수학의 이해. 수학이란 ? 비 과학자에게 – 숫자를 가지고 셈하는 학문 과학자 또는 수학 애호가에게 – 수학은 질서에 관한 학문 – 패턴과 구조에 관한 학문 – 논리적 관계에 대한 학문 셈은 수학의 작은 영역인 산수에 속할 뿐.

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1 수학의 이해

2 수학이란 ? 비 과학자에게 – 숫자를 가지고 셈하는 학문 과학자 또는 수학 애호가에게 – 수학은 질서에 관한 학문 – 패턴과 구조에 관한 학문 – 논리적 관계에 대한 학문 셈은 수학의 작은 영역인 산수에 속할 뿐

3 수학이란 반복 패턴 관계 변환 추상화 …

4 하디 G. H. Hardy 수학자의 변명, 1940 수학자는, 화가나 시인처 럼 패턴을 만드는 사람이다. 나는 창조적인 예술로서의 수 학에만 흥미가 있다.

5 수학은 패턴의 학문 논리학 (Logic): 추론의 패턴 대수학 (Algebra): 수, 대칭성의 패턴을 연구하는 해석학 (Analysis) : 움직임의 패턴을 연구 기하학 (Geometry): 모양의 패턴을 연구 위상수학 (Topology): 가까움과 위치의 패턴 연구 확률론 (Probability theory): 기회의 패턴을 연구 프랙탈 기하 : 자연에서 발견되는 자기 유사성 패턴 연구 …

6 수학적 사고의 연산

7 수학적 사고의 과정 연역, 귀납 induction, deduction – 특수화 Specializing – 가설 Conjecturing – 일반화 Generalizing – 확인 Convincing –( 줌인 줌아웃 )

8 링컨 법과 수학 유클리드 : – 변호사로서 입증하는 것을 위해 –LEET 관련

9 방정식

10 베르누이 방정식 1783 년 다니엘 베르누이 에서 발표 –P: 유체의 압력 –ρ: 유체의 밀도 –v: 유체의 흐름 속도 – 유체의 밀도 ρ 는 위치에 관계없이 거의 일정 공기가 빨리 흐르는 곳의 압력이 작다. – 즉, 속도 v 가 크면 압력 p 가 작다.

11 느린 공기 ( 높은 압력 ) 빠른 공기 ( 낮은 압력 ) 기체 전진 방향 양력 ( 뜨는힘 )

12 비례, 반비례, 로그 비례, 미분, 적분, 계수

13 방정식 만들기 ( 수학적 모델링 ) 방정식 정하기 내용 관찰 및 조사 변수 정하기 관계 결정

14 공포를 측정하는 수학공식

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16 심리학과 수학 구스타프 페크너 (1801-1887): ‘ 정신물리학 ’ 자 – 물질과 마음의 함수 – 페크너의 법칙 : " 감각 강도는 자극 강도의 로그값 에 비례한다 “ 베버상수 : 베버 인지의 변화, 는 자극에서 증가량. S 는 순간적 자극, k 는 실험 데이타로 결정될 상수

17 수학은 확장하는 것

18 유추함 유추 2 ( 類推 ) [ 유ː추 ] 유추 같은 종류의 것 또는 비슷한 것에 기초하여 다른 사물을 미루어 추측하는 일. ①미루어 짐작 ( 斟酌 ) 함 ②서로 비슷한 점 ( 點 ) 을 비교 ( 比較 ) 하여 하나의 사물 ( 事物 ) 에 서 다른 사물 ( 事物 ) 에로 추리 ( 推理 ) 를 미치 는 일 斟酌 點 比較 事物 推理

19 수학은 확장하는 것 ? 자연수  정수  … 피타고라스 & 히파수스 : 변화를 받아 들이 기 ( 다큐프라임 동영상 ) 큐브의 4 차원 부정  하이퍼큐브 등장 ( 플랫 랜드 동영상 )

