Linear Equality Constraint Non-negativity of Design Variables Slack and Surplus Variables Systems & Design Lab.

20 Linear Programming Problems
Basic Concepts Feasible Solution 제한조건과 비음수 조건을 모두 만족하는 해 Optimum Solution Feasible Solution중 목적함수를 최소화하는 해 LP 문제의 Optimum Solution은 Feasible Region 경계면 꼭지점(Vertex Point)에 존재한다. Simplex Method C B D A Systems & Design Lab.

21 LP: Simplex Method Simplex in n-dimensional Space
Convex hull of (n+1) points which don’t lie on one hyper-plane 2차원인 경우 삼각형이 됨 Graphical Interpretation C B D A Systems & Design Lab.

22 Numerical Methods for UOD(1)
General Algorithm Iterative Method Step Size & Search Direction Descent Direction Gradient Evaluation Finite Difference Method Analytic Method Sensitivity Analysis Systems & Design Lab.

23 Numerical Methods for UOD(2)
Step Size Determination One-dimensional minimization Equal Interval Search Reducing Interval of Uncertainty Golden Section Search Variable Interval Search Method Polynomial Interpolation Quadratic Curve Fitting Systems & Design Lab.

24 Numerical Methods for UOD(3)
Steepest Descent Method Steepest Descent Direction One-dimensional Search Simple and Robust(수렴보장) Drawbacks The rate of Convergence is slow Orthogonal Paths Scaling of Design Variables Systems & Design Lab.

25 Numerical Methods for UOD(4)
Conjugate Gradient Method Fletcher & Reeves[1964] Conjugate Gradient Direction : Modification of SDM Not orthogonal to each other Simple & Fast Convergent Rate Restart for Computational Stability Systems & Design Lab.

26 Numerical Methods for UOD(5)
Newton’s Method Optimality Criteria for Second-order Taylor Series Second-Order Derivative : High Cost Quadratic Rate of Convergence : Not guaranteed Memory-less Method Systems & Design Lab.

27 Numerical Methods for UOD(6)
Quasi-Newton Method Steepest Descent Method : Convergent But Slow Newton’s Method : Fast But Expensive Hessian Matrix Approx. by First-Order Derivative History Davidon-Fletcher-Powel Method[1963] Approximate Inverse of Hessian Matrix One of the Most Powerful Algorithm for general function Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno Method[1981] Approximate the Hessian Matrix Systems & Design Lab.

28 Constrained Optimum Design(1)
Sequential Unconstrained Minimization Techniques Minimization of Penalty or Barrier Function Penalty Fn=Magnification factor*Violation General Algorithms Linearization of Cost and Constraint Functions Sub-problem of Search Direction Determination Solution of Sub-problem Step Size Determination Systems & Design Lab.

29 Constrained Optimum Design(2)
Sequential Linear Programming Algorithm Quadratic Programming Sub-problem Constrained Steepest Descent Method Constrained Quasi-Newton Method Method of Feasible Directions Gradient Projection Method Generalized Reduced Gradient Method Etc. Systems & Design Lab.