Ch.12 진동(Oscillatory Motion)

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1 Ch.12 진동(Oscillatory Motion)
12.1 용수철에 매달린 물체의 운동 12.2 분석 모형: 단조화 운동을 하고 있는 입자 12.3 단조화 진동자의 에너지 12.4 단진자 12.5 물리 진자 12.6 감쇠 진동 12.7 연결 주제: 구조물의 공명

2 12.1 용수철에 매달린 물체의 운동(Motion of an Object Attached to a Spring)
주기 운동: 규칙적으로 일정한 시간간격 후에 원래의 위치로 되돌아오는 운동 단조화 운동: 물체에 작용하는 힘이 평형 위치로부터의 변위에 비례하고, 이 힘이 항상 평형 위치 쪽으로 향하는 운동 훅의 법칙(Hooke’s law) (복원력) 뉴턴 법칙을 적용하면 가속도는 평형 위치로부터 물체의 변위에 비례하고 변위와 반대 방향으로 향한다. 이와 같이 운동하는 계를 단조화 운동이라 한다.

3 12.2 분석 모형: 단조화 운동을 하고 있는 입자 이 2차 미분방정식의 해를 구하기 위해서 일반해를 사용한다.
이 일반해에서 A, ω 및 φ는 상수이며, 문제에 해당하는 값을 구하여 문제에 특정한 해를 결정한다.

4 (각 진동수), (주기), (Hz, 진동수) (진폭) (위상 상수)
이 일반해를 미분하여 원래 운동 방정식에 대입하면 ω를 결정할 수 있다. A와 φ는 초기 조건 및 경계 조건으로부터 결정한다. (각 진동수), cosine 함수는 주기가 2π이므로 (주기), (Hz, 진동수) (위상 상수) (진폭)

5 단조화 운동을 하고 있는 입자의 속도와 가속도는

6 (예1) 입자를 평형 위치로부터 변위 A만큼 당긴 후,
t=0인 정지 상태에서 놓으면 운동을 한다. 처음 조건 : x(0)=A, v(0)=0을 만족해야 한다. 속도의 최대값은: ±wA, 가속도의 최대값은:±w2A

7 (예2) t=0 를 물체가 오른쪽으로 진행하는 도중 평형위치를 지나는 순간의 시각으로 정의
x(0)=0, v(0)=vi : 초기조건: 이것은 f= ±/2 를 의미: 처음 속도와 진폭이 양(+)이므로 제12장 진동

8 각진동수: 주기: 물체-용수철 계 예제 12.1 (A) 운동의 주기를 구하라.
질량이 200 g인 물체가 힘상수 5.00 N/m인 가벼운 용수철에 매달려 마찰 없는 수평면 위에서 자유롭게 진동한다. 이 물체를 평형 위치에서 5.00 cm만큼 벗어나 그림과 같이 정지 상태에서 놓을 때 풀이 (A) 운동의 주기를 구하라. 각진동수: 주기: 제12장 진동 제12장 진동 8

9 (D) SI단위와 시간의 함수로 나타낸 위치, 속도, 가속도.
(B) 물체의 최대 속력: (C) 최대가속도: (D) SI단위와 시간의 함수로 나타낸 위치, 속도, 가속도. 위상상수: 위치 x(t): 속력 v(t): 가속도 a(t): 제12장 진동

10 움푹 팬 곳을 주의하시오! 예제 12.2 차에 작용하는 모든 힘: 유효 용수철 상수: 차체 흔들림의 진동수:
질량이 1300 kg인 자동차가 네 개의 용수철이 지지하도록 설계되어 있다. 각 용수철의 힘상수는 N/m이다. 자동차를 타고 있는 두 사람의 몸무게를 합치면 160 kg이다. 자동차가 직진하다 움푹 팬 곳을 지나가면서 자동차가 연직으로 진동할 때 진동수를 구하라. 풀이 차에 작용하는 모든 힘: 유효 용수철 상수: 차체 흔들림의 진동수: 제12장 진동

11 12.3 단조화 진동자의 에너지(Energy of the Simple Harmonic Oscillator)
운동에너지: 위치에너지: 단조화 진동자의 전체 역학적 에너지는 일정하고 진폭의 제곱에 비례한다.

