생활 속의 확률과 진실성 하안북중 1학년 서동조

목차 연구목적 연구기간 연구과정 연구결과 알게된 점 더 연구하고 싶은 것

1.연구 목적 우리가 살아 가면서 생활속에서 흔히 접할 수 있는 확률이라는 것을 너무 많이 보게 된다. 예를들면 일기예보가 맞을 확률, 친구와 가위/바위/보 게임을 통하여 이길 확률, 야구 선수가 안타칠 확률, 주사위를 던져 짝수가 나올 확률등... 나는 그러한 생활속에 흔히 접하는 확률에 대하여 얼마만큼의 진실이 있는지 알아보고자 한다.  

2. 연구기간 ① 주사위 게임등 생활속의 확률에 대하여 실습 및 탐구하기 (3.15 ~ 4.15 30일간) ② 게임을 통한 확률의 옳고 그름과 기댓값 (4.16 ~ 6.10 25일간) ③ 확률에 대한 기원과 확률에 대한 대표적인 수학자 (6.11 ~ 9.10 90일간) ④ 보고서작성 및 탐구발표 (9.11 ~ 10.30 50일간)

3.연구과정 (1)실생활 속의 확률 일기예보 -위의 자료는 기상청 홈페이지에서 내려 받은 것이다. 15일 3시~6시는 비가올 확률이 60%이 다. 이는 비가 온다는 것이 아닌 오지 않을 확률 보다 올 확률이 높다는 얘기이다. 나머지 시간은 모두가 50% 미만으로 비가 오지 않을 확률이 높다는 얘기이다.

3.연구과정 실생활 속의 확률 주사위 게임 주사위에서 확률은 6학년 때 배워서 모두 알고 있다. 주사위에서 한 면이 나올 확률은 1/6 이라는 것을. 하지만 실제로 던져 보면 그렇지 않다. 같은 높이에서 주사위를 6번 떨어트려 보면 4와 2는 한 번도 나오지 않았고 6과 1만 두 번 나왔다. 같은 높이에서 주사위를 12번,16번 ………30번 던져보면, 4가 나온 결과는 밑의 표와 같게 나온다. 주사위를 던진 횟수 6 12 18 24 30 4가 나온 횟수 2 4 3 확률 1/6 2/9 1/8 1/5

3.연구과정 (2) 확률 이론 탐구 위에서 열심히 주사위를 던지고 하여서 나온 결과는 수학책에서 본 확률 과는 다소 차이가 있는 것이 많다. 혹시 수학책이 틀린 것은 아닌가 하고 고민을 해 보았지만, 그것은 그 책의 뒷 페이지에서 친절하게 풀이를 해 주었다. 이것을 설명하려면 먼저 수학적 확률을 알아야 한다.

3.연구과정 수학적 확률 확률이라는 말은 실험이나 관찰을 전제로 하는데 이 때 가능한 모든 실험 결과들의 집합을 수학적 확률 확률이라는 말은 실험이나 관찰을 전제로 하는데 이 때 가능한 모든 실험 결과들의 집합을 표본공간(sample space)라 하고, 일반적으로 S로 나타낸다. 일반적으로 확률에서는 특별한 조건이 없는 한 각 사건들이 일어날 가능성은 같은 것으로 간주한다. 이와 같은 가정 아래 정의된 확률이 수학적 확률이다. 확률의 고전적 정의(수학적 확률) N개의 원소로 된 표본공간의 모든 원소가 일어날 가능성이 같고, 사상 A에 속하는 원소의 개수를 n개 일 때 사상 A가 일어날 확률은 P (A ) =n/N이다.

