퍼지 이론 (Lecture Note #12) 인공지능 이복주 단국대학교 컴퓨터공학과

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1 퍼지 이론 (Lecture Note #12) 인공지능 이복주 단국대학교 컴퓨터공학과
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2 Outline 퍼지 이론 (Fuzzy Theory) 퍼지 집합 (Fuzzy Set) 퍼지 관계 (Fuzzy Relation)
퍼지 수 (Fuzzy Number) 퍼지 추론 (Fuzzy Inference) 퍼지 제어 응용 (Fuzzy Control Application)

3 퍼지 이론 (Fuzzy Theory) 컴퓨터를 인간에 가깝게 하는 일의 어려움
컴퓨터의 수치 및 기호처리를 이용 → 모호하지 않은 작업처리 인간의 행동 → 애매한 정보를 많이 이용 퍼지 이론: 애매함을 처리하는 수리 이론 기존의 집합: ‘정수의 집합’, ‘지하철 보유 도시의 집합’ 소속이 불확실한 경우는 배제 Zadeh의 퍼지 집합 “아름다운 여자의 집합”, “키 큰 사람의 집합” 패턴 인식, 의미 정보 전달, 추상화 등에 중요한 역할 소속 여부가 확실하지 않은 경우의 집합 - 수학적 집합과 배치 정밀 복잡한 제어 이론을 개괄적으로 해결하려는 의도 Crisp 논리 vs. Fuzzy 논리 0,1의 명제 값과 0과 1사이의 실수 값을 명제 값으로 가짐 “오늘 비가 올 확률이 70%이다” → 명제의 확신도 → 확률과 다른가? 같음 “내일 미인을 만날 확률이 50%이다” → 내일의 만남은 확률, 미인인지는 애매함 확률로 나타낼 수 없음 Fuzzy 논리: 주관적인 확신도

4 퍼지 집합 (Fuzzy Set) 기호 퍼지 집합 표현 Linguistic term이 fuzzy set이 됨
집합 X의 최대값 연산: ∨ 최소값 연산: ∧ 전체 집합 X의 각 원소 x가 X의 퍼지 집합 A에 속하는 정도, 즉 퍼지 집합 A의 소속 함수(membership function) x∈X가 퍼지 집합 A에 소속되는 정도(degree or grade of membership) 퍼지 집합 표현 집합 X가 이산: 집합 X가 연속: Linguistic term이 fuzzy set이 됨 아름답다, 크다, 젊다, 무겁다 Very natural!

5 퍼지 집합 지지 집합 (Support Set) 정규 퍼지 집합 (Normal Fuzzy Set)
예: 퍼지집합 A={1.0/1, 0/2, 0.5/3, 0/4, 0.2/5}일 때, supp(A)? 해: supp(A) = { 1, 3, 5 } 정규 퍼지 집합 (Normal Fuzzy Set) x∈X중에서 적어도 하나의 원소가 퍼지 집합 A의 소속 함수 값이 1이 될 때, A는 정규 퍼지 집합이라 한다. or 볼록 퍼지 집합 (Convex Fuzzy Set)

6 퍼지 집합 상등 (집합 X의 두개의 퍼지 집합 A, B) 포함 (집합 X의 두개의 퍼지 집합 A, B)
예: 퍼지 집합 A={ 1/1, 0.5/2, 0/3}, B={y| y=-1/2x+3/2, for x=1,2,3} 해: 퍼지 집합 A=B 포함 (집합 X의 두개의 퍼지 집합 A, B) 예: 퍼지 집합 A={키 큰 사람}, B={키가 작지 않은 사람}일 때 포함관계? 해: 퍼지 집합 A  B

7 퍼지 집합 퍼지 집합의 연산 Union: Intersection: Complement: 한계합: 한계곱: -컷:
최대값은 1 이하 한계곱: 최소값은 0 이상 -컷:

8 퍼지 집합 예제 5.3 예제 5.4 A = {0.2/x1, 0.8/x2, 0.5/x3, 1.0/x4}
B = {0.4/x1, 0.7/x2, 0/x3, 0.5/x4} AB, AB, Ac 예제 5.4 A = {0.3/x1. 0.8/x2, 0.5/x3}  = 0.3, 0.5, 0.8을 사용하여 -컷을 구하라

9 퍼지 관계 (Fuzzy Relation) 수학에서의 관계 (relation) 퍼지 관계
예제 5.5: X = {1, 2, 3}, Y = {2}, x  y인 R의 쌍은? R = {(1, 2), (2, 2)} 퍼지 관계 예: X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y는 x보다 훨씬 크다” 해: 두 수 x, y의 비를 보고 주관적으로 정하면, 퍼지 관계의 정의: 집합 X, Y 사이의 퍼지 관계 R의 소속 함수

10 퍼지 관계 퍼지 집합의 관계 역 퍼지 관계 집합 A, B는 전체 집합 X, Y상의 퍼지 집합 AB는 X  Y상의 퍼지 관계
예: X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y는 x보다 훨씬 크다” 의 역 퍼지 관계? 해: R-1=“x는 y보다 훨씬 작다”

11 퍼지 관계 퍼지 관계의 연산 (X  Y상의 퍼지 관계 P, R에 대해)
PC: 예: X={x1, x2}, Y={y1, y2}, X와 Y 사이의 퍼지 관계 P와 R이 다음과 같이 주어질 때, PR, PR, Rc ? 해

12 퍼지 관계 퍼지 관계의 합성(Composition) 퍼지 집합과 퍼지 관계 합성 P: X  Y상의 퍼지 관계
R: Y  Z상의 퍼지 관계 비교: 앞의 경우는 P, R 모두 X  Y 에 대한 것임 PR: X  Z상의 퍼지 관계 최대-최소 합성(max-min composition) 경우에 따라서는 최대-곱, 최소-최대, 최대-최대, 최소-최소, 최대-평균 등을 적용할 수 있다. 퍼지 집합과 퍼지 관계 합성 X상의 퍼지 집합 A와 X  Y상의 퍼지 관계 R의 합성 주의: 위의 경우는 관계와 관계간의 합성임. 이 경우는 집합과 관계의 합성 R을 f: X → Y로 해석하면, f(A)=A  R : A의 f에 의한 상(image)

13 퍼지 관계 예: P(X  Y)와 R(Y  Z)이 주어질 때, PR(X  Z)의 최대-최소 합성? 해:

14 퍼지 수 (Fuzzy Number) 임의의 실수 r에 대해서, “약 r”, “거의 r”
퍼지 수를 나타내는 퍼지 집합의 소속 함수 정규이고 볼록 형태를 갖는 퍼지 집합 종형 (bell-shaped): 매끄러운 모양이지만 계산이 복잡 x=0, r, 2r일 때

15 퍼지 수 삼각형 (triangular): 종형의 간략화로서 일반적으로 많이 사용됨
사다리꼴 (trapezoid): 종형과 삼각형의 혼합, 간단

16 퍼지 수 퍼지 수에 대한 함수 (예제 5.10) A: “약 5” 퍼지 수. 삼각형 퍼지 수를 가짐 함수 y = x + 3
해: 오른쪽 삼각형 퍼지 수는 “약 8”이라고 해석됨 그림 5.5

17 Summary 퍼지 이론 (Fuzzy Theory) 퍼지 집합 (Fuzzy Set) 퍼지 관계 (Fuzzy Relation)
퍼지 수 (Fuzzy Number) 퍼지 추론 (Fuzzy Inference) 퍼지 제어 응용 (Fuzzy Control Application)