20 삼각형의 내각의 합

21 무리수 수 자연수 정수 유리수 실수 복소수 유리수 정수를 정수로 나눈 수 0, 음의 자연수 정수 자연수 실수 허수허수 복소수

22 Rational: 이성적인, 유리수 Real: 현실적인, 실수

23 차원

24 차원이 다르다 점 : 0 차원. 선 : 1 차원 면 : 2 차원 입방체 : 3 차원 유클리드 기하학의 세계 : 정수 차원

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26 3 차원 정육면체의 전개도

27 4 차원 초입방체 4 차원 입방체의 전개도는 261 개

28 달리 (Salvador Dalí, 1904 – 1989) 예수의 십자가 못박힘 Crucifixion 4 차원 초입방체의 전개도 에 달린 예수의 모습 4 차원 초입방체 : 3 차원에 투영하면 정육면체가 되는 4 차원의 도형 예수의 죽음 : □ 공간과 시간 밖의 메타역사 적 사건

29 2 차원 n = r d 16 = 4 2 r = 닮음비 = 4 d = 차원 = 2 n = 조각수 = 4 2 =16

30 3 차원 n = r d r = 닮음비 = 3 d = 차원 = 3 n = 조각수 = 3 3 =27 27 = 3 3 조각수 = 닮음비 차원

31 조각수 = 닮음비 m = r d, m: 조각수, r: 닮음비. d: 차원 차원

32 Von Koch 곡선 (1904)( 코흐의 눈송이 ) 즉, 넓이는 유한하나 경계는 무한하게 길다. 소수 차원 : ( 조각수 :4, 닮음비 :3) d = log 4 / log 3 ~ 1.26

33 프랙탈 차원 d = log m / log r = log r m ( 차원 ) = log ( 조각수 ) / log ( 닮음비 ) F. Hausdorff (1919) 소수차원 – 하우스도르프 차원

34 시얼핀스키 (Sierpinsky) 집합 차원

35 새로운 수학 : 프랙탈

36 우리 몸의 프랙탈 동일한 부피 안에 서 최대의 표면적 을 확보하는 방법 우리 몸 곳곳에 있 는 프랙탈의 원리

37 수학은 추상화

38 양, 돌맹이  숫자 본질은 무엇인가 ? 본질은 변하지 않고 변화 시키는 것

39 토폴로지

40 쾌니스버그와 프리겔 강 Königsberg(Kaliningrad) 와 Pregel 강

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42 단순화 7 개의 다리를 한번씩만 건너서 4 곳에 다 가 기 단순화 하기

43 일곱 개 다리 그래프 (Graph) 4 곳의 육지

44 그래프이론 Graph Theory 화학, OR, 전기공학, 언어학, 경제학, 생물학, 사회학, … 네트워크 –Linked( 링크 ) – 네트워크에 대한 책

45 오일러의 경로 문제와 한 붓으로 그리기 세일즈 맨의 경로 – 모든 길을 오직 한번씩 다 지나는 경로 구하기 노드와 에지

46 오일러의 오른 눈 – 추상화, 연결, EBS 다큐프라임 - EBS Docuprime_ 문명과 수학 1 부 _20111219_#004 – 수의 개념. 대응. 추상화 EBS 다큐프라임 - EBS Docuprime_ 문명과 수학 5 부 _20111227_#006: 푸앙카레 추측 증명 http://www.youtube.com/watch?v=yoVv1uxh8H A 푸앵카레의 추측 1 부http://www.youtube.com/watch?v=yoVv1uxh8H A

47 뽀앙카레 Poincaré 20 세기초. 프랑스 수학자, 천문학자, 물리학자 “3 체 문제 ” 를 풀면서 결 정론적 복잡계를 발견 하여 새로운 이론의 필 요성 강조  카오스 이 론

48 뽀앙카레 Poincaré 의 추측 논리와 직관 100 년 간의 난제 러시아의 수학자 페렐만 이 풀다 지식채널 e 푸앙카레의 추측 1, 2 편 페렐만 1966~

49 operation of mathematical thinking - iteration - enumeration - relation: ordering, correspondence, equivalence, inverse-converse - transformation: combination, substitution process of mathematical thinking: induction, deduction - specializing - conjecturing - generalizing - convincing Dynamic of mathematical thinking - manipulating - sense of pattern - articulation - complexity : by increasing generality or refinement - connectedness : track back 가능 entry, attack, review from Leone Burton 논문에서

50 수학은

51 수학적 사고력 : 수학은 기호의 학문

52 문제 풀고  19 세기 개념이해와 주장을 정당화 하는 증명.  모델링 :inside mathematics thinking  innovative mathematical thinkers 21 세기 150 년 후.

53 수학은 언어 In 1623, Galileo The great book of nature can be read only by those who know the language in which it was written. And this language is mathematics.