3.연구과정 확률의 공리적 정의 표본공간 S 에서의 임의의 사건 A 에 대하여 (1) 임의의 사상 A 에 대하여 0≤P(A)≤1 (2) P (s ) = 1 (3) 서로 배반인 사건 A 1 , A 2 , ⋯, A n에 대하여 P (A 1∪A 2∪⋯∪A n ) =P (A 1)+P (A 2 )+ ⋯+P (A n ) 을 만족할 때, 이 P(A)를 사건 A 의 확률이라고 한다. 배반:논리적으로 양립할 수 없음(모순)

3.연구과정 2) 통계적 확률 시행 횟수를 충분히 했을 때에, 어떤 사항이 일어나는 상대 도수가 집적하는 경향을 보이는 일정한 값. 3) 기하학적 확률 경우의 수가 무수히 많아서 그 수를 셈할 수 없을 때, 사건A 가 일어날 확률은 P(A)= 로서 구할 수 있는데, 이것을 기하학적 확률이라고 한다.

3.연구과정 4)기댓값 (1) 사건 A가 일어날 확률을 P라고 하고, 이때의 상금이 a원일 때, (2) 기댓값이 양수이면 이익을 나타내고, 음수이면 손해를 나타낸다.

3.연구과정 카지노에서 어떤 사람이 이길 확률이 ½ 이라고 할 때, 이때 얻는 상금을 300만 원이라고 하고, 배팅금을 200만 원이라고 할 때, 이 때의 기댓값은 ½×3000000=1500000. 그런데, 이때 배팅금이 200만원 이므로 1500000-2000000=-500000 =-50만 원 이므로, 이 게임을 할 때, 수학적으로 계산한다면 한 게임 수를 x번이라 했을 때, 이 사람은 500000x원의 손해를 보게 된다.

3.연구과정 (3)확률에 대한 기원 확률의 발생 근원은 우연 게임, 예언, 제비뽑기, 카드게임, 복권 등과 같은 실제 생활과 관련이 있는 것들로부터 출발하였다. 16세기 유럽에서 산업혁명이 시작되자 무역이 활발해지고, 항구도시들은 선원들과 무역상들의 출입이 잦아지고, 이들은 남는 시간동안에 술집 등에 둘러앉아 도박을 하였다. 도박의 목적은 돈을 따는 것이므로 사람들은 어느 쪽이 이길 수 있는지 그 가능성에 관심을 갖게 된다.

3.연구과정 16세기 경 이탈리아 수학자들 중에는 수학을 이러한 우연 게임에 적용하여 이론적으로 연구한 사람들이 있었는데, 그 중 특히 카르다노는 우연 게임에 관심이 많아서 게임에 이길 확률을 계산하는데 수학을 사용하였다. 1526년경 카르다노는 우연게임에 관한 책을 썼는데, 이 시점을 확률개념이 이론화된 출발점으로 보기도 한다. 그 후 확률론에 입각하여 통계학을 과학으로서 체계화한 학자는 케틀레이다. 그는 확률의 이론을 사회 현상의 통계적 연구에 적용하여 인구 통계, 사회 통계 등에 대하여 많은 업적을 남겼다.

3.연구과정 (4) 확률에 대한 대표적인 수학자 1.카르다노 1563년 쓰여진 카르다노의 '기회의 게임에 관하여'는 확률론 연구의 시초다. 이 책에는 이항정리와 '큰 수의 법칙'도 수록되어 있다. 카르다노는 1570년에는 종교재판을 받고 몇 달 간 수감되기도 했다. 석방된 뒤 카르다노는 로마로 갔다. 그곳에서 그는 예상치 못한 환대를 받았고 물리학협회의 회원으로 추대됐다. 카르다노를 용서한 교황도 그에게 장려금을 줬다고 한다. 카르다노는 과학자로서 영예를 누리며 생을 마감했다. 그는 자신의 죽음을 예언했는데 그 날짜를 맞추기 위해 자살까지 했다고 한다. 2.파스칼   노름에서 딴 돈을 공정하게 분배해주는 문제에서 확률론을 창안하여, 《수삼각형론(數三角形論)》 및 그 《부대논문(附帶論文)》을 썼다. 파스칼은 이 논문으로 수학적 귀납법의 훌륭한 전형(典型)을 구성하였으며, 수의 순열·조합·확률과 이항식(二項式)에 대한 수삼각형의 응용을 설명하였다. [출처] 네이버 백과사전