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13 수평면 위에서의 진동 예제 12.3 풀이 (a) (c) (b)
질량이 0.500kg인 물체가 힘 상수 20.0N/m의 가벼운 용수철에 연결되어 마찰이 없는 수평 트랙 위에서 진동한다. (a) 운동의 진폭이 3.00cm일 때 그 물체의 최고 속력과 계의 전체 에너지를 구하라. (b) 변위가 2.00cm일 때 물체의 속도를 구하라. (c) 변위가 2.00cm일 때 계의 운동 에너지와 위치 에너지를 구하라. 풀이 (a) (c) (b)

14 *** 단조화 운동과 등속 원운동과의 비교 ***
진동 운동을 원운동으로, 원운동을 진동 운동으로 변환할 수 있다. 오른쪽 그림에서 공의 원운동과 그림자의 진동 운동이 대응하므로, 그림자의 위치는

15 12.4 단진자(The Simple Pendulum)
각 θ가 작은 경우, 중력의 일부가 가장 낮은 위치로 돌아가려는 복원력의 역할을 하므로, (작은 θ에 대해서)

16 12.5 물리 진자(The Physical Pendulum)
강체가 한 점 O를 중심으로 진동하는 경우를 물리진자라고 한다. 그림에서 강체에 작용하는 중력이 O축에 작용시키는 토크를 고려하면 음(-)의 부호는 O에 대한 토크가 각 θ를 감소시키는 방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 즉, 중력은 복원 토크를 만든다.

17 [예제 12.5] 흔들리는 막대

18 12.6 감쇠 진동(Damped Oscillations)
실제의 진동계에서 비보존력이 있음 이것은 지금까지 논의한 이상적인 계가 아님. 마찰력은 흔히 존재하는 비보존력임. 따라서 계의 역학적인 에너지는 시간에 따라 감소하게 되어 운동이 감쇠되어진다. 어떤 매질 속에서 운동하는 물체의 경우 저항력: 뉴턴의 제2법칙: 각진동수 이 식의 해: 각진동수를 다른 형태로 쓰면 0 는 저항력이 없을 때의 각진동수이며 그것을 고유진동수라 한다 제12장 진동 .

19 저항력이 작으면, 진동의 특성이 지속되지만 진폭이 감소한다.
그 진동은 결국은 멈춘다. 그러한 진동자를 감쇠진동자(damped oscillator)라 한다. 점선은 진동의 포락선을 나타낸다. 저항력의 크기가 작으면, 즉 b/2m < wo 이면 그 계는 저감쇠(부족감쇠, underdamped)되었다. b 가 임계값 bc (bc/2m = wo) 가 되면, 그 계는 진동하지 않는다. 그 계는 임계감쇠(critically damped)이다. 매질의 점성이 매우 커서 저항력이 복원력보다 크게되면 즉, b/2m > w0 이면 Red : 임계감쇠 그 계는 과감쇠(overdamped)이다. Blue : 저감쇠 Black : 과감쇠 시간에 따라 변하는 그래프에서 임계감쇠나 과감쇠의 경우 각진동수는 없다(진동하지 않는다). 제12장 진동

20 12.7 연결 주제: 구조물의 공명(Context Connection: Resonance in Structures)
구조물의 고유진동수가 땅의 흔들림에 포함된 진동수와 같으면, 공명진동이 결함부분에 생기거나 건물이 붕괴될 수 있다. 그러한 사고를 예방하려면, 구조물의 고유진동수가 지진의 진동수 범위를 벗어나게 설계해야 한다. 구조물이 감쇠진동할 수 있게 해야 한다. [예] 다리의 고유진동수와 주변에 부는 바람의 진동수가 같아서 Tacoma Narrows Bridge가 파괴되었다. - 미국 워싱톤주 시애틀 가까이 타코마에 있는 다리(현수교)로서 1940년 7월 1일 개통되었으나 11월 7일 붕괴되었다. 제12장 진동