Download presentation
Presentation is loading. Please wait.
1
11.10 2개 성분의 spin 각운동량의 합 “연결된 표시법” or “분리된 표시법” 분리된 표시법 두 전자계에 대한 파동함수 교환 가능한 연산자의 공통고유함수 예 단순곱 고유함수 공통고유함수
2
𝑆 2 ? 연결된 표시법 교환 가능 연산자 set 공통고유함수 s = 0, 1 4 개 2개는 분리된 표시법의 고유함수
4 개 모두 𝑆 Z 연산자의 고유함수 C.C. 와 함께 연립방정식 풀어 대입 𝜉 1 은 연결된 표시법 교환 가능 연산자 set 의 공통고유함수 !!
3
연결된 표시법의 교환가능 연산자 set의 공통 고유함수
𝑆 Z 의 고유치 𝑆 2 𝜉 3 𝜉 4 항이 생김 𝜉 3 , 𝜉 4 는 고유함수가 아님 !! 나머지 두 고유함수는 ? Old Basis 의 변환 : 𝑆 2 , 𝑆 Z 과 교환 가능한 새로운 연산자 의 고유함수로 basis 변환 입자 1 과 2 의 spin 상태를 바꿈 입자 2의 spin 상태 입자 1의 spin 상태 𝔛 의 고유치는 ±1 고유치 : 1 symmetric 𝔛 의 고유함수 𝑆 Z 의 고유치 고유치 : -1 antisymmetric 𝑆 2 , 𝑆 Z , 𝔛 는 교환가능 공통 고유함수 가질 수 있음 입자교환에 대해 대칭
4
𝑆 2 , 𝑆 Z , 𝔛 의 공통 고유함수 중 나머지 2개 𝑆 Z 의 2개의 degenerate 고유함수 𝜉 3 , 𝜉 4 의 대칭화 선형결합 (3/4 ħ2 + 3/4 ħ2 - 2/4 ħ2 + ħ2 ) (3/4 ħ2 + 3/4 ħ2 - 2/4 ħ2 - ħ2 ) S=1 S=0 공통고유함수
5
연결된 표시법의 2 전자계의 spin 파동함수와 양자수
단위 step 감소 연결된 표시법 2 전자계의 총각운동량 양자수 S S=0 연결된 표시법 3 전자계의 총각운동량 양자수 S S=1 S=3/2 교환가능연산자 S=1/2 공통고유함수
6
11.11 Pure and Mixed States 고립된 계 계의 좌표로 표시된 파동함수 계의 상태를 표시 Pure States 외부와 연결된 계 “온도 bath” 접촉을 통해 일정온도로 유지되는 N개 입자 경우 𝑥 : 계의 좌표 𝑦 : 환경의 좌표 환경을 포함한 전체계 self-contained Hamiltonian 파동함수 : 𝜓(𝑥,𝑦)≠𝜓1(𝑥)𝜓2(𝑦) Mixed States 양자역학 계와 관련된 교환 가능 연산자들의 완벽한 set 동시에 대각화 시킬 수 있는 파동함수 최대의 정보 예 물리량 A, B, C 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 : 연산자 set 𝜓 𝑎𝑏𝑐 : 공통고유함수 “아주 짧은 시간차이에 A, B, C 를 측정할 수 없다” 파동함수 : 결정될 수 없음 계 : “섞인 상태” 매우 많은 자유도를 갖고 있는 계 (예 : 1 mole gas : ∼1023 운동량 서술필요) “양자통계역학” : The density operator
7
The density operator 계의 상태에 대한 가능한 최대 정보보다 적은 정보가 유용한 상황 계에 대한 파동함수는 존재하나 그것이 완전히 결정되지 않음 파동함수 𝜓 밀도연산자 𝜌 예 A : 계의 한 물리적 성질 (Tr: 대각선 요소의 합) 알려진 파동함수 𝜓 𝜌 의 행렬 요소 : 𝜓 를 포함하고 있는 Hilbert 공간을 펼치는 basis 𝜌 의 n-번째 대각 성분 계가 | 𝑛 상태에서 발견될 확률 𝜌 의 대각선 성분 : 확률
8
운동방정식 “혼합상태” 𝑁 : 측정 가능한 물리량 {| 𝑛 } : 𝑁 의 고유상태 𝑎 𝑛 : 비확정 값
𝑁 : 측정 가능한 물리량 {| 𝑛 } : 𝑁 의 고유상태 𝑎 𝑛 : 비확정 값 density operator 요소 𝜌 𝑛𝑞 : ensemble average로 정의 ensemble 에서 무작위로 선택한 계가 n-th 상태에 있을 확률 운동방정식 “순수상태” 파동함수 : 𝜓 𝑁 : 측정 가능한 물리량 {| 𝑛 } : 𝑁 의 고유상태 𝜓 에 대한 운동방정식 방정식 왼편에서 𝑙 | 작용 𝜌 의 행렬요소에 대한 운동방정식