3.연구과정 파스칼과 페르마의 노름돈 분배 방식 18세기 도박사 드 메레라는 사람이 파스칼에게 의뢰한 문제를 『점수문제(problem of points)』라고 부른다. 『A, B 두 사람의 도박꾼이 득점할 확률은 똑 같다. A, B 두 사람이 3점 승부를 내기로 하였다. A, B 두 사람은 각각 32피스톨씩 돈을 걸었다. 이기게 되면 64피스톨을 갖게 된다. A는 2점, B는 1점을 득점하고 게임을 중단했을 경우 A, B가 차지해야 할 몫은 얼마인가?』   이 점수문제에 대하여 파스칼과 페르마는 서신을 주고받으며 아이디어를 교환하였다.

3.연구과정 【파스칼의 해법1】 드 메레의 의뢰를 받은 파스칼은 다음과 같이 문제를 해결하였다.   드 메레의 의뢰를 받은 파스칼은 다음과 같이 문제를 해결하였다. A가 이기면 A : B = 3 : 1이므로 〯 A는 64피스톨을 갖게 된다. B가 이기면 A : B = 2 : 2이므로 〯 A와 B는 다 같이 32피스톨을 갖게 된다. A는 32피스톨을 이미 확보해 놓았고, 그 다음 32 피스톨에 대한 확률은 1/2이므로 A는 32+1/2× 32=48 피스톨을 B는 16 피스톨을 가지면 된다.

3.연구과정 페르마의 해법 파스칼은 페르마에게 자신의 해결방법을 보냈다. 페르마는 다음의 방법으로 문제를 해결했다. A는 2점, B는 1점을 득점한 경우 앞으로 많아야 2번의 승부로 내기가 끝나며 가능한 경우는 다음과 같다.   A가 이기는 경우 1)첫 번째 경기에서 A가 이길 때 이 때는 A가 경기에서 승리하게 되며, 이길 확률은 1/2이다. 2)두 번째 경기에서 A가 이길 때 이 때는 첫 번째 경기에서 B에게 패배하였기 때문에 1/2×1/2=1/4이다. A가 지는 경우 이 때는 B가 내리 2판을 모두 이겨야 하므로 1/2×1/2=1/4이다. 따라서 A가 이길 확률은 3/4이고, B가 이길 확률은 1/4이므로 A는 64× 3/4=48 피스톨, B는 16 피스톨을 갖으면 된다.

3.연구과정 【파스칼의 해법2】 파스칼은 위와 같은 페르마의 방법에 착안하여 이항정리와 관계있는 다음의 해법을 제시하였다.   파스칼은 위와 같은 페르마의 방법에 착안하여 이항정리와 관계있는 다음의 해법을 제시하였다. A는 2점, B는 1점을 득점한 경우 앞으로 많아야 2번의 승부로 내기가 끝난다. (A+B)²=A²+2AB+B²의 첫번째 항 A²과 두번째항 2AB는 A의 승리가 되며 마지막 한 B²응 B의 승리가 된다. 따라서 전체계수와의 비 3/4이 A의 승리이며, 나머지 1/4가 B의 승리가 된다.

4.연구결과 확률에서 나오는 값이 커질수록 어떤 일이 일어나는 것이 커지는 것은 맞지만, 이 확률이 실생활에서 사실적으로 들어맞는다는 사실은 확실하지 않다. 그러므로 확률이 크다고 이 사건이 무조건 일어난다는 것으로 생각하지 말자.(단, 확률이 1일 때 제외)

5. 더 연구하고 싶은 점 확률을 실생활에 접목하여 하는 활동과 그 활동에서 각각의 일이 발생할 확률을 구하여 더욱 구체적으로 활동을 접하고, 스스로 판단을 하여 승률을 높이므로서 더욱 재미있게 놀이나 게임 등을 하고 싶다.