감쇠 시스템의 고유진동수와 모드의 민감도를 계산하기 위한 대수적 방법의 개선

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1 감쇠 시스템의 고유진동수와 모드의 민감도를 계산하기 위한 대수적 방법의 개선
한국전산구조공학회 2000년도 봄 학술발표회 감쇠 시스템의 고유진동수와 모드의 민감도를 계산하기 위한 대수적 방법의 개선 조홍기 한국과학기술원 토목공학과 석사과정 박선규 성균관대학교 토목공학과 교수 이인원 한국과학기술원 토목공학과 교수

2 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
발표순서 연구배경 기존연구 제안방법 수치예제 결론 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

3 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
연구 배경 고유쌍의 미분값들은 동적응답의 민감도를 결정 최적화 설계나 CMS방법등에서 필요 설계 경향 연구나, 시스템 거동에 대한 직관 기존 방법 보다 좀더 효율적인 방법 추구 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

4 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
기존 연구 1 이론적 배경 및 기존연구 일반화된 고유문제 (1) 정규화 조건 (2) 식(1)을 설계변수에 대해 미분하면 (3) 식(3)의 양변에 를 곱하면 고유치의 미분 : (4) 고유벡터의 미분은? 많은 학자들이 연구 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

5 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
모드 방법(Modal method)(1968~) - 고유모드의 미분을 여러 개의 고유모드 합으로 나타내는 방법 반복적 방법(Iteration method)(1974~) - 고유모드의 미분을 수치적으로 구하는 방법으로 근사해를 구함 Rudisill & Chu’s method (1975) 알고리즘이 간단하나 계수행렬이 비대칭이어서 저장공간이 많이 필요하고 계산시간도 길다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

6 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Nelson’s method (1976) 특이해와 비특이해의 합으로 고유모드 미분을 구하는 방법 특이해를 구하는 알고리즘이 복잡하고, 중복근의 경우 적용이 어렵다. Lee & Jung’s method (1997) 알고리즘이 간단하다. 계수행렬이 대칭이어서 저장공간이나 계산시간이 절약된다. 중복근으로의 적용이 쉽다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

7 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
2 감쇠시스템의 경우 Lee & Jung’s method (1999) 감쇠시스템의 고유문제 (5) 식(5)를 설계변수에 대해 미분하면 (6) 식(6)의 양변에 를 곱하면 고유치의 미분 (7) Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

8 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
고유벡터의 미분은? 상태공간방정식 도입 (8) 정규화 조건 (9) 미분 (10) 식(10)와 식(6)을 대수방정식 형태로 정리하면 (11) 고유벡터의 미분 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

9 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
고유치의 미분 (12) (13) 고유벡터의 미분 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

10 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
제안 방법 1 알고리즘 감쇠시스템의 고유문제 미분 (14) (15) 정규화 조건 미분 (16) (17) Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

11 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
식(15)과 식(17)을 선형대수방정식 형태로 정리하면 (18) 고유치와 고유모드의 미분이 동시에 구해짐 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

12 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
2 수치적 안정성 증명 (19) (20) Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

13 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
(21) (22) (23) Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

14 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
(24) (25) (26) Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

15 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
수치 예제 Number of nodes : Number of element : Number of DOF : Young Modulus : Mass density : Poison’s ratio : Thickness : m Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

16 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Table 1. The lowest twenty eigenvalue and their derivatives Eigenvalue Eigenvalue derivative (Lee&Jung’s method) (Proposed method) -1.537E-02j5.453E+00 -2.973E+00j5.453E+02 -2.367E-01j2.173E+01 -4.724E+01j2.173E+03 -5.480E-01j3.309E+01 -1.095E+02j3.308E+03 -2.345E+00j6.844E+01 -4.689E+02j6.836E+03 -1.569E+01j1.764E+02 -3.138E+03j1.750E+04 Mode Number 1,2 3,4 5,6 7,8 17,18 19,20 -2.196E+01j2.084E+02 -4.392E+03j2.061E+04  Table 2. Some components of the first eigenvector and its derivatives Eigenvector Eigenvector derivative (Lee&Jung’s method) (Proposed method) -7.380E-01-j7.380E-01 7.380E+01+j7.380E+01 -1.498E+00-j1.498E+00 1.498E+02+j1.498E+02 2.736E-01+j2.736E-01 -2.736E+01-j2.736E+01 -4.472E+00-j4.472E+00 4.472E+02+j4.472E+02 Eqn. number 1 2 3  71 72 -1.223E-01-j1.223E-01 1.223E+01+j1.223E+01 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

17 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Table 3. CPU time spent on the calculation of the first twenty eigenpair derivatives Total Lee & Jung’s method Proposed Method Operations CPU time (sec) 0.95 1.71 1.32 2.28 6.26 1.73 1.31 5.32 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

18 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
2 4 6 8 10 12 14 20 30 40 Number of eigenvalues CPU time (sec) Lee & Jung's method Proposed method 10.8초 12.8초 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

19 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
결론 제안 방법은 기존의 고유치와 고유모드의 민감도 해석방법 중 가장 효율적인 Lee & Jung’s method를 개선한 방법이다. 감쇠시스템의 경우 Lee & Jung’s method는 고유치와 고유모드의 미분을 따로 구했으나, 본 방법에서는 이를 동시에 구할 수 있는 식을 제안함으로 알고리즘을 좀더 간략화 하였다. 제안방법을 통해 Lee & Jung’s method보다 계산 시간을 현저하게 줄일 수 있다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

20 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
* 중복근의 경우 근접 모드 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

21 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
* 중복근의 경우 (제안방법) 근접 모드 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

22 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
* 중복근의 경우 (Lee & Jung’ method) 근접 모드 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.