9
Random Phases "Mixed State" 𝜌 의 행렬요소 계의 상태의 불확정성 사영 성분 𝑎 𝑛 의 위상 ϕ 𝑛 의 불확정성 Ensemble의 sample 계들의 위상 ϕ 𝑛 이 random 하다면? 단, n=m 일 경우만을 제외하고 Random 위상의 경우에 대해서는 𝜌 는 대각선화 됨 !!! 대각선 밀도 행렬의 시간적 변화 𝜌 가 대각화 되어 있다면 시간이 지나도 대각화되어 있을까? 대각선 요소의 시간적 변화는 비대각선 요소에 의존 최초 𝑡=0 에 𝜌 가 대각화 되어 있다면 비 대각선 요소가 시간에 따라 자란다면 대각선 요소의 분포 𝜌 𝑙𝑙 가 바뀐다. 대각선 요소가 균일 분포일 경우 밀도 행렬 바뀌지 않음
10
전자 beam 에 대한 밀도 행렬 Cathode(음극)에서 발생한 전자의 spin 은 등방적 분포 밀도 행렬로 보이면? 𝑆 Z 가 대각화되어 있는 표시법 Spin은 두 방향으로 등방적 𝑆𝑧 ±ħ/2 동일 확률 1/2 𝑆 x 𝑆x =0 Replica 한 계의 파동함수가 비 확정적일 경우 동일 계들의 ensemble 사용 Ensemble 계들의 상태 𝜓 가 확률 𝑃 𝜓 로 분포 밀도 연산자의 또 다른 형태
11
예 등방 spin beam 계의 ensemble 동일 확률 두 값 계 : “혼합상태” 파동함수가 결정되어 있지 않더라도 에너지 측정에서 고유치 𝐸 𝑛 를 줄 확률 : 𝑃 𝑛 : orthonormal set 이 표시법에서 𝜌 는 대각요소가 𝑃 𝑛 인 대각선 행렬 N개 입자의 gas 계 에너지 𝐸 𝑛 을 가질 입자의 수는 ? 𝑁 𝑃 𝑛 nondegenerate 상태에 대해 | ψ𝑛 상태에 있는 입자의 수 𝜌 의 대각요소 : 한 계의 상태들에 대한 occupation numbers
12
양자역학의 다른 “pictures” Schrödinger and Heisenberg Pictures Hilbert 공간에서 basis의 변환 ”Pictures" “표시법: representations” 관측목적는 파동함수나 연산자가 아님 : 물리량에 대한 기대치 구함 중첩의 원리 : Hilbert 공간의 사영을 통해 가능한 측정값을 구함 Schrödinger Picture 시간에 의존하는 Schrödinger 방정식 가능한 새로운 picture “기대치나 두 상태간의 내적”은 불변 !! Unitary 변환 기대치나 두 상태간의 내적은 불변 (상태 vector 와 operator 대한 변환) Heisenberg Picture Unitary operator 를 이용한 변환 예 시간 t=0 를 t=t0
13
Schrödinger 방정식에 𝑈 −1 를 연산
Heisenberg Picture에서 파동함수 Heisenberg Picture에서 파동함수는 시간에 대해 불변 Schrödinger picture에서 시간에 대해 변하는 파동함수를 시간에 대해 불변하도록 변환 Schrödinger picture에서 연산자 시간에 대하여 불변 Heisenberg picture에서 연산자 시간에 대하여 변함 Schrödinger picture에서 연산자에 대한 운동방정식
14
Heisenberg picture에서 연산자에 대한 운동방정식
?
15
Hermitian Adjoint 𝜀≪1 일치율 고전 역학의 dynamical function A에 대한 Hamilton의 방정식
16
Interaction picture 시간에 의존하는 섭동이론 새로운 picture 파동함수 Time-independent & unperturbed 매우 작은 무차원 변수 : Heisenberg picture 와 유사 새로운 picture 연산자 : Heisenberg picture 와 유사 시간미분 Schrödinger 방정식과 유사하나 단지 상호작용 potential 𝑉 𝐼 만 관련됨 적분 iteration
Similar presentations